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三角函数的图像和性质


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第四章

三角函数

三 三角函数的图像探索性数据分析的论文需要用到这个 TGRL (三组耐抗线) 方法来建模, 因为要迭代,50 多组数据要手工做几乎不可能,于是我只在网上找到了一个 R 的代码如下 Res<-function(x,precision1,precision2){ if(dim(x)[2]==3){x1<-x[,1];x<-x[,c(2,3)]} ##把输入的数据框一般化并按 自变量大小且升序排列 o<-order(x[,1]) x<-x[o,] k<-dim(x)[1]%/%3 组长 remainder<-dim(x)[1]%%3 if(remainder==0){L<-x[1:k,];M<-x[(k+1):(2*k),];R<-x[(2*k+1):(3*k),];} if(remainder==1){L<-x[1:k,];M<-x[(k+1):(2*k+1),];R<-x[(2*k+2):(3*k+1),]} if(remainder==2){L<-x[1:(k+1),];M<-x[(k+2):(2*k+1),];R<-x[(2*k+2):(3*k+2),]} amountL<-dim(L)[1] amountM<-amountL+dim(M)[1] amountR<-amountM+dim(R)[1] XL<-summary(L[,1])[["Median"]] ##开 始拟合 XM<-summary(M[,1])[["Median"]] XR<-summary(R[,1])[["Median"]] YL<-summary(L[,2])[["Median"]] YM<-summary(M[,2])[["Median"]] YR<-summary(R[,2])[["Median"]] b<-numeric();a<-numeric();c<-numeric();d<-numeric() b[1]<-(YR-YL)/(XR-XL) a[1]<-1/3*((YL-b[1]*XL)+(YM-b[1]*XM)+(YR-b[1]*XR)) kexi<-(x[,2]-(a[1]+b[1]*x[,1])) 求残差 savekexi<-kexi x<-cbind(x,kexi) L<-x[1:amountL,] 量回归 M<-x[(amountL+1):amountM,] R<-x[(amountM+1):amountR,] XL<-summary(L[,1])[["Median"]] XM<-summary(M[,1])[["Median"]] XR<-summary(R[,1])[["Median"]] kexiL<-summary(Lkexi)[["Median"]]kexiM<?summary(Mkexi)[["Median"]]
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##确定三组的

##

##下面把残差对自变

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kexiR<-summary(R kexi)[["Median"]]
d[1]<-(kexiR-kexiL)/(XR-XL) c[1]<-1/3*((kexiL-d[1]*XL)+(kexiM-d[1]*XM)+(kexiR-d[1]*XR)) i=1 while((abs(c[i])>precision1)|abs((d[i])>precision2)){ b[i+1]<-b[i]+d[i] a[i+1]<-a[i]+c[i] kexi<-(x[,2]-(a[i+1]+b[i+1]*x[,1])) x kexi<-kexi ##迭代

savekexi<-cbind(savekexi,kexi) L<-x[1:amountL,] M<-x[(amountL+1):amountM,] R<-x[(amountM+1):amountR,] kexiL<-summary(Lkexi)[["Median"]]kexiM<?summary(Mkexi)[["Median"]] kexiR<-summary(R$kexi)[["Median"]] i=i+1 d[i]<-(kexiR-kexiL)/(XR-XL) c[i]<-1/3*((kexiL-d[i]*XL)+(kexiM-d[i]*XM)+(kexiR-d[i]*XR)) } No.kexi<-paste("kexi",1:i) ##整理数据、合 并、显示 colnames(savekexi)<-No.kexi All<-cbind(x1,x[,c(1,2)],savekexi) argument<-cbind(a,b,c,d) list(All, argument) }和性质 【考点阐述】 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的 图像和性质.已知三角函数值求角. 【考试要求】 (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A、ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示. 【考题分类】 (一)选择题(共 21 题) 1.(安徽卷文 8)函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(



12 k? ? ? ? , k ? 0, x ? 解: y ? sin(2 x ? ) 的对称轴方程为 2 x ? ? k? ? ,即 x ? 3 3 2 2 12 12

A. x ? ?

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?

