河南省郑州二中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题

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2012—2013 年上学期郑州二中 高二年级期中考试数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出一四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ） 2 1.不等式－6x －x＋2≤0 的解集是( ) 2 1? 2 1? 1? 3? ? ? ? ? A.?x|－3≤x≤2? B.?x|x≤－3或x≥2? C.?x|x≥2? D.?x|x≤－2? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2.若不等式 mx ＋2mx－4<2x ＋4x 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 3.已知 2a ? 3b ? 4, 则 4a ? 8b 的最小值为（ A. 2 4. 若 B. 4 C. 8 ） D. 16

1 1 b a ? ? 0, 则下列不等式 :① a ? b ? ab ;② a ? b ;③ a ? b ;④ ? ? 2 中正确的 a b a b
） B.②③ C.①④ D. ③④ （ D.52 （ D. 150
0

是（ A.①②

5.在数列 ?a n ? 中， a1 ? 2, 2an+1 =2an +1,n ? N * , 则 a101 的值为 A. 49 B. 50 C. 51 6.边长为５，７，８的三角形中，最大角与最小角之和为 A.

）

）

900

B.

1200

C. 135

0

7.在等差数列 ?an ? 中，3（ a3 + a5 ）+2(a 7 + a10 + a13 )=24,则此数列前 13 项之和（ A.26 B.13 C.52 D.156

）

考号

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中，若不等式组 ? x ? 1 ? 0 （ a 为常数）所表示的平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2，则 a 的值为（ A. -5 B. 1 ） C. 2 D. 3
w.w.

班级

9.如果－1，a，b，c，－9 成等比数列,那么 ( A．b＝3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 A．直角三角形 C．等腰直角三角形 B．b＝－3，ac＝9

)

D．b＝－3，ac＝－9 ） B．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

10.在 ?ABC 中， a cos A ? b cos B ，则 ?ABC 为（

学校

S3 1 S6 11.设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若S ＝3，则S 为 6 12 3 A.10 1 B.3 1 C.8 ）
C.( , ) 3 2

（

）

1 D.9

12.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2， 则角A的取值范围是（
A.( , ? ) 2

?

B.( , ) 4 2

? ?

? ?

D.(0, ) 2

?

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卷上， 填写在本卷上无效）
13.若点（2，1）和（4，3）在直线 2 x ? 3 y ? a ? 0 的两侧，则 a 的取值范围是 .

14. 在 △ ABC 中， D 为 BC 边上一点， BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? . 若

AC ? 2 AB ,则 BD=___
15.在下列函数中: ① y ? ④ y ?| x ?

__
；② y ? x ?

x2 ? 2 x2 ?1

4 4 ?2； ? 2 ；③ y ? x ? x x

1 | ；⑤ y ? log2 x ? log x 2, 其中 x ? 0 且 x ? 1 ；⑥ y ? 3 x ? 3? x .其中最小值 x
（填入序号）.

为 2 的函数是

16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/ml,在停止喝酒后，

血液中的酒精含量以每小时 25% 的速度减少.为保障交通安全,法律规定,驾驶 员血液中的酒精含量不得超过 0.08 mg/ml.那么此人至少过 小时 才能开车(精确到 1 小时).
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 在 ?ABC 中，已知 a ? 3, b ? 2, B ? 45? , 求 A, C和c .

18.（本小题满分 12 分）
2 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? ?3n ? 22n+1 ，

（Ⅰ）求数列{ an }的通项公式． （Ⅱ）求数列{| an |}的前 n 项和 T n .

19.（本小题满分 12 分） 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多 少万元，才能使可能的盈利最大？

20.（本小题满分 12 分） 已知公差大于零的等差数列 {an } ，前 n 项和为 Sn .且满足 a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式;

bn (Ⅱ)若b = Sn ,求f(n)= (n ? N* )的最大值. n (n+36)b n+1 1 n－ 2

21.（本小题满分 12 分）
? 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2Sn ? 1, n ? N .

（Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式; （Ⅱ）等差数列 {bn } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15, 又 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,

a3 ? b3 成等比数列,求 Tn ;
（III）求数列 {anbn } 的前 n 项和 P n.

22.（本小题满分 12 分） 在 △ ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的 边分别 为 a,b,c, 设 S 为 △ ABC 的 面积，满 足

S?

