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高一年级期末综合练习题98


-

必修一四五练习题
o 1.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ?

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2 B.

2

. 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x 的最小正周期为 A. 2? 3.

3? 2
5

C. ?

D.

? 2

,? 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 n l o2 g a ? 1 l o a g ? ? 2 3 ?
n? 2

1? , 2 ,, 且 a5 ? a n2 ?
B. ( n ? 1)
2

? 22 n ( n ? 3, ) 则 当 n ?1 时 ,
2

a l o g ? 1n(2n ? 1) 2A.

C. n

D. (n ? 1)

2

4. 数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 A. 470

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 为 3 3
C. 495 D. 510

B. 490

5. 直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是 A. B. C. D.

6. 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

?3 x ? y ? 6 ? 0 2 3 ? 7. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,则 ? 的最 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
小值为( ). A.

25 6
2

B.

8 3

C.

11 3

D. 4 )

8. 不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??)
2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C. [1, 2]

D. (??,1] ? [2, ??)

9. 等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2 m?1 ? 38 ,则 m ? (A)38 (B)20 (C)10 (D)9
w.w.w.k.s.5. u.c.o.m

10. .已知无穷等比数列{an}的前 n 项的积为 Tn,且 a1>1,a2008a2009>1,(a2008-1)(a2009-1) <0,则这个数列中 使 Tn>1 成立的最大正整数 n 的值等于 A.2008 B.2009 C.4016 D.4017 .

11. 已知函数 f(x)=logsin1(x2-6x+5)在(a,+ ∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围为
?

12. 已知数列 {an } 满足: a4 n ?3 ? 1, a4 n ?1 ? 0, a2 n ? an , n ? N , 则 a2009 ? ________; a2014 =_________. 13. 若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、 B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,
2 2
2 2

则线段 AB 的长度是
.

w

-

14. 四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为 1、 6 、3,四面体的四个顶点在同一个球 面上,则这个球的体积为 .

? an ? , 当an为偶数时, 15. 已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数), an ?1 ? ? 2 若 a6=1 ,则 m 所有可能的取值 ?3an ? 1, 当an为奇数时。 ?
为__________。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16. (12 分)在△ ABC 中,sinB+sinC=sin(A-C).(1)求 A 的大小;(2)若 BC=3,求△ ABC 的周长 l 的最大值. 17. (12 分) 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象上一点, 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,
x

1 3

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > bnbn?1 2009

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

18. (12 分)如图,P—ABCD 是正四棱锥,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,其中 AB=2,PA= 6 . (1)求证:PA⊥B1D1; (2)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 θ 的大小;(3)求 B1 到平面 PAD 的距离.

19. ( 13 分 )

在平面直角坐标系

xoy

中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和 圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) 设 P 为平面上的点, 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 20.(13 分 ) 如图, 在三棱 拄 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 侧 面 BB1C1C ,已 知
A A1

BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3
B B1 E C1

(1)求证: C1 B ? 平面ABC ; (2)试在棱 CC1 (不包含端点 C , C1 ) 上确定一点 E 的位置, 使得 EA ? EB1 ; C (3) 在(2)的条件下,求二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值. 21.(13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? cos 2

n? n? )an ? sin 2 , n ? N* . 2 2

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(1)求 a2 , a3 , a4 ,并求出数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
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a2 n 5 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求证: S n ? n ? . a2 n ?1 3

.

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高一数学答案 一.选择题 题号 答案 1 A 23 A 3 C 4 A 5 A 6 B
32? 3

7 A

8 A

9 C

10 C

二.填空题 11.[5,+∞) 12.1 0 13. 4 14.

15. 4 5 32 (2 分) (6 分)

16. 解:(1)将 sinB+sinC=sin(A-C)变形得 sinC(2cosA+1)=0, 而 sinC≠0,则 cosA= ?T ,又 A∈(0,π),于是 A=
e

1 2

2? ; 3

(2)记 B=θ,则 C=

? AC ? 2 3 sin θ ?s ? -θ(0<θ< ),由正弦定理得 ? , ? ? 3o 3 ? AB ? 2 3 sin( ? θ ) 3 ?
o

(8 分)

n [sinθ+sin( 则△ ABC 的周长 l=2 3 .

? ? -θ)]+3=2 3 sin(θ+ )+3≤2 3 +3, 3 3

(10 分) (12 分)

当且仅当 θ=

? c 时,周长 l 取最大值 2 3 +3. 6
o m

1 ?1? 17. 【解析】(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?


x

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? 星 ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3版 9 权 f 2 ? c? ? ? 2 . a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? ? ? ? 27 4 2 a 2 1 又数列 ? an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?

2?1? a2 1 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N*



Q S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;
2 2

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1 1 1 ? n ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ; ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2 n? 2 n 1? ? 2 1 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? 2

.

-

由 Tn ?

