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青海省西宁市第四高级中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理


西宁市第四高级中学 2015—2016 学年第二学期第二次月考试卷 高 二 数 学
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.若复数 z ? A.-1

a ? 3i (a ? R) 实部与虚部相等,则 a 的值等于( 1 ? 2i
B.3 C.-9

) D.9

2.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 [?4, 6] 内可导,其图象如图,记 y ? f ( x) 的导函数为

y ? f '( x) ,则不等式 f '( x) ? 0 的解集为(
A. [ ?



4 11 ,1] ? [ , 6] 3 3

B. [ ?3, 0] ? [ ,5] D. [ ?4, ? ] ? [1,

7 3

C. [?4,3] ? [0,1] ? [5, 6] 3.若曲线 f ? x ? ? x ? sin x 在 x= A.2 B.1 C

4 3

11 ] 3


? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直, 则实数 a 等于 ( 2
-2
2

D.-1

?x 2 ? 4.设 f ( x) ? ? ?2 ? x ?
A.

x ? [0,1]
,则

x ? [1,2]
B.

?

0

f ( x)dx 的值为(



3 4

4 5

C.

5 6

D.

7 6

5.用反证法证明命题:“若 a、b、c 是三连续的整数,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数” 时,下列假设正确的是( ) A.假设 a、b、c 中至多有一个偶数 B. 假设 a、b、c 中至多有两个偶数 C.假设 a、b、c 都是偶数 D. 假设 a、b、c 都不是偶数 6. .用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( A.40 个 B.42 个 C.48 个 D.52 个 ) )

n 7.若 ( x ? ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为(

1 x

A.10

B. 20
x

C.30

D.120 ) D. e ? 1
1

8. 由曲线 f ( x) ? e 与直线 y ? 1, x ? 1 所围成的图形面积是( A. e B. e ? 1 C. e ? 2

9.从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A=“第 1 次取到的是奇数” ,B=“第 2 次取到的是奇数” ,则 P(B|A)=( ) A、

? ?

B、

? ??

C、

? ?

D、

? ?

10.小王通过英语听力测试的概率是 概率是( A. ) B.

1 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的 3
D.

4 9

2 9

C.

4 27

2 27


11.如果随机变量 ? ~ N (?1, ? 2 ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) 等于( A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1

12..设 f ( x ) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 .且 g (3) ? 0 .则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 (
A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞ ,- 3)∪(3,+∞) B.(-3,0 )∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)



第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13..设随机变量 ξ 的概率分布列为 P ?? ? k ? ?

c , k ? 1, 2,3,? , 6 ,其中 c 为常数,则 2k

P ?? ? 2? 的值为________ .
14.已知 ( x ? 2)(x ?1)4 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ______.

15. 已知 ? ? B( n, p), E ? ? 3, D (2 ? ? 1) ? , 9 则 p 的值是
' f1 ( x ) ? f ' (x ),f 2 x ( ) ? f 1' x ( ? ), f , )? N ? ) , n? 1 x ( ?) f n x ((n

16. 已知 f ( x) ? xe , 记
x

则 f n ( x) ?

(用 x 表示).

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本题满分 10 分)已知复数 z ? (1)求 z ;

(1 ? i)2 ? 2(5 ? i) . 3?i

2

(2)若 z ( z ? a) ? b ? i ,求实数 a , b 的值.

18.(本小题 12 分)一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球. (1)从中任取 4 个球,红球个数不少于白球个数的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 的取法

19. (本题满分 12 分) 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 1)( n ? 2) (n ? N * ) 3

20. (本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P(1, f (1)) 处的切线方
3 2

程为 y ? ?3x ? 1 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3 是奇函数. (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求函数 f ( x ) 的极值.

3

21.(本小题 12 分)甲、乙两人同时参加一次面试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对 其中的 6 道,乙能答对其中的 8 道,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试, 至少答对 2 道题才算通过。求: (1)甲能答对的试题数ξ 的概率分布与数学期望; (2)甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.

22.(本小题 12 分)已 知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? 0) . 2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)求 y ? f ( x) 在区间 (0, 2] 上的最大值.

西宁市第四高级中学 2015—2016 学年第二学期第二次月考试卷 高 二 数 学 出题人:马林林 审题人:佘云

第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合 题目要求的.) 1.若复数 z ? A.-1 答案及解析:A 2.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 [?4, 6] 内可导,其图象如图,记

a ? 3i (a ? R) 实部与虚部相等,则 a 的值等于 1 ? 2i
B.3 C.-9 D.9

4

y ? f ( x) 的导函数为 y ? f '( x) ,则不等式 f '( x) ? 0 的解集为(
B. [ ?



4 11 ,1] ? [ , 6] 3 3

B. [ ?3, 0] ? [ ,5] D. [ ?4, ? ] ? [1,

7 3

C. [?4,3] ? [0,1] ? [5, 6] 答案:D 3..若曲线 f ? x ? ? x ? sin x 在 x= ( ) A.2 答案及解析:A B.1 C -2

4 3

11 ] 3

? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于 2
D.-1

?x 2 ? 4.设 f ( x) ? ? ?2 ? x ?
( A. )

x ? [0,1]
,则

x ? [1,2]

?

2

0

f ( x)dx 的值为

3 4

B.

4 5

C.

5 6

D.