3 2 （2）求 sin A ? sin B 的最大值. (a ? b 2 ? c 2 ) .（1）求角 C 的大小； 4

2012—2013 年上学期郑州二中 高二年级期中考试数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出一四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 ） BBCCD BADBD AC

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卷上， 填写在本卷上无效）
13. (?11) ，

14.2＋ 5

15.①③④⑥

16. 5

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 解:由正弦定理, sin A ?

a sin B 3 ,又 a ? b , ? b 2

所以 A ? 60? 或 A ? 120? . 当 A ? 60? 时, C ? 75? , c ?

b sin C 2 sin 75? 6? 2 ; ? ? ? sin B sin 45 2 b sin C 2 sin15? 6? 2 ? ? ? sin B sin 45 2

当 A ? 120? 时, C ? 15? , c ?

18.（本小题满分 12 分）

解:⑴由Sn =-3n 2 +22n+1, ∴当n=1时，a1 =S1 =-3+22+1=20 当n ? 2时，a n =Sn -Sn-1 =-3n 2 +22n+1+3(n-1) 2 -22n+22-1=-6n+25 且当n=1时不适合上式 n=1 ?20 ∴a n = ? ?-6n+25 n ? 2
⑵由第一问知，当n ? 4时，a n >0,当n ? 5时a n <0, ∴当n ? 4时，Tn =Sn =-3n 2 +22n+1 当n ? 5时，Tn =a1 +a 2 +a 3 +a 4 -(a 5 +a 6 +…＋a n ) 　　　　　＝S4－（Sn -S4） =2S4 -Sn =3n 2 -22n+81 ?-3n 2 +22n+1 ? 综上，Tn = ? 2 ? ?3n -22n+81 n?4 n?5

19.（本小题满分 12 分） 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知 x＋y≤10， ? ?0.3x＋0.1y≤1.8， ?x≥0， ? ?y≥0. 目标函数 z＝x＋0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域． 作直线 l0：x+0.5y=0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交， 其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 x+0.5y=0 的距离最大，这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点． 解方程组

? x ? y ? 10, ? ?0.3x ? 0.1y ? 1.8,

4+0.5× 6=7(万元)． 得 x=4，y=6，此时 z=1×

∵7>0，∴当 x=4，y=6 时，z 取得最大值． 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在 确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大．

20.（本小题满分 12 分） 解: （Ⅰ）因为 {an } 是等差数列,所以 a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22, 又 a3 ? a4 ? 117, 所以 a3 , a4 是方程 x2 ? 22 x ? 117 ? 0 的两根.又 d ? 0 ,所以 a3 ? a4 . 所 a3 ? 9, a4 ? 13, d ? 4 , a1 ? 1 ， an ? 4n ? 3 .

（Ⅱ） Sn ? 2n ? n ,则
2

bn ?

2n 2 ? n ? 2n, 1 n? 2

bn n 1 1 1 ? 2 ? ? n ? 36? bn?1 n ? 37n ? 36 n ? 36 ? 37 ? 2 36 ? 37 ? 49 . n 36 1 , n ? 6 时, f ? n ? 取得最大值 . 当且仅当 n ? n 49 f ? n? ?
21.（本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2Sn ? 1) ? (2Sn?1 ? 1) ? 2an , 即 an?1 ? 3an , 又 a1 ? 1, a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ? 3a1 , 所以 {an } 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列.故 an ? 3
n ?1

.

（ Ⅱ）设 数列 {bn } 的 公差为 d , 则 d ? 0 . 由 T3 ? 15, 得 b2 ? 5 . 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 则

? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?
Tn ? 3n ?

2

,得 d ? 2 .故 b1 ? 3 ,

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

n?1 n ?1 （III）由 an ? 3 , bn ? 1 ? 2n ,所以 anbn ? (1 ? 2n)3 ,

故P n ? 3?1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? ?? ? 2n ? 1? 3
2

n?1

,

3Pn＝　　　　 3? 3+5 ? 32 +7 ? 33 +…＋(2n+1) ? 3n
2 n ?1 n 两式相减得, ?2 Pn ? 3 ? 2(3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? ? 2n ? 1? 3 ,
3

? 3 ? 3 ? 3n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 1? 3n ? ?2n ? 3n ,

n ∴P n ? n?3 .

22.（本小题满分 12 分）

3 3 3 1 解：⑴由S＝ （a 2 +b 2 -c 2）＝ ?2ab ? cosC= ab ? cosC= ab ? sinC，∴sinC= 3 cos C 4 4 2 2 ∴tan C= 3,∴C= 。 3 2? 2? ? ? 2? ? ⑵sinA+sinB=sinA+sin ? -A ? = sin A+ sin cos A- cos sin A= 3 sin (A+ ) 3 3 6 ? 3 ? 2? ? ? 5? 1 ? 由0<A< ,∴ ＜A+ ＜ 　　，∴ ＜sin (A+ ) ? 1,∴sin A+ sin B有最大值为 3. 3 6 6 6 2 6

?