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山西省山大附中2014-2015学年高二12月月考数学试题 Word版含答案


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山西大学附中 2014—2015 学年第一学期高二 12 月月考

数学试题
考试时间:90 分钟 考试内容(立体几何、简易逻辑、椭圆) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中只有一 个选项符合题目要求) 1.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 2. m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. m / / n, m ? ? ? n ? ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

3.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 侧棱与底面垂直,体积为

9 ,高为 3 ,底面是正三角形,若 P 是 4

) ?A1 B1C1 中心,则 PA 与平面 ABC 所成的角大小是( ? ? ? ? A. B. C. D. 12 3 4 6 4.在空间直角坐标系中,点 P ?? 2,1,4 ? 关于 x 轴的对称点的坐标是( A. (?2,1,?4) B. (?2,?1,?4) C. (2,?1,4) D. (2,1,?4)



5.如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为 45° ,腰和上底都为 1 的等腰梯 形,那么原平面图形的面积是 ( ) A. 2 ? 2 B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

2

D. 1 ? 2

6.下列四种说法中,错误的个数是( ① A ? ?0,1? 的子集有 3 个;

②“若 am ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;

③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件;
2 ④命题“ ?x ? R ,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x 0 ? R ,使 x 0 ? 3 x0 ? 2 ? 0 ”.

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D .3 个 7.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( ) A.

27? 4

B. 16?

C. 9?

D.

81? 4

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , 椭圆 C 与 x 轴正半轴交于 A 点, 与y轴 a2 b2 正半轴交于 B ? 0, 2 ? ,且 BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,则椭圆 C 的方程为( )
8. 椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 A. 4 2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 ? ?1 B. D. 6 4 8 4 16 8 9.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC , CD, SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论中恒成立的个数为( ) (1) EP ? AC ; (2) EP // BD ; (3) EP // 面SBD ; (4) EP ? 面SAC .
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个

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10.如图正三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 的底面边长为 3 ,高为 2,一只蚂蚁 要从顶点 A 沿三棱柱的表面爬到顶点 C ? ,若侧面 AA?C ?C 紧贴墙面 (不能通行) ,则爬行的最短路程是( ) A. 13 B. 2 ? 3 C. 4 D. 3 ? 7 11.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形, 底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD ? 面ABCD , M 为底面 ABCD 内 的一个动点,且满足 MP ? MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为(

)

12.如图,在四面体 ABCD 中,DA ? DB ? DC ? 1 ,且 DA, DB, DC 两两互相垂直, 点O 是 ?ABC 的中心,将 ?DAO 绕直线 DO 旋转一周,则在旋转过程中,直线 DA 与 BC 所成 角的余弦值的取值范围是( ) A. [0,

6 ] 3

B. [0,

3 ] 2

C. [0,

2 ] 2

D. [0,

3 ] 3

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 在 y 轴上,

13.在空间直角坐标系中,已知点 A ?1, 0, 2 ? , B ?1, ?3,1? ,点 M
2 1

且 M 到 A 与 B 的距离相等,则 M 的坐标是 . 14.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 . 15.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线, 经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平 放置 的椭圆形球盘,点 A、B 是它的两个焦点,长轴长 2a ? 10 ,焦距 2c ? 6 , 静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线(不与长轴共线 ) ...... 发出,经椭圆壁反弹后第一次 回到点 A 时,小球经过的路程为 ... 16.下列命题: ①?ABC 的三边分别为 a, b, c 则该三角形是等边三角形的充要条件为

1

1



a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ; ② 在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件; 2 ③ 若命题 P : ?x ? R, tan x ? 1; 命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则命题 " p且?q" 是假命题;
2 ④已 知 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都 是 不 等 于 零 的 实 数 , 关 于 x 的 不 等 式 a1 x ? b1 x ? c1 ? 0 和

a1 b1 c1 ? ? 是 P ? Q 的充分必要条件; a2 b2 c2 ⑤ “函数 f ( x) ? tan( x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ”.

a2 x 2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为 P, Q ,则

其中正确的命题是 . 三.解答题(本题共 5 大题,共 48 分) 17. (本小题满分 8 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 面 ABCD ,?BAD ? 60 . (1)求证:平面 BCF / / 平面 AED ; E (2)若 BF ? BD ? a ,求四棱锥 A ? BDEF 的体积.
F

D A B

C

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18. (本小题满分 10 分) 设 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 , q :实数 x 满足 ? (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2) ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

19. (本小题满分 10 分) 已知某椭圆 C ,它的中心在坐标原点,左焦点为 F (? 3 ,0) ,且过点 D (2,0) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若已知点 A(1, ) ,当点 P 在椭圆 C 上变动时,求出线段 PA 中点 M 的轨迹方程.