?

?

?

2.(广东卷文 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是(
2



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? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 2 1 ? cos 4 x 2 2 2 【解析】 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x ? ,选 D. 2 4
A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为 3.(海南宁夏卷理 1)已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ] 的图像如下:那么ω =( )

C. 1/2 解:由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ? 2
值分别为( A. -3,1 【标准答案】:C ) B. -2,2 C. -3,

A. 1

B. 2

D. 1/3

4.(海南宁夏卷文 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大

3 2

D. -2,

3 2

1? 3 ? 【试题解析】:∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ? ? 2? 2 ?
2

2

∴当 sin x ?

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3 ;故选C; 2 2

【高考考点】三角函数值域及二次函数值域 【易错点】:忽视正弦函数的范围而出错。 【全品备考提示】:高考对三角函数的考查一直以中档题为主,只要认真运算即可。 5.(湖南卷理 6)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?

)

A.1
【答案】C 【解析】由 f ( x) ?

B. 1 ? 3
2

C.

3 2

D.1+ 3

1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 6

5? 1 3 , ? f ( x) max ? ? 1 ? . 故选 C. 4 2 3 6 6 2 2 ? 3? ) 内的图象是 6.(江西卷理 6 文 10)函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 ( , 2 2 ?x? ? ? 2x ? ?
y
y
y
?
2

?

?

?

?

y

2 -

?
? 2

2 -

?
? 2

o ?2 -

?

3? 2

? 2

x

o

?
A

3? 2

x o

?
B

3? 2

x

?

o ?2 -

?

3? 2

x

?

C

D

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【解析】D. 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x ? ? 7.(江西卷文 6)函数 f ( x) ? A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数 【解析】

?2 tan x, 当 tan x ? sin x时 ? 2sin x, 当 tan x ? sin x时

sin x x sin x ? 2sin 2

是 B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

A

f ( ? x) ?

sin(? x) sin(? x) ? 2sin
? ?

?x 2

? f ( x)

f(4 ? ? x) ? f ( x? )

f? (2 ?

x )

8. (全国Ⅰ卷理 8) 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像, 只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 (

π? 3?



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 【解析】.A.

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

?? 5? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? 3? 6 ? ?

5? ? ? ? ? ? sin 2 ? x ? ?, 只 需 将 函 数 12 ? ? ?

y ? sin 2 x 的图像向左平移

5π π? ? 个单位得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像. 12 3? ?
2

9.(全国Ⅰ卷文 6) y ? (sin x ? cos x) ? 1是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数



B.最小正周期为 2 π 的奇函数

C.最小正周期为 π 的偶函数

D.最小正周期为 π 的奇函数

解析:本题主要考查了三角函数的化简,主要应用了sinx ? cosx,与2sinxcosx的关系, 同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。 2? ∵y=1-sin 2x-1=-sin 2x,∴T= =?   ,为奇函数。∴答案为D -2
10. (全国Ⅰ卷文 9) 为得到函数 y ? cos ? x ?

? ?

π? 只需将函数 y ? sin x 的图像 ( ? 的图象, 3?
B.向右平移



π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6

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解析:本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式: ∵y= cos (x+

?
3

)= sin (

?
2

+x+

?
3

)=sin(x+

∴可由y=sinx向左平移

5? 得到∴答案为C 6

5? ) 6

11. (全国Ⅱ卷理 8 ) 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于

M ,N 两点,则 MN 的最大值为(
A.1 【答案】B B. 2

) C. 3 D.2

【解析】在同一坐标系中作出 f1 ( x) ? sin x 及 g1 ( x) ? cos x 在 [0,2? ] 的图象,由图象知, 当x ?

