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高二数学北师大版选修2-3课件:1.5 二项式定理


§5 二项式定理

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§5

二项式定理

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HONGNAN JVJIAO

D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI

r />UITANGYANLIAN

1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质,会用二项式定理的知识解决系数、 系数和、项、常数项、整除等相关问题.

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0 n 1 n-1 n-r r n 1.(a+b)n=C a +C a b+…+C a b +…+C b. 这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开 式,(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,其中各项的系数C 称为二项式系 n-r r 数,C a b 称为二项展开式的第 r+1 项,又称为二项式通项. 说明:(1)二项展开式的特征: ①二项展开式共有 n+1 项; 0 1 2 ②二项式系数依次为组合数C , C , C ,…,C ,…,C ; ③各项次数都等于二项式的幂指数 n; ④字母 a 的指数由 n 开始按降幂排列到 0,字母 b 的指数由 0 开始按升 幂排列到 n. (2)一个二项展开式的某一项的二项式系数C 与这一项的系数(二项式 系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项式系数一定为正值,而项的 系数既可以是正值也可以是负值,还可以是 0. (3)二项式定理通常有如下变形: 0 n 1 n-1 n-r r n 0 ①(a-b)n=C a -C a · b+…+(-1)rC a b +…+(-1)nC b ;②(1+x)n=C + 1 r n C x+…+C x +…+C x. (4)不但能利用二项式定理展开式子,还能逆用二项式定理来合并式子.

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【做一做 1】 设 P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则 P 等于( ) 5 A.x B.(x+2)5 C.(x-1)5 D.(x+1)5 0 5 1 4 2 3 3 2 解析:P=C5 · 1· (x+1)0+C5 · 1· (x+1)1+C5 · 1· (x+1)2+C5 · 1· (x+1)3 5 0 4 +C5 · 1· (x+1)4+C5 · 1· (x+1)5 =(1+x+1)5 =(x+2)5. 答案:B

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2.在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公 1 2 2 r 式:(1+x)n=1+C x+C x +…+C x +…+xn. 10 1 2 【做一做 2】 1+C10 + C10 +…+C10 = . 10 1 2 解析:在(1+x)10 的二项展开式中令 x=1,得 1+C10 + C10 +…+C10 =210=1 024. 答案:1 024

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3.当 n 依次取 1,2,3,…时,(a+b)n 展开式的二项式系数如下图所示:

图中所示的表叫作二项式系数表,它有这样的规律:(1)表中每行两端都是 1,而
且除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即C +1 = C + C ;(2) 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C = C - -1

【做一做 3-1】

1 6 的展开式中的常数项是

. .(用数字作答)

答案:-20 【做一做 3-2】 在(x-a)10 的展开式中,x7 的系数是 120,则实数 a 的值 为 . 答案:-1
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1.应用二项式通项可以解决哪些问题? 剖析:二项式通项主要用于求满足条件的项或系数,求展开式的某一项 或系数. n-r r (1)运用二项式通项 Tr+1=C a b 解题,一般都需先转化为方程(组)求出 n,r,然后代入通项求解. (2)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 r,再求所需的 某项;有时需先求 n,计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系. 0 1 (3)在(a+b)n 展开式中令 a=b=1,得C + C +…+C =2n; 0 1 2 3 令 a=1,b=-1,得C ? C + C ? C +…=0, 0 2 4 1 3 5 故C + C + C +…=C + C + C +…=2n-1.这种由一般到特殊的方法 是“赋值法”.当然也可根据题目自身的特点,对 a,b 赋予其他的值,以达到解 决问题的目的.

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2.二项式系数的性质有哪些? 果 n 为奇数,则中间两项 第 大.

剖析:(1)如果 n 是偶数,则中间一项 第 + 1 项 的二项式系数最大;如
+1 +1 项与 +1 2 2

2

项 的二项式系数相等并且最

0 1 (2)所有二项式系数的和等于 2n,即C + C +…+C =2n. (3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等,即 0 2 1 3 C + C +…=C + C +…=2n-1.

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

求二项式系数与项的系数问题

【例 1】 写出(x-y)11 的展开式中: (1)通项 Tr+1; (2)二项式系数最大的项; (3)系数绝对值最大的项; (4)系数最大的项; (5)系数最小的项; (6)二项式系数的和; (7)各项的系数的和. 分析:本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同,有 的仅差一负号.因此,系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大的项 来解决.二项式系数的和可利用和为 2n 这一性质求解;各项系数的和可利用 二项式定理或赋值法求解.

