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江西省临川二中、上高二中2013届高三1月联考文科数学试题


江西省临川二中、上高二中2013届高三1月联考文科数学试卷
一、选择题(每小题5分共50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

10i 1 在复平面内,复数 3 ? i 对应的点的坐标为(
A.

) D.

?? 1,3?

B.

?1,3

?

C.

?? 1,?3?

?3,?1?

2 设函数 f (x) 在R上可导,其导函数为 f ' ( x) ,且函数 f (x) 在

x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ' ( x) 的图象可能是(



开始

3..某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( A. 30? 6 5 C. 56?12 5
1 2


输入 a P=0,? =1,n=0

B. 28? 6 5 D. 60 ? 12 5
x

?1? f ( x) ? x ? ? ? 的零点个数为 ?2? 4.函数 (
A.0 5.已知 A. B.1 C.2 D.3


P ?? 否

?an ?为等比数列,下列结论正确的是(
B.


2

是 P=P+a
n

输出 n

a3 ? a5 ? 2a4

a3 ? a5 ? 2a4
2 2

若a3 ? a5 , 则a3 ? a4 C.

若a3 ? a1, 则a4 ? a2 D.

? ? 2? ? 1
n=n+1

结束

6.执行右面的程序框图, 如果输入 a ? 4 , 那么输出的 n 的 A.1 B.2 C.3 D.4

值为(



?0 ? x ? 2 ? 0 ? y ? 2 表示的平面区域为D,在区域D内随机取一点,则此点到坐标原点 7.设不等式组 ?
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的距离大于1的概率为(



1 A. 2

1?
B.

? 4

1 C. 4

1?
D.

?
16

x2 y2 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 8.已知双曲线 的离心率为2, 若抛物线 C2 : x ? 2 py( p ? 0) 的
焦点到双曲线

C 1 的渐近线的距离为2,若 A、B 是 C2 上两点且 OA ? OB ,则直线 A B 与 y


轴的交点的纵坐标为(

8 3 A. 3

B. 16

C. 8

16 3 D. 3

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ? f ( x),.当x ? 0时, f ( x) ? ? 2 , ?1? | x ? 3 |, x ? [1, ??) ? 9. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 则关于x的函数

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为 (
A. 2 ? 1
a

) C. 2
?a

B. 1 ? 2

a

?1

D. 1 ? 2

?a

11) 定义点 M 到曲线 C 上每一点的距离的最小值称为点 M 到曲线 C 的距离.那么平面内到 定圆 A 的距离与它到定点 B 的距离相等的点的轨迹不可能是( A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的一支 )

二、填空题(每小题5分,共25分)

1 ? 11.若 2 sin a ? cos a ? 0, 则 sin a ? cos 2a
2

12. 已知 f (x) 是 R 上的偶函数,若将 f (x) 的图象向左平移一个单位后,则得到一个奇函数 的图象,若 f (2) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2013) ?

13. 点M(x,y)是不等式组 最小的点为

?0 ? x ? 2 ? ?y ? 3 ?x ? 3 y ?

表示的平面区域 ? 内的一动点,使 y ? 2 x 的值取得

A( x0 , y0 ) ,则 OM ? OA (O为坐标原点)的取值范围是

??? ? ??? ? ???? AP ? m AB ? n AC , m, n ? R , 则 14 . 设 点 P 是 ?ABC 内 一 点 ( 不 包 括 边 界 ) , 且

第 2 页 共 9 页

m 2 ? (n ? 2) 2 的取值范围是

.

15.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是

①若 ab ? c ;则
2

C?

? 3

②若 a ? b ? 2c ;则

C?

? ? C? (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 3 ③若 3

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则

C?

? ? C? 3 3 3 2 ⑤若 a ? b ? c ;则 2

三、解答题(共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. (1)求函数的最小正周期;(2)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.

17(本小题满分12分) 为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本, 并分成5组,绘成如图所示的频率分布直方图.若第一组至第五组数据的频率之比为
1: 2 :8 : 6 : 3 ,最后一组数据的频数是6.(Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在125~140

分之间的概率,并求出样本容量;(Ⅱ)从样本中成绩 在65~95分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩 在65~80分之间的概率.