1 2

20. (本小题满分 10 分) 如图,AB 为圆 O 的直径, 点 E , F 在圆 O 上,AB // EF , 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所 在的平面互相垂直.已知 AB ? 2, EF ? 1 . (1)求证:平面 DAF ⊥平面 CBF ; (2) (文科做)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (理科做)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60° ?

21. (理科做) (本题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,侧面 BCC1 B1 ⊥底面 ABC .

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(1)若 M , N 分别是 AB, A1C 的中点,求证: MN // 平面BCC1 B1 ; (2)若三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角为 60° ,问 在线段 A1C1 上是否存在一点 P ,使得平面 B1CP ⊥平面 ACC1 A1 ?若存在,求 C1 P 与 PA1 的比值,若不存在,说明理由.

21. (文科做) (本题满分 10 分) 如 图 , 四 边 形 ABCD 中 , AB ? AD, AD / / BC , AD ? 6, BC ? 4, AB ? 2, E , F 分 别 在

BC , AD 上, EF / / AB 现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使得平面 ABEF ? 平面 EFDC . (1)设 BE ? x ,问当 x 为何值时,三棱锥 A ? CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值. (2)当 BE ? 1 ,是否在折叠后的 AD 上存在一点 P ,使得 CP / / 平面 ABEF ?若存在, 求出 AP 的长,若不存在,说明理由;

山西大学附中 2014—2015 学年第一学期高三 12 月月考(总第三次)

数学试题评分细则
考试时间:90 分钟 考试内容(立体几何、简易逻辑、椭圆) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中只有一 个选项符合题目要求) 1-6 AABBAD 7-12 DCBAAA 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.

? 0, ?1, 0 ?

14.

( 5 ? 1)? ?2 2

15.20

16. ①②③

三.解答题(本题共 5 大题,共 48 分) 17. (本小题满分 8 分) 解: (1)由 ABCD 是菱形? BC / / AD

BC ? 面ADE , AD ? 面ADE ? BC / / 面ADE …………………….1 分 由 BDEF 是矩形? BF / / DE BF ? 面ADE , DE ? 面ADE …………………….2 分 ? BF / / 面ADE BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC BF ? B
所以 平面BCF / / 平面AED (2)连接 AC , AC BD ? O 由 ABCD 是菱形,? AC ? BD 由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD …………………….4 分

? ED ? AC

ED , BD ? 面BDEF , ED BD ? D ? AO ? 面BDEF , 则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高

…………………….6 分

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由 ABCD 是菱形, ?BAD ?

?
3

,则 ?ABD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a , AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,

…………………….7 分 …………………….8 分

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6

18. (本小题满分 10 分) 解:由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , a ? 0 得 a ? x ? 3a ,即 p 为真命题时, a ? x ? 3a ,
2 ? ?? 2 ? x ? 3 ?x ? x ? 6 ? 0 ,得 ? , 2 x ? 2 或 x ? ? 4 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ? ? 即 2 ? x ? 3 ,即 q 为真命题时 2 ? x ? 3

由?

…………………….2 分 . …………………….3 分

(1) a ? 1 时,p: 1 ? x ? 3 ,由 p ? q 为真知 p 和 q 均为真命题,则 ?

得 2 ? x ? 3 ,所以实数 x 的取值范围为 2 ? x ? 3 . ……………….6 分 (2)设 A ? ?x | a ? x ? 3a? , B ? ?x | 2 ? x ? 3? ,由题意知 p 是 q 的必要不充分条件, 所以 B ? ……………….8 分 ? A, 有?

?1 ? x ? 3 , ?2 ? x ? 3

?0 ? a ? 2 ? 1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围为1 ? a ? 2 . ……………….10 分 ?3a ? 3

19. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意知椭圆的焦点在 x 轴上, ∵椭圆经过点 D(2,0) ,左焦点为 F(﹣ ∴a=2,c= ,可得 b=1 因此,椭圆的标准方程为 .