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题型二

题型三

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11-r r 解:(1)Tr+1=(-1)rC11 x y. 5 6 5 6 5 6 (2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项 T6=-C11 x y ,T7=C11 xy. (3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项,因此,系 5 6 5 6 5 6 数绝对值最大的项也是中间两项 T6=-C11 x y ,T7=C11 xy. 6 5 6 (4)由(3)知,系数最大的项是 T7=C11 xy. 5 6 5 (5)由(3)知,系数最小的项是 T6=-C11 xy. 0 1 2 11 (6)展开式中,二项式系数的和为C11 + C11 + C11 +…+C11 =211. 0 1 2 (7)展开式中,各项系数的和为C11 ? C11 + C11 ? 11 11 11 3 11 C11 +…+(-1) C11 =(1-1) =0 =0.

反思本题是关于二项式系数的性质的应用的典型示例.此题起点较低,却 包含了各种题型,在学习中应予以重视.

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题型三

题型四

【变式训练 1】 1 + (1+x)4 展开式中含 x2 的项的系数为( ) A.4 B.6 C.10 D.12 1 解析:根据乘法公式,得:(1)因式 1+ 中的 1 和(1+x)4 展开式中含 x2 的项 相乘才得含 含 x2 的项. r (1+x)4 展开式的通项为 Tr+1=C4 x (r=0,1,…,4), 故 1+ 10. 答案:C
1 1 1 x2 的项;(2)因式 1+ 中的 和(1+x)4 展开式中含

1

x3 的项相乘才得

2 2 3 3 (1+x)4 展开式中含 x2 的项为 1· C4 x + C4 x =10x2,故其系数为

1

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题型四

题型二

赋值法的简单应用

【例 2】 设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值. (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|.

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题型四

解:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100. (2)令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100, 故 a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100. (3)令 x=-1 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100. 与①联立相减得 a1+a3+…+a99=
(2 - 3 )
100

① ②
.

(4)原式 =[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]· [(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0 +a1+a2+…+a100)· (a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2- 3)(2+ 3)]100=1100=1. (5)∵Tr+1=(-1)rC100 2100-r( 3)rxr, ∴a2k-1<0(k∈N+). ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100. 反思二项式定理是一个恒等式,即对 a,b 的一切值都成立.因此,可将 a,b 设定为一些特殊值,一般取-1,0,1 来解决展开式中系数的和或差的问题.
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-(2+ 3) 2

100

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题型三

题型四

【变式训练 2】 若多项式 x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10. (1)求 a0+a1+…+a10 的值; (2)求 a0-a1+a2-a3+…-a9+a10 的值; (3)求 a0. 解:(1)令 x+1=1,即令 x=0,得 0=a0+a1×1+…+a10×110,即 a0+a1+…+a10=0. (2)令 x+1=-1,即令 x=-2,得(-2)3+(-2)10=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,即 a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=1 016. (3)令 x+1=0,即令 x=-1,得 a0=0.

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题型三

二项展开式中系数的最值问题

【例 3】 大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 分析:(1)先根据赋值法求出各项系数之和,根据题中条件求出 n 的值, 再根据展开式中二项式系数的性质得解;(2)只需让系数最大的项的系数大 于其前一项的系数也大于其后一项的系数,列出不等式组,求解出项数即可.

2 已知:( 3+3x2)n 的展开式中,各项系数的和比它的二项式系数的和

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解:令 x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n. ∵展开式中二项式系数的和为 2n, ∴22n-2n=992,∴n=5. (1)∵n=5,展开式共 6 项, ∴二项式系数最大的项为第三、四两项, 即 (2)设展开式中第 r+1 项系数最大, 则
2 10+4

2 3 T3=C5 ( 3 )3(3x2)2=90x6,T4=C5 ( 3 )2(3x2)3=270 3

2

2

22

.



Tr+1=C5 ( 3 )5-r· (3x2)r=3rC5 3 (0≤r≤5,r∈N), -1 7 9 3 C5 ≥ 3 -1 C5 , 解得 ≤r≤ ,∴r=4, 2 2 +1 3 C5 ≥ 3 +1 C5 ,
2

即展开式中第 5

4 项系数最大,T5=C5 ( 3 )(3x2)4=405 3

26

.

