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河北省衡水市普通高中2011届高三教学质量监测数学理


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河北省衡水市普通高中 2010—2011 学年度高三教学质量监测

数 学 试 题(理)
说明: 1.本试卷包括三道大题大题,22 道小题,共 150 分。其中第一道大题为选择题。 2.所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读答 题卡上的“注意事项”的规定答题。 3.做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选涂答案擦干净,再选涂其他答案。 4.考试结束后,将本试题卷、答题卡及答题纸一并交回。 参考公式: 球的体积公式: V =

4 3 πR (其中 R 表示球的半径) 3

球的表面积公式 S=4πR2(其中 R 表示球的半径) 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项最符合题目要求的。 1.复数 (1 + ) 的值是
4

1 i

( B.4i C.4 D.-4 ( D. R < Q < P (



A.4i
3

2.已知 P ? 2 2 , Q = ( ) , R = ( ) ,则 P、Q、R 的大小关系是
3 3

5 2

1 2



A. P < Q < R 3.已知命题 p :

B. R < P < Q

C. Q < P < B

1 > 0; 命题q:lg( x + 1+ 1 ? x 2 )有意义,则 ?p是?q 的 x +1
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



A.充分不必要条件 C.充要条件

4.已知向量 a = (2,1), a ? b = 10,| a + b |= 5 2, 则 | b | = A. 5 B. 10 C.5 D.25

r

r r

r r

r





5.已知等比数列 {an },{bn }, Pn , Qn 分别表示其前 n 项积,且 A. (

Pn ( 3) a = ,则 5 = ( n Qn 2 b5
D.



81 9 ) 2

B. ( )

9 2

5

C.

81 2

9 2

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6.已知 cos(α ? A.

π
6

) + sin α

2 3 5

4 7π 3, 则sin(α + )的值是 5 6 2 4 B. 3 C. ? 5 5

( D.



4 5

7.正方体 ABCD,A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CC1 的中点,则 AE、BF 所成的角的余 弦值是 ( ) A. ?

1 5

B.

1 5

C.

2 6 5

D.

2 5

8.某地为上海“世博会”扫墓了 20 名志愿者,他们的编号分别是 1 号、2 号、…19 号、20 号。 若要从中任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作, 其中两个编 号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到 同一组的选取种数是 ( ) A.16 B.21 C.24 D.90 9.已知直线 x + y + a ? 2 = 0与圆x 2 + y 2 = 4 交于 B、C 两点,A 是圆上一点(与点 B、C 不重合) ,且满足 | OB ? OC | ? | OB + OC ? 2OA | ,其中 O 是坐标原点,则实数 a 的值 是 A.2 ( B.3 C.4 D.5 )

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

10.点 P 在直径为 6 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长 的 2 倍,则这三条弦长之和的最大值是 A. 6 B.6 C. ( )

4 15 5

D.

2 105 5

11.点 P 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上的一点,F 为抛物线的焦点,直线 l 过点 P 且与 x 轴 平行,若同时与直线 l 、直线 PF、x 轴相切且位于直线 PF 左侧的圆与 x 轴切于点 Q, 则( ) A.Q 点位于原点的左侧 B.Q 点与原点重合 C.Q 点位于原点的右侧 D.以上均有可能

12.已知函数 y = f ( x) 的定义域为 ( ?∞, ?3) U (3, +∞ ) ,且满足条件: 4 x 2 ? 9 y 2 = 36, 其 中 xy < 0.若y = f ( x) 的反函数 y = g ( x ) 的图象上任意一点的切线的斜率为 k,则 k 的 取值范围是 A. ( ?∞, ?3) U (3, +∞ ) C. (? ( )

3 , +∞) 2

3 B. ( ?∞, ? ) 2 3 D. (? , 0) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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13.关于函数 f ( x ) = sin(2 x + ① f ( x ) 的最小正周期是 ② f ( x ) 是偶函数;

π
2
;

) ,在下列四个命题中:

π
2

③ f ( x ) 是图像可以出 g ( x ) = sin 2 x 的图像向左平移 ④若 f ( x ) = ?

π
2

个单位长度得到;

4 π π 10 , ? < x < , 则 cos x = . 5 2 2 10
(填上所有正确命题的序号)

以上命题正确的是 14.若 q 为二项式 ( ?

x 2

1 8 qn + 1 ) 的展开式中的常数项,则 lim n ?1 = 3 x →∞ q +1 x
*



15. 已知数列 {xn } 满足 xn +3 = xn , x ln ? 2 =| xn ?1 ? xn | ( n ∈ N ), x1 = 1, x2 = a ( a ≤ 1, a ≠ 0) 则 数列 {xn } 的前 2010 项的和 S 2010 为 。

? x ? y ≥ ?1 x ? 2y ? 16. 设变量 x, 满足约束条件 ? x + y ≥ 1 , y 则目标函数 z = 的最大值为 x+ y ?2 x ? y ≤ 1 ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长,且 2 sin A = (1)若 a 2 ? c 2 = b 2 ? mbc, 求实数 m 的值; (2)若 a =

3cos A.

3, 求?ABC 面积的最大值。

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18. (本小题满分 12 分) 设 集 合 W 是 满 足 下 列 两 个 条 件 的 无 穷 数 列 {an } 的 集 合 : ① 对 任 意

n ∈ N *,

an + an + 2 ≤ an +1 恒成立;②对任意 n ∈ N * ,存在与 n 无 关 的 常 数 M , 使 2

an ≤ M 恒成立。
(1)若 {an } 是等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 a3 = 4, S3 = 18, 试探究数列 {S n } 与集合 W 之间的关系; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn = 5n ? 2 , 且{bn } ∈ W ,求 M 的取值范围。
n

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,

∠ADC = ∠DCB = 90°, AD = 1, BC = 3, PC = CD = 2 , PC ⊥ 底面 ABCD,E 为 AB
的中点。 (1)求证:平面 PDE ⊥ 平面 PAC; (2)求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值; (3)求点 B 到平面 PDE 的距离。

20. (本小题满分 12 分) 如图,有一矩形钢板 ABCD 缺损了一角(图中阴影部分) ,边缘线 OM 上每一点到

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D 的距离都等于它到边 AB 的距离。 工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一 个五边形,若 AB=1 米,AD=0.5 米,向如何画切割线 EF 可使剩余部分五边形 ABCEF 的面积最大?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + ax ? ln x, a ∈ R. (1)若函数 f ( x ) 在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x ) = f ( x ) ? x 2 , 是否存在实数 a,当 x ∈ ( 0, e ](e 是自然常数)时,函数 g ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ∈ ( 0, e ] 时,证明: e x ?
2 2

5 x > ( x + 1) ln x. 2

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心坐标原点,F1、F2 分别为它的左、右焦点,直线 x=4 为它的一 条准线,又知椭圆 C 上存在点 M 使 2 MF1 ? MF2 =| MF1 | ? | MF2 | ? | MF1 |=| MF2 | . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 PQ 为过椭圆焦点 F2 的弦,且 PF2 = λ F2Q, 求?PF1Q 内切圆面积最大时实数 λ

uuuu uuuu r r

uuuu r

uuuur

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

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的 值。

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