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甘肃张掖二中2013届高三数学文11月试卷


甘肃张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(11 月)

高 三 数 学

(文科)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|(x+3)(x-1)<0},N={x |x≤-3},则 A.{x|x≤1} 2.已知复数 z ?
2?i 1? i

C

R

( M ? N ) =(



B. {x|x≥1}

C.{x|x>1} )

D. {x|x<1}

,则复数 z 在复平面内对应的点在(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.右图是容量为 150 的样本的频率分布直方图,则样本数据 落在 ? 6,1 0 ? 内的频数为( A.12 C.60 四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ; 其中是真命题的是 A.①②
sin(



B.48 D.80

4.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列 ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ④若 l ∥ m ,则 ? ? ? ; C.②③ D.①④

B.③④
?
2 ? ? ) ? cos(? ? ? )

5.已知 tan ? ? 2, 则
sin(

?
2

等于(
? ? ) ? sin(? ? ? )



A.2

B.-2

C.0

D.

2 3

6.已知 ?an ? 为等比数列,若 a 4 ? a 6 ? 10 ,则 a1 a 7 ? 2a3 a 7 ? a3 a9 的值为 ( A.10 7.已知曲线 y ? A.3
x
2



B.20
? 3 ln x 的一条切线的斜率为
1 2

C.60 ,则切点的横坐标为( C.1
2 2 2

D.100 ) D.
1 2

4

B.2

8.在△ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c ? b )tanB= B=( A.
?
6

3

ac,则角
2? 3

) B.
?
3

C.

?
6



5? 6

D.

?
3



9.已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (4, y ) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为( A. 2 3 C.6 B.12 D. 3 2
?
12 )= (

?

?

?

?



10.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f ( A.0 C. ? 2
x a
2 2

)

B. ? 1 D. ?
? y b
2 2

3 2

11.已知双曲线 抛物

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ?

3 x ,它的一个焦点在

线 y 2 ? 2 4 x 的准线上,则双曲线的方程为 A.
x
2

?

y

2

? 1

B.

x

2

?

y

2

? 1

C.

x

2

?

y

2

? 1

D.

x 9

2

?
? a

y

2

? 1

16

4

18

9

16

9

27
x

12 . 已 知 f ( x ) 、 g ( x ) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x ) ≠0 ,
f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ,

f (x) g (x)

,且

(a>0,且 a≠1) , 值为 A.6

f (1) g (1)

?

f ( ? 1) g ( ? 1)

?

5 2

. 若数列 {

f (n) g (n )

} 的前 n 项和大于 62,则 n 的最小

B.7

C.8

D.9

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 —21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22—24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.函数
f ( x) ? sin x ? 3 cos x 在区间 [ ?

?
6

,

?
3

] 上的最大值是______________.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14.已知实数 x,y 满足 ? x ? 3 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?



15.已知球 O 的体积为 4 3 ? ,平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,则球心 O 到平面 α的 距离为 . 16. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, f ( 0 ) ? 1 , g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且
g ( x ) ? f ( x ? 1 ) ,则 f ( 2011 ) ? f ( 2012 ) ? f ( 2013 ) ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 3 BA ? BC .

(1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?
5 5

,求角 A 的值.

18. (本小题满分 12 分)等差数列 { a n } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,等比数列 { b n } 各项均 为正 数, b1 ? 1 ,且 b 2 ? S 2 ? 12 , { b n } 的公比 q ? (1)求 a n 与 b n ; (2)求
1 S1 ? 1 S2 ?… ? 1 Sn S2 b2

.

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P 侧棱 P C

? ABC

中, P A

?

平面 ABC , AC

? BC

,D 为

上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD
?

平面 PBC ; 的体积;

(2)求三棱锥 D

? ABC

(3)在 ? A C B 的平分线上确定一点 Q ,使得 P Q ∥ 平面 ABD ,并求此时 P Q 的长.
P
2 2

D
4 2 2

2

2

A

C
4 4

B

正(主)视图

侧(左)视图
2 2 2 2

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (1, 2 ) 是离心率为 上

2 2

的椭圆 C :

x

?

y a

? 1( a ? b ? 0 )

b

的一点.斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ? ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理 由?

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a x

, g ( x ) ? f ( x ) ? a x ? 6 ln x , 其中 a ? R .

(1)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性; (2)若 g ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; ( 3 ) 设 函 数 h( x) ?
g ( x1 ) ? h ( x 2 ) 成
2

x?

m ?当 , x4

时 ,2 若 ? x1 ? (0,1), ? x 2 ? [1, 2], 总 有 ? a

立,求实数 m 的取值范围.