3? 3? 2 2 ,即 a ? 时,得 y1 ? , y2 ? ? ,∴ MN ? y1 ? y 2 ? 2 4 4 2 2

【高考考点】三角函数的图象,两点间的距离 【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题 12.(全国Ⅱ卷文 10)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A.1 【答案】B 【解析】 f ( x) ? sin x ? cos x ? B. ) D.2

2
2 sin( x ?

C. 3

?
4

) ,所以最大值是 2

【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题 【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题 13. (四川卷理 10) 设 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? , 其中 ? ? 0 , 则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( )

(A) f ? 0? ? 1

(B) f ? 0? ? 0

(C) f ' ? 0? ? 1

(D) f ' ? 0? ? 0

【解】:∵ f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 是偶函数 ∴由函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 图象特征可知 x ? 0 必是 f ? x ? 的极值点, ∴f
'

? 0? ? 0

故选 D

【点评】:此题重点考察正弦型函数的图象特征,函数的奇偶性,函数的极值点与函数导数 的关系; 【突破】:画出函数图象草图,数形结合,利用图象的对称性以及偶函数图象关于 y 轴对 称的要求,分析出 x ? 0 必是 f ? x ? 的极值点,从而 f
'

? 0? ? 0 ;

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14.(天津卷理 3)设函数 f ?x ? ? sin ? 2 x ? (A) (C) 最小正周期为 ? 的奇函数 最小正周期为

? ?

??

?, x ? R ,则 f ?x ? 是 2?
(B) (D) 最小正周期为 ? 的偶函数 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

解析: f ( x) ? ? cos 2 x 是周期为 ? 的偶函数,选 B. 15. (天津卷理 9 ) 已知函数 f ?x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ?0,??? 上是增函数 . 令

2? ? 5? ? 5? ? ? ? ? a ? f ? sin ?, b ? f ? cos ?, c ? f ? tan ? ,则 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

c?b?a b?c?a a?b?c (C) (D) 5? 2? 5? 2? ) ? f (cos ) , c ? f (? tan ) ? f (tan ) 解析: b ? f (? cos 7 7 7 7 ? 2? ? 2? 2? 2? ? ,所以 0 ? cos ? sin ? 1 ? tan 因为 ? ,所以 b ? a ? c ,选 A. 4 7 2 7 7 7 ? 16.(天津卷文 6)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度, 3 1 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的 2
(A) (B) 函数是( )

b?a?c

A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?
?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ? ? ?? ? ?,x ? R 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ? 解析:选 C,

? ?

D. y ? sin ? 2 x ?

3 2 y ? sin x ?????? ? y ? sin( x ? ) ???????? y ? sin(2 x ? ) . 3 3

向左平移 个单位

?

1 横坐标缩短到原来的 倍

?

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则( ) 7 7 7 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c 2? ? 2? ? 2? 2? 2? ? ,所以 0 ? cos ? sin ? 1 ? tan 解析: a ? sin ,因为 ? ,选 D. 7 4 7 2 7 7 7 x 3? )( x ? [0, 2? ]) 的图象 18.(浙江卷理 5 文 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? 2 2 1 和直线 y ? 的交点个数是 2
17.(天津卷文 9)设 a ? sin (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 解析:本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为:
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x x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) = sin , x ? [0, 2? ]. 作出原函数图像, 2 2 2 1 截取 x ? [0, 2? ] 部分,其与直线 y ? 的交点个数是 2 个. 2
y ? cos(
19.(浙江卷文 2)函数 y ? (sin x ? cos x) 2 ?1 的最小正周期是 (A)

? 2

(B) ?

(C)

3? 2

(D) 2?

解析:本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为: y ? sin 2 x ? 2 ,故其周期为

T?