18. (本小题满分12分)如图,等腰 ?ABC的底边 AB ? 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 B D 上 异于点 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF ? AB .现沿 E F 将 ? B E F 折起到 ? P E F 的 位置,使 PE ? AE ,记 BE ? x,V ( x) 表示四棱锥 P ? ACFE的体积. 1) 证明: CD ? 平面APE; 2) 设 G 是 A P 的中点,试判断 DG 与平面 PCF 的关系,并证明; 3) 当 x 为何值时, V (x) 取得最大值.

第 3 页 共 9 页

19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n项和Sn=

1 n?1 —a n —( 2 ) +2

(n为正整数).

cn a n (1)求数列{a n }的通项(2)若 n ? 1 = n ,T n =
c 1 +c 2 +···+c n ,求T n .
.

20 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 椭 圆

E:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 F F a2 b2 的右焦点 2 与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,过 2 作与 x 轴垂直

CD ST 的直线 l 与椭圆交于 S, T ,而与抛物线交于 C, D 两点,且
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?2 2
.(1)求椭圆 E 的方

程;(2)若过 m(2,0) 的直线与椭圆 E 相交于两点 A 和 B ,设 P 为椭圆 E 上一点,且满足

OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围.

21.(本题满分14分)已知函数 1 (a, a ? ) 2 上存在极值( a >0),求实数 a 的取值范围; (Ⅰ)若函数在区间 (Ⅱ)如果当 x ? 1 ,不等式
2

f ( x) ?

1 ? ln x x .

f ( x) ?

k x ? 1 恒成立,求实数k的取值范围;

(Ⅲ)求证: [(n ?1)!] > (n ? 1) ? e

n ?2

(n ? N ? ) .(注:n!表示1到n连续n个正整数的积

联考文科试卷参考答案
一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 D 9 B 10 A

?
11.

5 2

12.

?3

13.

?0,6 ?

14.

?1,5?

15.①②⑤

16解.(1) . 由直线是图象的一条对称轴,可得, 所以,即. 又,,所以,故. 所以的最小正周期是. ----------------6分 (2)由的图象过点,得,
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即,即. 故, 由,有, 所以,得, 故函数在上的取值范围为.--------------12分 17.(Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在125~140分之间的概率 p1 为

3 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 8 ? 3 20 ,

2分

6 3 ? 又设样本容量为 m ,则 m 20 ,解得, m ? 40 .

4分

1 ? 40 20 (Ⅱ)样本中成绩在65~80分之间的学生有 =2人,记为 x, y ;成绩在80~95分之间 2 ? 40 的学生 20 =4人,记为 a, b, c, d ,

5分

从上述6人中任选2人的所有可能情形有:

?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?,

? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?,
共15种, 8分 ,

?a, b?,?a, c?,?a, d?, ?b, c?,?b, d?,?c, d?
至少有1人在65~80分之间的可能情形有

?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?, ? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?, 共9种,
因此,所求的概率 p2

11分

?

9 3 ? 15 5 .

12分

18) ①

PE ? EF , PE ? AE,? PE ? 面ACEF,? 面PEA ? 面ACEF

? CD ? AE,? CD ? 面APE
②延长 CF, AE 相交于点 B ,连 PB

DG // PB,? DG // 面PCB

1 1 ?1 1 ? 1 V( x ) ? S AC EF ? PE ? ? ? ? 6 ? 3 ? x 2 ? ? x ? (18x ? x3 ) 3 3 ?2 2 ? 6 ③
? 1 V? x ? ? (18 ? 3 x 2 ) 6

?0 ? x ? 3?

? V? x ? ? 0解得x ? 6 x ? 0, 6 单增,x ? 令
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?

?

?

6 ,3 单减

?

1 V? x ?max ? [18 6 ? 6

? 6? ] ? 2
3

6

1 1 n?1 n 19.解:⑴由S n = —an—( 2 ) +2,得S n?1 = —a n?1 —( 2 ) +2,两式相减, 1 1 n = 2 a n +( 2 ) 1 1 n?1 . 因 为 S n = —a n — ( 2 ) +2 , 令 n=1 , 得 a 1 = 2 . 对 于

得a

n ?1

?1

1 1 n a n?1 = 2 a n +( 2 )

?1

1 n ,两端同时除以( 2 )