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ? 2n ? 1 2009 9 2009

18. 解:(1)连结 AC,交 BD 于点 O,连结 PO, 则 PO⊥面 ABCD,又∵AC⊥BD, ∴PA⊥BD, ∵BD∥B1D1,∴PA⊥B1D1. (2)∵AO⊥BD,AO⊥PO, ∴AO⊥面 PBD, 过点 O 作 OM⊥PD 于点 M,连结 AM, 则 AM⊥PD, ∴∠AMO 就是二面角 A—PD—O 的平面角, 又∵AB=2,PA= 6 , ∴OD= 2 ,PO= 6 ? 2 ? 2 , OM=
PO ? OD 2 ? 2 2 , ? ? PD 6 3

(4 分)

(6 分)

∴tan∠AMO=

AO 2 6 , ? ? 2 OM 2 3

















arctan

6 2

.

(8 分)

(3)分别取 AD,BC 中点 E,F,作平面 PEF,交底面于两点 S,S1,交 B1C1 于点 B2,过点 B2 作 B2B3⊥PS 于 点 B3,则 B2B3⊥面 PAD,又 B1C1∥AD, ∴B2B3 的长就是点 B1 到平面 PAD 的距离. ∵PO=AA1=2, ∴EF=
SS1 4 2 , ? 2 ,tan∠PSS1= ? 2 ,sin∠PSS1= 2 2 5
2 5 ? 6 5 . 5

(10 分)

∴B2B3=B2Ssin∠PSS1= 3 ?

(12 分 )

19. (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

7 24

求直线 l 的方程为: y

? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

.

-

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心 C1 到 直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 20. 证(Ⅰ)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 ? BC1C 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
故有 而

?
3

? 3

BC 2 ? BC12 ? CC12 ????????? C1B ? BC

A

A1

BC ? AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC
B

? C1 B ? 平面ABC
C E C1

B1

(Ⅱ)由

EA ? EB1 , AB ? EB1 , AB ? AE ? A, AB, AE ? 平面ABE
从而 B1E ? 平面ABE 不妨设 且 BE ? 平面ABE 故 BE ? B1E

CE ? x ,则 C1 E ? 2 ? x ,则 BE 2 ? 1 ? x2 ? x
2 ? 3
2

又? ?B1C1C ?

则 B1E ? 1 ? x ? x
2 2

在 Rt ? BEB1 中有 x ? x ? 1 ? x ? x ? 1 ? 4
2

从而 x ? ?1 (舍负)

故 E 为 CC1 的中点时, EA ? EB1 (Ⅲ)取 EB1 的中点 D , A1 E 的中点 F , BB1 的中点 N , AB1 的中点 M 连 DF 则 DF // A1B1 ,连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1 B1
.

-

连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形, MD // AE 又? A1 B1 ? EB1 , BE ? EB1 在 Rt? DFM 中, DF ? 故 ?MDF 为所求二面角的平面角
A M A1

1 2 A1 B1 ? (? ?BCE为正三角形) 2 2

1 1 1 BE ? CE ? 2 2 2 1 2 ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2 MF ?

B

F N D B1

C

E

C1

21. 解:(1) a2 ? (1 ? 0)a1 ? 1 ? 2 , a3 ? (1 ? 1)a2 ? 0 ? 4 , a4 ? (1 ? 0)a3 ? 1 ? 5 一般地, a2 m?1 ? 2a2 m , a2 m ? a2 m?1 ? 1 ,则 a2 m?1 ? 2a2 m ?1 ? 2 有 a2 m?1 ? 2 ? 2(a2 m?1 ? 2) ,

a2 m?1 ? 2 ? 2 ,数列 {a2 m ?1 ? 2} 是公比为 2 的等差数列, a2 m?1 ? 2 ? (a1 ? 2)2m?1 得: a2 m?1 ? 2
a2 m?1 ? ?2 ? 3 ? 2m?1 (m ? N * ) , a2 m ?

1 a2 m?1 ? ?1 ? 3 ? 2m?1 (m ? N * ) 所以: 2

n ?1 ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 n为奇数 ? an ? ? ...................6 分 n ? ?1 ? 3 ? 2 2 ?1 n为偶数 ?

(2) bn ?

?1 ? 3 ? 2n ?1 ?2 ? 3 ? 2n ?1 ? 1 1 1 ? ? 1? ? 1? n ?1 n ?1 n ?1 ?2 ? 3 ? 2 ?2 ? 3 ? 2 ?2 ? 3 ? 2 2(?1 ? 3 ? 2 n ?2 )

而当 n ? 2 时, ?1 ? 3 ? 2n ?2 ? 2 ,故 0 ? 则0 ?

1 ?1, ?1 ? 3 ? 2n?2

1 1?1 2 1 1 ,从而 ? ? ? n?2 n?2 n?2 n?2 ?1 ? 3 ? 2 (?1 ? 3 ? 2 ) ? 1 3 ? 2 2(?1 ? 3 ? 2 ) 3 ? 2n?2

bn ? 1 ?

1 4 ? 1? (n ? 2, n ? N * ) n?2 n 3? 2 3? 2

1 4 4 4 4 4 1 Sn ? 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? n ?1? ? (1 ? n ?1 ) 2 3 n 1 3 3? 2 3? 2 3? 2 2 1? 2 2 1 5 4 5 ? n ? 1 ? (1 ? n?1 ) ? n ? ? ? n ? ..........13 分 n 3 3 3? 2 3 2

.


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