2? ? ?. 2

20.(重庆卷理 10)函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 3 ? 2 cos x ? 2sin x
(C)[- 2,0 ] (D)[- 3,0 ]

(A)[-

2 ,0 ] 2

(B)[-1,0]

解:特殊值法, sin x ? 0, cos x ? 1 则 f(x)=

0 ?1 ? ?1 淘汰 A, 3 ? 2 ?1 ? 2 ? 0



6 ? (sin x ? 1)2 sin x ? 1 3 ? ? 2 得 cos x ? 当时 sin x ? ? 1时 cos x ? 所以 2 4 3 ? 2cos x ? 2sin x

矛盾 f ( x) ? ? 2 淘汰 C, D 21.(重庆卷文 12)函数 f(x)=

sin x (0≤x≤2 ? )的值域是 5 ? 4cos x
1 1 ] 3 3
(C)[- ,

(A)[-

1 1 , ] 4 4

(B)[- ,

1 1 ] 2 2

(D)[-

2 2 , ] 3 3

【答案】C 【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令

5 ? 4cos x ? t (1 ? t ? 3) , 则
2 ? t 4 ? 1t 0 ? 9 , 4

sin 2 x ?

16 ? (t 2 ? 5) 2 1 6? t(2 ? 52) , 当 0? x ?? 时 , si n x? ? 16 16

sin x ?t 4 ? 10t 2 ? 9 f ( x) ? ? ? 4t 5 ? 4 cos x

?(t 2 ?

9 9 ) ? 10 ?2t 2 ? 2 ? 10 2 1 t t ? ? 当且仅 4 4 2
1 ,综上可知 f ( x ) 的值域为 2

当 t ? 3 时取等号。同理可得当 ? ? x ? 2? 时, f ( x ) ? ?

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1 1 [? , ] ,故选 C。 2 2
(二)填空题(共 8 题) 1.(广东卷理 12)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期




1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x , 此时可得函数的最小正周期 2 2

2 【解析】 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?

T?

? , 其中 w ? 0 , 则w? 5 6 2? ? ? ? ? ? 10 【答案】10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ? ? 5
2. (江苏卷 1) f ( x ) ? cos( wx ?

2? ?? 。 2

?

) 的最小正周期为



3. (辽宁卷理 16 ) 已知 f ( x) ? sin? ? x ?

? ?

?? ? ?? ? ?? ( ? 0) , f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ?? 3? ? 6? ? 3?

?? ?? ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? =__________. ?6 3?
解 析 : 本 小 题 主 要 针 对 考 查 三 角 函 数 图 像 对 称 性 及 周 期 性 。 依 题

f ( x)? s ? i n? x (

?
3

? ?) (

f0? ), 6

?

( f 且) f ( x) ( ) ( , ) 有最小值,无最大值,∴ 在区间 6 3 3

?

? ?

? ? ? , ) 为 f ( x) 的一个半周期的子区间,且知 f ( x) 的图像关于 x ? 6 3 ? 对称, 6 3 2 4 ? ? 3? 14 14 , k ? Z ,取 K ? 0 得 ? ? . 答案: ∴ ? ? ? ? 2 k? ?
区间 (

?

?

?

4

3

2

3

3

4.(辽宁卷文 16)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ?

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x 2sin 2 x ? 1 2 ? cos 2 x ? ? k, sin 2 x sin 2 x



解析:本小题主要考查三角函数的最值问题。 y ?
2 2

取 A(0, 2), B(? sin 2x,cos 2 x) ? x ? y ? 1 的 左 半 圆 , 作 图 ( 略 ) 易 知

kmin ? tan 60 ? 3. 答案: 3
5.(上海卷理 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 【答案】 2 【解析】由 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ?

? 2

?
6

) ? f ( x) max ? 2 .

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6.(上海春卷 4)方程 2cos ? x ?

? ?

??

? ? 1 在区间 ( 0, ? ) 内的解是 4?

.

解析: 原方程就是 cos ? x ?

? ?

??