7 6

答案及解析:.C 5.用反证法证明命题:“若 a、b、c 是三连续的整数,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数” 时,下列假设正确的是( ) A.假设 a、b、c 中至多有一个偶数 B. 假设 a、b、c 中至多有两个偶数 C.假设 a、b、c 都是偶数 D. 假设 a、b、c 都不是偶数 答案及解析:.D

6. .用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 A.40 个 答案及解析:D
n 7.若 ( x ? ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为(

B.42 个

C.48 个

D.52 个

1 x



A.10 【答案】B

B.20

C.30

D.120

8. 由曲线 f ( x) ? e 与直线 y ? 1, x ? 1 所围成的图形面积是
x

A. e

B. e ? 1

C. e ? 2

D. e ? 1
5

答案及解析:.C

9.从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A=“第 1 次取到的是奇数” ,B=“第 2 次取到的是奇数” ,则 P(B|A)=( ) A、

? ?

B、

? ??

C、

? ?

D、

? ?

【答案】D

10.小 王通过英语听力测试的概率是 概率是( A. ) B.

1 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的 3
D.

4 9

2 9

C.

4 27

2 27

【答案】A
2 11.如果随机变量 ? ~ N (?1, ? ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) 等于

A. 0.4 答案及解析:.D

B. 0.3

C. 0.2

D. 0.1

12..设 f ( x ) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 .且 g (3) ? 0 .则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 (
A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞ ,- 3)∪(3,+∞) 答案及解析:.D 第 II 卷(非选择题) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13..设随机变量 ξ 的概率分布列为 P ?? ? k ? ?

c , k ? 1, 2,3,? , 6 ,其中 c 为常数,则 2k

P ?? ? 2? 的值为________
答案及解析:.

16 21

14.已知 ( x ? 2)(x ?1)4 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ______. 【答案】 1 15.已知 ? ? B(n, p), E? ? 3, D(2? ? 1) ? 9 ,则 p 的值是 【答案】

1 4
6

16.已知 f ( x) ? xe ,记 f1 ( x) ? f ' ( x), f 2 ( x) ? f1' ( x),?, f n?1 ( x) ? f n' ( x) (n ? N ) ,
x

?

则 f n ( x) ?

(用 x 表示).

答案及解析:. ne x ? xe x

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

(1 ? i)2 ? 2(5 ? i) 17. (本题满分 10 分)已知复数 z ? . 3?i
(1)求 z ; (2)若 z ( z ? a) ? b ? i ,求实数 a , b 的值. 【答案】 (1) 10 ; (2) a ? ?7 , b ? ?13

18.一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球. (1)从中任取 4 个球,红球个数不少于白球个数的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 的取法

答案及解析:
4 0 3 1 C6 ? 1 种取法; 第二类有 3 个红球,则有 C4 C6 ? 24 种 (1)分三类:第一类有 4 个红球,则有 C4 2 2 C6 ? 90 种取法;各根据加法原理共有 1+24+90=115 种不同 取法; 第三类有 2 个红球,则有 C4

的取法. (2)若总分不少于 7,则可以取 4 红 1 白,或 3 红 2 白,或 2 红 3 白,共 3 类,取法总数为
4 1 3 2 C4 C6 ? C 4 C6 ?

2 3 C4 C6 ? 6 ? 4 ?15 ? 6 ? 20 ? 186 种不同的取法.

19. (本题满分 14 分) 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 1)( n ? 2) (n ? N * ) 3

7

20. 已 知 函 数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图 像 上 的 点 P(1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为
3 2

y ? ?3x ? 1 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3 是奇函数.
(I)求函数 f ( x ) 的表达式; (II)求函数 f ( x ) 的极值. 答案及解析: 解:(1) f
'

? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,

???????1 分

? 函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3,? f ' ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,
又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 ,????????????3 分
3 又函数 g( x) ? ? x ? bx ? c ? 3 是奇函数, g (0) ? 0 ? c ? ?3.

? a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , ? f ? x ? ? ?x3 ? 2x2 ? 4x ? 3 .
(2)

????????????6 分 ???????????? 7 分

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4 x ? 4 ? ?(3x ? 2)(x ? 2) ,令 f ( x ) ? 0, 得 x ? 2 或 x ? ?2 ,
3

x

?? ?,?2?

?2

2? ? ? ? 2, ? 3? ?

2 3

?2 ? ? ?? ? , ?3 ?

8

f ' ? x?
f ? x?
? f ( x)极小 ? f (?2) ? ?11 ,

?
递减

0
极小

?
递增

0
极大值

-

递减


2 41 f ( x ) 极大 ? f ( ) ? ? . .???????? 12 分 3 27

21.(08 年西工大附中理)甲、乙两人同时参加一次面试,已知在备选的 10 道试题中,甲 能答对其中的 6 道, 乙能答对其中的 8 道, 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行 测试,至少答对 2 道题才算通过。求: (Ⅰ)甲能答对的试题数ξ 的概率分布与数学期望; (Ⅱ)甲、乙两人至少有一人通过面试的概率. 答案及解析:

.解: (Ⅰ)P(ξ =0)=

=

,P(ξ =1)=



P(ξ =2)= ∴ ξ P 0 1

,P(ξ =3)= 2 3

.????????(3 分)

则:Eξ =0×

+1×

+2× +3× = ???????????(6 分)

(Ⅱ)甲未通过的概率为:p1=

????????(8 分)

乙未通过的概率为:p2= ∴甲、乙两人至少有一人通过面试的概率为:

???????????(10 分) = ?(12 分)

9

22.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 在区 间 (0, 2] 上的最大值. 答案及解析:

2 2? x ?1 ? ( x ? 0) x x 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,
22.答案: (Ⅰ) a ? 0, f ( x) ? 2ln x ? x , f ?( x) ? 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

(2 分)

(5 分) (7 分)

2 ( x ? 0) . x

f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) x

①当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知 f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2 ②当 0 ? a ? (9 分)

1 1 时, ? 2 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;故 f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增 a 2
(11 分)

故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ③当 a ?

1 1 1 1 时, 0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a

1 1 f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, (9 分) a a
故在 (0, 2] 上 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

(12 分)

10


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