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高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》椭圆第二课时


课前复习:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2) 的点的轨迹叫做椭圆。 | 即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

椭圆的方程的推导


独立思考轨迹方程的一般步骤,并按其方法及提示独立逐 步求椭圆的一般方程。 y 以经过椭圆焦点 F1,F2 的直 建 线为 x 轴,线段F1F2的中垂线为y 轴,建立直角坐标系xoy。

x

o



设 M(x,y)是椭圆上任一点,

设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦点 的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

现(限)
由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a

(a > c)




( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

移项,得

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

平方化简,得

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

再平方化简,得

a2 ? c2 ? x2 ? a2 y 2 ? a2 ? a2 ? c2 ? ?
2

两边同时除以a

?a
2

2

? c2 ? ,得
2

x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c

椭圆方程的建立—— 步骤一:建立直角坐标系

步骤二:设动点坐标 步骤三:限制条件,列等式 步骤四:代入坐标 步骤五:化简方程

y

观察左图, 你们能从中找出表示c 、 a 的线段吗?

b

a c

x

a2-c2 有什么几何意义?

o

令 | OP |? a 2 ? c 2 ? b
则方程可化为

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则 y 有F1(0,-c),F2(0,c),
又由椭圆 的定义可得:
F2 M

|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式,可知:
焦点在Y 轴

o
2 2

x

( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? x ? 2a y2 x2 y 2 x2 ? 2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a2 a ? c a b
2 2

F1

焦点在 X轴

(x ? c)2 ? y 2 ? (x ? c)2 ? y 2 ? 2a
x2 y2 x2 y 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a2 a ? c a b

(请大家比较一下上面两式的不同,独立思考后回答 椭圆的标准方程。)

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2

X型

y型



y 2 x2 x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

练习:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆 焦点在那个轴上?(独立思考后回答)
x y (1) ? ?1 16 16 2 2 x y (2) ? ?1 25 16
2 2

(3)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ? 1, ( m ? 0) m m ?1

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 例1、填空:(独立思考后回答) 焦点在分母大的那个轴上。 F2

x2 y2 (1)已知椭圆的方程为: ? ? 1,则 4 5 5 a=_____,b=_______,c=_______, 1 2
焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) ,焦距

F1

2 等于_____;
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3,则

2 5 ?3 点P到另一个焦点F2的距离等于_________, 2 5?2 则?F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a

x (2)已知椭圆的方程为: 25 16 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 为:____________焦距等于______;若CD为过 6
左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: y2 ? ? 1 ,则 焦点在分母大的那个轴上。

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D (3)a=5,c=4的椭圆标准方程是 F2

y x x y ? ?1 ? ? 1或 25 9 。 25 9

2

2

2

2


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