,0) ,

……………….5 分

(2)设点 P 的坐标是(x0,y0) ,线段 PA 的中点为 M(x,y) , 由根据中点坐标公式,可得 ∵点 P(x0,y0)在椭圆上, ∴可得 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 20. (本小题满分 10 分) 解:(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, CB⊥AB,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF, ∵AF? 平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又 AB 为圆 O 的直径, ∴AF⊥BF, 又 BF∩CB=B, ……………….2 分 ……………….3 分 ,化简整理得 , . ……………….10 分 , ……………….7 分

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∴AF⊥平面 CBF. ∵AF? 平面 ADF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)由(1)知 AF⊥平面 CBF, ∴FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此,∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ∵AB∥EF,∴四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH⊥AB,交 AB 于 H. 已知 AB=2,EF=1,则 AH= AB-EF 1 = . 2 2
2

……………….4 分 ……………….5 分

……………….7 分

在 Rt△AFB 中,根据射影定理得 AF =AH·AB,∴AF=1, AF 1 sin∠ABF= = ,∴∠ABF=30°. AB 2 ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°. ……………….10 分 (3)设 EF 中点为 G,以 O 为坐标原点,OA ,OG , AD 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图).设 AD=t(t>0), 则点 D 的坐标为(1,0,t),C(-1,0,t),又 A(1,0,0),B(-1,0,0), 3 ? ?1 F? , ,0?, 2 2 ? ? 3 ? ?1 ∴ CD =(2,0,0), FD =? ,- ,t?, 2 ?2 ? 设平面 DCF 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1· CD =0,n1· FD =0. 2x=0 ? ? 即?x 3 - y+tz=0 ? ?2 2

,令 z= 3,

解得 x=0,y=2t,∴n1=(0,2t, 3). 由(1)可知 AF⊥平面 CFB,取平面 CBF 的一个法向量为 1 3 n2= AF =?- , ,0?, ? 2 2 ? 依题意,n1 与 n2 的夹角为 60°. n1·n2 ∴cos 60°= , |n1|·|n2| 1 3t 6 即 = ,解得 t= . 2 2 4 4t +3· 1 因 此 , 当 AD 的 长 为 60°. 21. (理科做) (本题满分 10 分)

……………….7 分 ……………….9 分

6 时 , 平 面 DFC 与 平 面 FCB 所 成 的 锐 二 面 角 的 大 小 为 4 ………………10 分

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解:(1)证明:连接 AC1,BC1,则 AC1∩A1C=N,AN=NC1, 因为 AM=MB, 所以 MN∥BC1. ………………2 分 又 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 MN∥平面 BCC1B1. (2)作 B1O⊥BC 于 O 点,连接 AO, 因为平面 BCC1B1⊥底面 ABC, 所以 B1O⊥平面 ABC, 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0, 3,0),B(-1,0,0),C(1,0,0), B1(0,0, 3). 由 AA1 = CC1 = BB1 ,可求出 A1(1, 3, 3),C1(2,0, 3), 设点 P(x,y,z), A1C1 =λ A1 P . 3 ?1 ? 则 P? +1, 3- , 3?, λ λ ? ? 3 ?1 ? CP =? , 3- , 3?, λ ?λ ? ………………5 分 ………………4 分

CB1 =(-1,0, 3).
设平面 B1CP 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),

? ?n1· CP =0 由? ? ?n1· CB1 =0



1+λ ? ,1? 令 z1=1,解得 n1=? 3, ?. 1-λ ? ? 同理可求出平面 ACC1A1 的法向量 n2=( 3,1,-1).

………………7 分 ………………9 分

1+λ 由平面 B1CP⊥平面 ACC1A1,得 n1·n2=0,即 3+ -1=0,解得 λ =3,所以 A1C1 1-λ =3A1P,从而 C1P∶PA1=2. 21. (文科做) (本题满分 10 分) 解: (1) 因为平面 ABEF ? 平面 EFDC, 平面 ABEF 平面 EFDC. 由已知 BE=x, ,所以 AF=x(0 ? x ? 4) ,FD=6 ? x. ………………10 分 平面 EFDC=EF, 又 AF ? EF, 所以 AF⊥ ………………1 分 ………………2 分

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故 VA?CDF ?

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? (6 ? x) ? x ? (6 x ? x 2 ) ? [?( x ? 3) 2 ? 9] ? ? ( x ? 3) 2 ? 3 . 所 3 2 3 3 3
………………4 分

以,当 x=3 时, VA?CDF 有最大值,最大值为 3. (2)存在 P 使得满足条件 CP∥ 平面 ABEF,且此时. 下面证明:

AP 3 ? AD 5

………………5 分

AP 3 FD,与 AF 交于点 M , ? ,过点 P 作 MP∥ AD 5

………………6 分

则有

MP 3 // EC,故四 FD∥ EC,故有 MP ? ? ,又 FD= 5 ,故 MP=3,又因为 EC=3,MP∥ FD 5
………………8 分

边形 MPCE 为平行四边形,

所以 PC∥ ME,又 CP ? 平面 ABEF,ME ? 平面 ABEF,故有 CP∥ 平面 ABEF 成立.…10 分

填空题每题一个打分板,解答题 18 一个打分板, 其他解答题:17, 19,20,21 每问各一个打分板,


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