选考题:(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分. 做答时请写清题号,满分 10 分.) 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图, Rt △ ABC 中, C ? 90? , BE 平分 ?ABC 交 AC 于 在 ? 点 E ,点 D 在线段 AB 上, DE ? EB . (Ⅰ)求证: AC 是△ BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD ? 2 3, AE ? 6 ,求 EC 的长.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,已 知 曲 线
? 2 t ? x ? ?2 ? 2 ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos ? ( a ? 0) ,已知过点 P ( ?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?



直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N . (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | P M
|, | M N |, | P N | 成等比数列,

求 a 的值.

24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(11 月) 高三数学(文科)答案
一、选择题(每小题 5 分 共 60 分)

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

A

B

D

B

D

A

D

C

C

D

A

二、填空题(每小题 5 分 共 20 分) 13.2 14. ? 3 15. 2 16.1

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分. 17. (1) AB ? AC ? 3 BA ? BC ? bc cos A ? 3 ac cos B ? sin B cos A ? 3 sin A cos B 从而 tan B ? 3 tan A (2)
cos C ? 5 5 ? tan C ? 2 ? ? tan( A ? B ) ? tan A ? tan B 1 ? tan A tan B ? ? 2 ? tan A ? 1 ? A ?

……………………6 分

?
4

……12 分

?q ? 3 ? a2 ? 12 ? 18.解: (1)由已知可得 ? 解之得, q ? 3 或 q ? ? 4 (舍去) a 2 ? 6 , 3 ? a2 q ? ? q ?

? a n ? 3 ? ( n ? 1)3 ? 3 n , b n ? 3

n ?1

……………………6 分
? 2 n (3 ? 3 n )
? 1 3 ? 1 4

(2)证明:? S n ?
1 S1 1 S2 1 Sn

n (3 ? 3 n ) 2
? 2 3 (1 ? 1 2

?

1 Sn

?

2 1 1 ( ? ) ……………………8 分 3 n n ?1
1 n ? 1 n ?1 )? 2 3 (1 ? 1 n ?1 ) ………1

?

?

?… ?

?

1 2

?

1 3

?… ?

2分 19. (本小题满分 12 分) (1)因为 P A 又 AC
? BC

?

平面 ABC ,所以 P A ?
? AD

BC



,所以 B C

?

平面 PAC ,所以 B C
AC ? 4


? PC

由三视图可得,在 ? P A C 中, P A ? 所以 AD
?

, D 为 P C 中点,所以 A D ……………………4 分



平面 PBC ,
? 4

(2)由三视图可得 B C 由⑴知 ? A D C 又三棱锥 D

, 平面 PAC ,
ADC

? 90 ? , B C ?

? ABC

的体积即为三棱锥 B ?
? 1 3 ? 1 2 ?4? 1 2

的体积,
16 3

所以,所求三棱锥的体积 V

?4?4 ?

.……………………8 分
? 2C O

(3)取 A B 的中点 O ,连接 C O 并延长至 Q ,使得 C Q
P D

,点 Q 即为所求.

A
O Q

C B

因为 O 为 C Q 中点,所以 P Q ∥ O D , 因为 P Q
?

平面 ABD , O D

?

平面 ABD ,所以 P Q ∥ 平面 ABD ,

连接 A Q , B Q ,四边形 A C B Q 的对角线互相平分, 所以 A C B Q 为平行四边形,所以 A Q 所以在直角 ? P A D 中, P Q ?
2

? 4

,又 P A
2

?

平面 ABC ,

AP ? AQ

? 4 2

.……………………12 分

20. (本小题满分 12 分)本小题主要考查椭圆的方程的求法,考察弦长公式的应用和利用均 值 不等式求最值的方法,考查思维能力、运算能力和综合解题的能力. 〖解析〗 (Ⅰ)? e ? ∴ a ? 2 ,b ? ∴椭圆方程为
x
2

2 2

?

c a



1 b
2

?

2 a
2

? 1,a ? b ? c
2 2

2

2 ,c ?
? y
2

2

? 1 .………………………………………5 分

2

4

(Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ? ∴?
?y ?
2

2x ? b
2

2x ? b
2

?2 x ? y

? 4

? 4 x ? 2 2 bx ? b ? 4 ? 0
2

∴ ? ? ? 8 b 2 ? 64 ? 0 ? ? 2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x 2 ? ?
2

2 2

b , ………………………①

x1 x 2 ?

b ? 4 4

………………………②
? 4 64 ? 8 b 4 b
2

………………8 分
6 2

? BD ?