? ? 7? ? 1 或x ? 2k? ? 所以 x ? ? 2k? ? , x ? 2k? ? ?? , 4 3 12 12 4? 2
7? 。 12

故在区间 ( 0, ? ) 内的解是 x ?

7 . (四川延考理 15 ) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

6 4? ( , 2? )单调减少,则 ? ? 。 3 4 4 ? 4 ? ? 3 1 解:由题意 f ( ? ) ? sin( ?? ? ) ? 1 ? ?? ? ? 2k? ? ? ? ? k ? , k ? Z 3 3 6 3 6 2 2 2 1 又 ? ? 0 ,令 k ? 0 得 ? ? 。(如 k ? 0 ,则 ? ? 2 , T ? ? 与已知矛盾) 2
8.(四川延考文 14)函数 f ( x) ? 3sin x ? cos 2 x 的最大值是____________. 解: 因为

) (? ? 0) 在 (0,

4? ) 单调增加,在 3

3 sin x?

2 , cos x ? 0 , 3

? f ( x) ?

3 sin x ? c2o s x?

,3 正好

(另 f ( x) ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 sin x ? 1 ? (sin x ? s i nx ? 1, c o xs ? 时取等号。 0 在 sin x ? 1 时取最大值) (三)解答题(共 16 题) 1.(安徽卷理 17 文 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

3 2 7 ) ? 2 4

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 解:(1)

, ] 上的值域 12 2

? ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2?
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?
6

)

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∴周期T ?
由 2x ?

?
6

2? ?? 2

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)

?

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

3

(k ? Z )

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

?
3

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2 ? ? π? ? ( ? ? 0 )的最 2?

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

2.(北京卷理 15 文 15)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? 小正周期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解:(Ⅰ) f ( x) ?

? 2π ? ? ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 π? 1 ? ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 2 2 6? 2 ?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π π π 7π 1 π? ? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , 3 6 6 6 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

3.(广东卷理 16 文 16)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是

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1,其图像经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? 【解析】 (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f( x) ? s i n ( 而 0 ? ? ? ? ,? ( 2 ) 依

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

? ? 5 ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 2 3 6 3 12 题 意 有 cos ? ? , cos ? ? , 而 ?, ? ? 5 13

?

? 1 ? 1 将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , x )? ? , 3 2 3 2
?

( 0 , , 2

)

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
4.(湖北卷理 16)已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ?sin x ? f (cos x), x ?( ?, ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、 代数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解:(Ⅰ) g ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x 1 ? cos x
(1 ? cos x)2 sin 2 x

? cos x

(1 ? sin x)2 ? sin x cos2 x

? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x

? 17? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?
? g ( x) ? cos x 1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x

? sin x ? cos x ? 2
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= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, ), 3 4 2 4 4 2 ? ? ?

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

? 4

2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

5.(湖北卷文 16)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2

(Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0,? ? 0,? ? [0, 2 ? ))的形式,并指出

f ( x) 的周期;
(Ⅱ)求函数 f ( x )在[? , 解:(Ⅰ) f ( x) ?

17? ] 上的最大值和最小值 12

1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 sin x ? ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin( x ? ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

故 f ( x ) 的周期为 2k? {k∈Z 且 k≠0}.

(Ⅱ)由π ≤x≤

5? 17 5 ? 5 2 ? 3 π ,得 ? ? x ? ? ? .因为 f(x)= ] sin(x ? ) ? 在[ ? , 4 12 4 4 3 2 4 2 5? 17? , ]上是增函数. 4 12

上是减函数,在[

故当 x=

5? 17 3? 2 6? 6 时,f(x)有最小值- ;而 f(π )=-2,f( π )=- <-2, 4 12 2 4 x x ? sin 2 ? sin x . 2 2

所以当 x=π 时,f(x)有最大值-2.
2 6.(湖南卷文 17)已知函数 f ( x) ? cos

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期;

(II)当 x 0 ? (0,

?
4

) 且 f ( x0 ) ?