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反思 1.求展开式系数的最大值问题时,首先要区分“展开式系数最大”“二 项式系数最大”以及“最大项”“项数”等; 2.当二项式系数与系数的值不相等时,系数的最值问题可采用本例的 方法进行,即比较相邻两项的系数,列出不等式组,求出 r 的值即可.

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题型四

二项式定理的应用

【例 4】某地现有耕地 10 000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%, 人均粮食占有量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均 每年至多只能减少多少公顷?(精确到 1 公顷) 粮食单产 = 食占有量=
总产量 总人口数 总产量 耕地面积

,人均粮

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解:设耕地平均每年至多只能减少 x 公顷,又设该地区现有人口为 P 人, 粮食单产为 M,依题意得不等式:
(1+22%)(104-10) · (1+1%)
10 3



· 104 · (1+10%),
10

1.1(1+0.01) 化简得 x≤10 × 1. 1.22 10 1.1(1+0.01) 3 ∵10 × 11.22 1. 1 1 2 =103× 1(1 + C10 × 0.01 + C10 × 0.012 + …) 1.22 1. 1 ≈103× 1× 1.1 045 ≈4.1,∴x≤4(公顷). 1.22

故按规划,耕地平均每年至多只能减少 4 公顷.

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反思 1.当 a 的绝对值与 1 相比很小,且 n 不大时,常用近似公式 2 2 3 3 n (1+a)n≈1+na,因为这时展开式后半部分C a +C a +…+C a 很小,可以忽略 不计.类似地,有(1-a)n≈1-na,但使用这两个公式时应注意 a 的条件,以及对计 算精确度的要求. 2.当不满足上述条件时,我们常构造成(b+c)n 或(b-c)n 的形式,然后利用 二项式定理来计算.

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1 ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 2(5-r) 解析:展开式的通项为 Tr+1=C5 x (-2)rx-3r=C5 (-2)rx10-5r.令 10-5r=0,得 r=2, 2 所以 T2+1=C5 (-2)2=40.故选 C. 答案:C

2

2 5 - 3 展开式中的常数项为(

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2(1+2 )3(1- )5 的展开式中 x 的系数是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 3 3 解析:(1+2 x)3(1- )5=(1+6 +12x+8x )· (1- )5, 3 故(1+2 )3(1- )5 的展开式中含 x 的项为 0 3 3 1×C5 (- )3+12xC5 =-10x+12x=2x. 故 x 的系数为 2. 答案:C

3

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3 A.-1 C.1

5 + 展开式中 x3 的系数为 1 B. 2

10,则实数 a 等于(

)

D.2

解析:C5

5- r 5-r 2r-5 x =C5 a x ,

令 2r-5=3,得 r=4. 4 由C5 · a=10,得 a=2. 答案:D

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4 设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则 a1+a2+…+a6= . 答案:120

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5(1)展开 解:(1)方法一:
4 3 6 2

(2)求(x+a)12 的展开式中的倒数第 4 项. +
1 . 4 1 4 1 1 1+ =1+C4

1 4 1+ ;

+

2 C4

1 2

+

3 C4

1 3

+

1 4 4 6 =1+ + 2 +

方法二: +
4 1 + . 3 4

1 4 1+

=

1 4 1 4 4 4 4 1 3 2 2 3 (x+1) = · (x +C4 x +C4 x +C4 x+1)=1+ +

(2)(x+a)12 的展开式中共有 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 9 12-9 9 3 3 9 项,T9+1=C12 x a =C12 x a =220x3a9.

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6 已知在

1 2 1 的展开式中,第 2

9 项为常数项,求:

(1)n 的值; (2)含 x 的整数次幂的项的个数. 解:已知二项展开式的通项
5 2

Tk+1=C

1 2 - 2

·5 2

- 1 k 1 =(-1) 2

2 - 2 . C

5

(1)因为第 9 项为常数项,所以当 k=8 时,2n- k=0,解得 n=10. (2)要使 2n- k= 因为 k=0,1,2,3,…,9,10,所以符合要求的有 6 项,分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项.
40-5 为整数,只需 2

k 为偶数.

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