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【数学】2013届高考复习课时提能演练48 3.1 空间向量及其运算(人教A版选修2-1)


课时提能演练 48 3.1 空间向量及其运算(人教 A 版选修
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 AC 与 BD 的交点, A B =a,A M 若 c,则下列向量中与 B 1 1 (A)- a+ b+c 2 2 1 1 (C) a- b+c 2 2
????? M 1

/>??? ?

????? ? ????? D 1 =b,A 1 A 1



相等的向量是( 1 1 (B) a+ b+c 2 2

)

1 1 (D)- a- b+c 2 2

2.(2012?上海模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈 C M , D 1 (A) 9 2 (C) 5 9 3.有以下命题: ①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a, b 的关系是不共线; ②O,A,B,C 为空间四点,且向量 O A , O B , O C 不构成空间的一个 基底,那么点 O,A,B,C 一定共面; ③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c 也是 空间的一个基底.其中正确的命题是( (A)①② (B)①③ (C)②③ ) (D)①②③
??? ?

???? ?

????? N 1

〉的值为(

)

4 (B) 5 9 2 (D) 3

????

??? ?

????

A 4.设 A、 C、 是空间不共面的四个点, B、 D 且满足 A B ? A C =0, D ? A C

????

????

????

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=0, A D ? A B =0,则△BCD 的形状是( (A)钝角三角形 (C)锐角三角形 (B)直角三角形 (D)无法确定

????

??? ?

)

5.已知 ABCD 为四面体, 为△BCD 内一点(如图), A O O 则 1 ???? ???? ???? = ( A B + A C + A D )是 O 为△BCD 重心的( 3 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 )

????

6.(2012?青岛模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 A C 上
1

???? ?

???? ? ???? ? 1 ????? 且 A M = M C ,N 为 B1B 的中点,则| M N |为( 2
1

) 15 3

(A)

21 6

(B)

6 6

(C)

15 6

(D)

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012?佛山模拟)若空间三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q +2)共线,则 p+q= .

8.已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线, 但四点共面, O A =2x B O +3y C O +4z D O , 2x+3y+4z= 且 则
????
???? ????

????

.

9.(2012?长沙模拟)空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC =5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等 于 .

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三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)已知 a=(1, -3,2), b=(-2,1,1), A(-3, 点 -1,4), B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 O E ⊥b?(O 为原点)
??? ?

11.(2012?襄阳模拟)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面△ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点.

(1)求 B N 的模; (2)求 cos〈 B A , C B 〉的值;
1 1

????

???? ?

???? ?

(3)求证:A1B⊥C1M.
第 3 页 共 11 页

【探究创新】 (16 分)在棱长为 1 的正四面体 OABC 中,若 P 是底面 ABC 上的一点, 求|OP|的最小值.

第 4 页 共 11 页

答案解析
1.【解析】选 A. B
????? M 1

=B

???? ? B 1

+BM =A

???? ?

????? A 1

1 ???? + BD 2

1 ???? ???? 1 =c+ ( A D - A B )=c+ (b-a) 2 2 1 1 =- a+ b+c. 2 2 【变式备选】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中 心,若 A E = A A +x A B +y A D ,则 x、y 的值分别为(
1

??? ?

?????

??? ?

????

)

(A)x=1,y=1 1 1 (C)x= ,y= 2 2 【解析】选 C. 如图, A E = A A + A
1

1 (B)x=1,y= 2 1 (D)x= ,y=1 2

??? ?

?????

???? ? E 1

????? 1 ?????? ????? = AA + A C = AA + 2
1 1 1 1

1 ???? ???? ( A B + A D ), 2 1 1 所以 x= ,y= . 2 2 2.【解析】选 B.设正方体的棱长为 2,以 D 为原点建立 如图所示空间坐标系,则 C M =(2,-2,1),
????? D1N
???? ?

=(2,2,-1),
???? ?

∴cos〈 C M , D

????? N 1

1 〉=- , 9

第 5 页 共 11 页

∴sin〈 C M , D

???? ?

????? N 1

4 5 〉= . 9

3. 【解析】选 C.对于①, “如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间 向量的一个基底,那么 a,b 的关系一定是共线” ,所以①错误,②③ 正确. 4. 【解题指南】通过 B C ?B D ,D B ?D C ,C B ?C D 的符号判断△BCD 各内角的大小,进而确定出三角形的形状. 【解析】选 C. B C ? B D =( A C - A B )?( A D - A B ) = A C ? A D - A C ? A B - A B ? A D + A B 2= A B 2>0, 同理 D B ? D C >0, C B ? C D >0.故△BCD 为锐角三角形.
???? ???? ??? ? ??? ? 2 5. 【解析】选 C.若 O 是△BCD 的重心,则 A O = A B + B O = A B + ? 3
??? ? ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? ???? ???? ( B D + B C )= A B + ( B D + B C )= A B + ( A D - A B + A C - A B ) 2 3 3

??? ?

????

????

????

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

????

??? ?

????

????

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

????

1 ???? ???? ???? = ( A B + A C + A D ), 3
???? 1 ???? ???? ???? 若 A O = ( A B + A C + A D ), 3

则 A O - A B + A O - A C + A O - A D =0, 即 B O + C O + D O =0. 设 BC 的中点为 P,则-2 O P + D O =0, ∴ D O =-2 P O ,即 O 为△BCD 的重心. 6. 【解析】选 A.如图,设 A B =a,
???? AD

????
????

??? ?

????

????

????

????

????

????