1 ? ( 2 ) x1 ? x 2 ?
2

3

?

3

?

8?b ,
2

设 d 为点 A 到直线 BD: y ?

2 x ? b 的距离,∴ d ?

3

∴ S ? ABD ?

1 2

BD d ?

2 4

(8 ? b )b
2

2

?

2



当且仅当 b ? ? 2 ? ( ? 2 2 , 2 2 ) 时, ? ABD 的面积最大,最大值为 2 .…………12 分 21.(1)由 f ( x ) ? ln x ?
a x , 得 f ( x )的 定 义 域 为 ( 0 , + ? ) , f '( x ) ? x?a x
2

,

当 a ? 1 时, f '( x ) ? 分

x ?1 x
2

? 0 ( x ? 0 ), f ( x ) 在( 0 , ? ? )上单调递增。………………4

( 2 ) 由 已 知 得 , g ( x) ? ax ?
a x
2

5 x

? 5 ln x , 其 定 义 域 为 ( 0 , ? ?

),

g '( x ) ? a ?

?

5 x

?

ax ? 5 x ? a
2

x

2

.

因为 g ( x ) 在其定义域内为增函数,所以 ? x ? (0, ?? ), g '( x ) ? 0,
2 即 ax ? 5 x ? a ? 0, 则 a ?

5x x ?1
2

.而

5x x ?1
2

?

5 x? 1 x

?

5 2

,当且仅当 x=1 时,等号成立,

所以 a ?

5 2

……………8 分
2 x 2x ? 5x ? 2
2

(3)当 a=2 时, g ( x ) ? 2 x ?
1 2

? 5 ln x , g '( x ) ?

x
1 2 1

2

,

由 g '( x ) ? 0 得,x ?

0 或 x ? 2 , x ? (, ) 当

时, g ?( x ) ? 0 ; 当 x ? ( ,1)时 , g ?( x ) ? 0
2

1

所以在(0,1)上, g ( x ) m a x ? g ( ) ? ? 3 ? 5 ln 2
2

而“ ? x1 (0,1), ? x 2 ? [1, 2], 总 有 g ( x1 ) ? h ( x 2 ) 成立”等价于“ g ( x ) 在 (0,1)上的最大值 不小 于 h ( x ) 在 [1,2] 上的最大值”。又 h ( x ) 在 [1, 2 ]上 的 最 大 值 为 max{ h (1), h (2 ) },
1 ? g ( ) ? h (1) ? ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m 所以有 ? 2 ,即 ? ? ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2 m ? g ( 1 ) ? h (2) ? ? 2

解得 m ? 8 ? 5 ln 2 ,

即实数 m 的取值范围是 ? 8 ? 5 ln 2, ? ? ?

………………12 分

22.解: (Ⅰ)设线段 DB 的中点为 O ,连接 EO , ? DE ? EB ? 点 O 是圆心,
? OB ? OE , ??OEB ? ?OBE

? AE ? AD ? AB,
2

? AB ?

AE

2

?

6

2

? 6 3,

AD
? BD ? AB ? AD ? 6 3 ? 2 3 ? 4 3

2 3

? OB ? OD ? 2 3 .

又由 (Ⅰ) OE // BC , 知 分 23.解: (Ⅰ) y 2
? 2ax,

?

AE EC

?

AO OB

. ? EC ?

AE ? OB AO

?

6? 2 3 4 3

?3.

……10

y ? x?2.

……..5 分

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), 2 ? y ? ?4 ? t ? 2 ?

代入 y 2

? 2ax

, 得到 t 2

? 2 2 (4 ? a )t ? 8 (4 ? a ) ? 0 , t1 ? t2 ? 8 (4 ? a )
2

则有 t1 ? t2

? 2 2 (4 ? a ),

.
2

因为 | MN |2 ? | PM

| ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 ) ? (t1 ? t2 ) ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 .解得

a ? 1.

…10 分

24.解: (Ⅰ)原不等式等价于
3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? , ?? ? x ? , ?x ? ? , 或? 2 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ? ? ?

解之得

3 2

? x ? 2, 或 ?

1 2

?x?

3 2

,或 ? 1 ? x ? ?

1 2

. ………………5 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . (Ⅱ)? f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 1? ? ?2 x ? 3? ? 4 .
? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .

………………10 分

(本题利用图像法或几何意义法仍然可解,请酌情给分.)


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