? 4 2 时,求 f ( x 0 ? ) 的值。 6 5

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解:由题设有 f ( x) ? cos x ? sin x ?

π 2 sin( x ? ) . 4

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2 π. (II)由 f ( x0 ) ?

π 4 4 2 π 4 2 得 2 sin( x0 ? ) ? , 即 sin( x0 ? ) ? , 4 5 5 4 5

因为 x 0 ? (0,

?
4

) ,所以 x0 ?

π π ? ? ( , ). 4 4 2
2

从而 cos( x0 ? ) ? 1 ? sin ( x0 ? ) ? 1 ? ( ) ?
2

π 4

π 4

4 5

3 . 5

于是 f ( x 0 ?

π ? π ? ? ) ? 2 sin[( x0 ? ) ? ] 6 4 6 4 6 π ? π ? ? 2[sin( x0 ? ) cos ? cos( x0 ? ) sin ] 4 6 4 6

?

) ? 2 sin( x0 ?

4 3 3 1 4 ? 6 3 2 ? 2( ? ? ? ) ? . 5 2 5 2 10
7.(江苏卷 15).如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别 为

2 2 5 。 , 10 5

(1) 求 tan(? ? ? ) 的值; (2) 求 ? ? 2 ? 的值。 【试题解析】 先由已知条件得 cos ? ?

2 2 5 , 第 ( 1) ,cos ? ? 10 5

问求 tan(? ? ? ) 的值, 运用正切的和角公式; 第 (2) 问求 ? ? 2 ? 的值, 先求出 tan(? ? 2 ? ) 的值,再根据范围确定角的值。 【标准答案】(1)由已知条件即三角函数的定义可知 cos ? ?

2 2 5 , ,cos ? ? 10 5

因 ?为锐角, 故 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

7 2 10

同理可得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 5 ,因此 tan ? ? 7, tan ? ? . 2 5

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1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 ; 所以 tan(? ? ? ) = ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 ? ?1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 又0 ? ? ? , 0 ? ? ? , 故0 ? ? ? 2 ? ? , 2 2 2 3? 从而由 tan(? ? 2? ) ? ?1 得 ? ? 2 ? ? . 4 1 5 8.(江西卷文 17)已知 tan ? ? ? , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;
(2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值. 解:(1)由 cos ? ?

5 2 5 , ? ? (0, ? ) 得 tan ? ? 2 , sin ? ? 5 5

1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1. 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3
(2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ?

1 3

1 3 , cos ? ? ? 10 10

f ( x) ? ?

3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x 5 5 5 5

? ? 5 sin x

f ( x) 的最大值为 5 .

9. (山东卷理 17) 已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数, 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ?

? 3 ? 1 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

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π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数,所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6? ? ? π? 6? ? ? π? 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ,

? ?

π? 6?

? ?

π? 6?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

因为 ? ? 0 ,且 x ? R ,所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

又因为 0 ? ? ? π ,故 ? ?

π π π? ? ? .所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? 2cos ? x . 6 2 2? ?

由题意得



?

?2

π ,所以 ? ? 2 .故 f ( x) ? 2cos 2 x . 2

因此 f ?

π ?π? ? ? 2 cos ? 2 . 4 ?8?
π π? ? 个单位后,得到 f ? x ? ? 的图象,再将所得图象横坐标 6 6? ?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ?

? x π? ? ? 的图象. ?4 6?

所以 g ( x) ? f ? 当 2kπ ≤

? ? x π ?? ? x π? ? x π? ? ? ? 2cos ?2 ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? . ?4 6? ?2 3? ? ? 4 6 ??

x π ? ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ), 2 3 2π 8π ≤ x ≤ 4kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 即 4kπ ? 3 3
因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? 4kπ ?

? ?

2π 8π ? , 4kπ ? ? ( k ? Z ). 3 3?

10.(山东卷文 17)已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π , ? ? 0 )

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为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f ?