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

=b, A A =c,则 a?b=b?c=c?a=0.
1

?????

第 6 页 共 11 页

由条件知 M N = M A + A B + B N 1 1 =- (a+b+c)+a+ c 3 2 2 1 1 = a- b+ c 3 3 6

???? ?

???? ?

??? ?

????

???? ? 4 1 1 21 ∴ M N 2= a2+ b2+ c2= , 9 9 36 36

∴| M N |=

???? ?

21 . 6
??? ?

7.【解析】 A B =(1,-1,3), A C =(p-1,-2,q+4)
??? ? 由题设 A B

????

=λ

???? AC

?1=λ (p-1) ? .∴?-1=λ ?(-2) ? ?3=λ (q+4)

?

?p=3 ? ? ? ?q=2



∴p+q=5. 答案:5 8.【解析】∵A,B,C,D 四点共面, ∴ O A =m O B +n O C +p O D ,且 m+n+p=1. 由条件知 O A =-2x O B -3y O C -4z O D , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-1 9. 【解析】 由题意知 A O ?B C = A O ? A C - A B )= A O ?A C - A O ?A B ( =8?4?cos45°-8?6?cos60°=16 2-24.
???? ∴cos〈 A O
??? ? ,BC
???? ??? ? A O ?B C 〉= ???? ???? | A O || B C |

????

??? ?

????

????

????

??? ?

????

????

????

??? ?

????

????

??? ?

????

????

????

??? ?



16 2-24 2 2-3 = . 8?5 5

第 7 页 共 11 页

3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 3-2 2 答案: 5 【误区警示】本题常误认为〈 A O , B C 〉即为 OA 与 BC 所成的角. 【变式备选】 已知点 A(1,2,1), B(-1,3,4), D(1,1,1), A P =2 P B , 若 则| P D |的值是
??? ? ??? ? ??? ?

????

??? ?

.
??? ?

【解析】设 P(x,y,z),则 A P =(x-1,y-2,z-1),
??? ? PB

=(-1-x,3-y,4-z),

??? ? ??? ? 1 8 由 A P =2 P B 知 x=- ,y= ,z=3, 3 3

1 8 故 P(- , ,3). 3 3 由两点间距离公式可得| P D |= 答案: 77 3
??? ?

77 . 3

10.【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+(-5)2+52=5 2. (2)令 A E =t A B (t∈R),所以 O E = O A + A E = O A +t A B =(-3,- 1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若 O E ⊥b, O E ? 则 b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 9 解得 t= . 5
??? ? 6 14 2 因此存在点 E,使得 O E ⊥b,此时 E 点的坐标为(- ,- , ). 5 5 5

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

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【变式备选】已知 b 与 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka +b)⊥(ka-b),求 b 及 k 的值. 【解析】∵a,b 共线, ∴存在实数λ ,使 b=λ a. ∴a?b=λ a2=λ |a|2=λ ( 22+(-1)2+22 ) 2=18, 解得λ =2. ∴b=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b),∴(ka+b)?(k a-b)=0, ∴(ka+2a)?(k a-2a)=(k2-4)|a|2=0, ∴k=±2. 11.【解析】如图,建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)依题意得 B(0,1,0)、N(1,0,1), ∴| B N |= (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2= 3.
????

(2)依题意得 A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2), ∴ B A =(1,-1,2), C B =(0,1,2), B A ? C B =3,
1 1 1 1

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

| B A |= 6,| C B |= 5,
1 1

???? ?

???? ?

第 9 页 共 11 页

???? ???? ? ? ???? ? ???? ? B A 1 C B1 ? ∴cos〈 B A 1 , C B 1 〉= ????? ???? | B A 1 || C B 1 |



1 30. 10

???? ? ????? 1 1 (3)依题意,得 C1(0,0,2)、M( , ,2),A B =(-1,1,-2),C M = 2 2
1 1

1 1 ( , ,0). 2 2 ∴A
???? ? B 1

?C

????? M 1

???? ? ????? 1 1 =- + +0=0,∴ A B ⊥ C M . 2 2
1 1

∴A1B⊥C1M. 【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 (1)常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题. (2)常用的解题方法 ①基向量法 先选择一组基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根据向量的运 算解题; ②坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,根据向 量的坐标运算解题即可. 【探究创新】 【解题指南】向量 O A , O B , O C 的模均为 1,其夹角都是 60°,故 选取 O A , O B , O C 当基底,利用向量的运算求| O P |的最小值. 【解析】设 O A =a, O B =b, O C =c, 由题意,知|a|=|b|=|c|=1,
第 10 页 共 11 页

????

??? ?

????

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

〈a, b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∵点 P 在平面 ABC 上, ∴存在实数 x,y,z, 使 O P =x a+y b+z c,且 x+y+z=1, ∴ O P 2=(x a+y b+z c)2 =x2+y2+z2+2xy a?b+2yz b?c+2xz a?c =x2+y2+z2+xy+yz+zx =(x+y+z)2-(xy+yz+zx)=1-(xy+yz+zx) ∵1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx 1 = [(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)]+2xy+2yz+2zx 2 1 ≥ (2xy+2yz+2zx)+2xy+2yz+2zx 2 1 =3(xy+yz+zx),∴xy+yz+zx≤ , 3 1 当且仅当 x=y=z= 时“=”成立. 3
??? ? ??? ? 1 2 ∴ O P 2≥1- = ,∴| O P |≥ 3 3

??? ? ??? ?

2 6 = , 3 3

∴|OP|的最小值为

6 . 3

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