?1

,得2

n ?1

a n?1 =2 a n +1,即数列{2 a n }是首

n

n

n n· 项为2 ·a 1 =1,公差为1的等差数列,故2 a n =n,所以a n = 2 .--------6分
1

n

cn a n 1 n ⑵由⑴及 n ? 1 = n ,得c n = (n+1)( 2 ) ,
1 1 1 1 3 2 n 所以T n =2× 2 +3×( 2 ) +4×( 2 ) +···+(n+1) ( 2 ) ,① 1 1 1 1 1 3 2 4 2 T n =2×( 2 ) +3×( 2 ) +4×( 2 ) +···+(n+1) ( 2 ) n ?1 ,②
由①—②,得

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 4 2 1 1 1 1 1 1 1— n ?1 3 2 n 2 T n =1+( 2 ) +( 2 ) +···+( 2 ) -(n+1) ( 2 ) =1+ 2 —
1 3 n?3 n ?1 n ?1 (n+1) ( 2 ) = 2 — 2 .
n?3 n 所以T n =3— 2 .----------12分

2 2 2 ? 2 2 ? CD ? 4, ST ? 2 , x ? y ? 1, ST ? 2 b ? 2 F (1,0) , ST a2 b2 a2 20解⑴焦点 2 ,

CD

x2 ? y2 ? 1 c ? 1,? a ? 2 , b ? 1 2

?x2 ? 2 y 2 ? 2 ? y ? k ( x ? 2) 即 (1? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ⑵?


A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 )
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? x1 ? x2 ? tx0 ? ? y1 ? y2 ? ty0 得
2 2 2 ? x0 ? 2 y 0 ?

? 1 1 8k 2 x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ? t t 1 ? 2k 2 ? 2 ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? [kx ? 2k ? kx ? 2k ] ? 1 ? ? 4k 2 1 2 ? 0 t 1 t t 1 ? 2k 2 ?

1 8k 2 2 32k 2 1 2 4k 4 ? 2k 2 [( ) ? ] t ? t 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2 即 8 (1 ? 2k 2 ) 2

? ? (8k 2 )2 ? 4(1? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0即0 ? 2k 2 ? 1
1 2 ( 2k 2 ) 2 ? 2k 2 1 t ? ? 1? 2 2 8 (1 ? 2k ) (1 ? 2k 2 )
21解.(Ⅰ)定义域 (0,??)
? f ( x) ?

?t ? ?? 2,2 ? .
1 ? ln x ln x ,? f ' ( x) ? ? 2 x x ,

? 当0< x <1, f ?( x ) >0, f (x) ? , x >1, f '(x) <0, f (x) ? ? x ? 1 处 f (x) 取极大值,
?a< 1 ? ? 1 1 ?a ? 2 >1 ? 则 ,解得 2 < a <1.-- ---------4分

(Ⅱ)

f ( x) ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) 即 ? k , ( x ? 1) x ?1 x 恒成立,

g ( x) ?


( x ? 1)(1 ? ln x) [( x ? 1)(1 ? ln x)]'? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 则g '( x) ? ? x x2 x2

1 h( x) ? x ? ln x, 则h '( x) ? 1 ? ,? x ? 1,? h?( x) ? 0 x 记
?h( x)在[1,??] 单增, ? h( x ) min ? h (1) ? 1>0, ?h(x) >0恒成立,

? g ' ( x) ?

h( x) x 2 >0,即 g (x) 在[1,+ ? ) ? .

?g(x) min? g(1) ? 2,?k ? 2 .-------------8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)
f ( x) ?
2 2 1 ? ln x 2 2 ln x ? 1 ? ,即 ? 1? x ?1 > x ?1 x x ?1 即 x

令 x ? n(n ?1),则ln[n(n ?1)] >
1? 2 1? 2 ,

1?

2 n(n ? 1)
2 2?3 ,

?ln( ? 2) > 1

ln(2 ? 3)



1?

ln[n(n ? 1)]

1?



2 n(n ? 1) .

第 8 页 共 9 页

?ln[ ? 22 ? 32 ?n2 ? (n ? 1)]> 1

n ? 2 ? (1 ?

1 2 )?n?2? n ?1 n ?1 > n ? 2

?1? 22 ? 32 ??? n2 ? (n ? 1) > e n?2
? [( n ? 1)!]2 > (n ? 1)e
n?1

(n ? N ? ) .---------14分

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