π . 2

?π? ? 的值; ?8?
π 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 求 g ( x) 的 6

(Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 单调递减区间.

解:(Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 π? ? ? 2? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 2 6? ? ? 2 ?
因为 f ( x ) 为偶函数,所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? π? ? ? ? 0 .因为 ? ? 0 ,且 x ? R ,所以 cos ? ? ? ? ? 0 . 6? 6? ?
π π π? ? ? .所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? 2cos ? x . 6 2 2? ?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

又因为 0 ? ? ? π ,故 ? ?

由题意得



?

?2

π ,所以 ? ? 2 .故 f ( x) ? 2cos 2 x .因此 2

π ?π? f ? ? ? 2 cos ? 2 . 4 ?8?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

π π? ? 个单位后,得到 f ? x ? ? 的图象, 6 6? ?

所以 g ( x) ? f ? x ? 当 2kπ ≤ 2 x ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2cos ?2 ? x ? ?? ? 2cos ? 2 x ? ? . 6? 6 ?? 3? ? ? ?

π ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ), 3 π 2π 即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3
因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z ). 6 3?

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11.(陕西卷理 17)已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解:(Ⅰ)

f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x) 是偶函数.
12.(陕西卷文 17)已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 3 cos . 4 4 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

解:(Ⅰ)

f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3?

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) .? 函数 g ( x) 是偶函数. 2 ? 2?
? 13.(上海卷文 18)已知函数 f(x)=sin2x,g(x)=cos(2x+ ),直线 x=t(t∈R)与函数 f(x)、 6 g(x)的图像分别交于 M、N 两点 ? ⑴当 t= 时,求|MN|的值 4 ? ⑵求|MN|在 t∈[0, ]时的最大值 2 【解】(1) MN ? sin ? 2 ?

? ?

??

? ? ?? ? ? cos ? 2 ? ? ? …………….2 分 4? 4 6? ?
2? 3 ? . ………………………………5 分 3 2

? 1 ? cos

(2) MN ? sin 2t ? cos ? 2t ?

? ?

??

3 3 ? ? 2 sin 2t ? 2 cos 2t ……...8 分 6?

?? ? ? 3 sin ? 2t ? ? …………………………….11 分 6? ?
∵ t ? ?0,

? ? ? ?? ? ?? , 2t ? ? ? ? , ? ? ? , ? 6 ? 6 6? ? 2?

…………13 分

∴ |MN|的最大值为 3 .

……………15 分
2 4

14.(四川卷理 17 文 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。 【解】: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
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? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zm a x? ? ? 1 ?1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,复合函数中间变量的范围是关键; 15.(天津卷理 17)已知 cos? x ? (Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin? 2 x ?

? ?

??

2 ? ? ?? ? , x ?? , ? . ?? 4 ? 10 ?2 4 ?

? ?

??

? 的值. 3?

解:(Ⅰ)因为 x ? ?

? ?? ? ? ? ? 3? ? , ? ,所以 x ? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2? ?2 4 ?

?? ?? 7 2 ? ? sin? x ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? ? ? 4? 4 ? 10 ? ?
?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin ? ?? x ? 4 ? ? 4 ? ? ? sin ? x ? 4 ? cos 4 ? cos? x ? 4 ? sin 4 ? ? ? ? ? ?? ? ? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
3 ?4? ? ? 3? ? , ? ,故 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ?2 4 ?
24 7 , cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? ? 25 25
2

(Ⅱ)因为 x ? ?

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ?
所以 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? 3? 3 3
2

?

?

24 ? 7 3 50

16.(天津卷文 17)已知函数 f ( x) ? 2cos 正周期是

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R,? > 0) 的最小

(Ⅰ)求 ? 的值;
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? . 2

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(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. 本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

(Ⅰ)解:

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ?

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ? ? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . 由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 ,可得 2 2? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z?. 16 2 ? ?

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