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教育部课题1.2.2同角三角函数的基本关系(1)


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)

1、我们知道事物的发生发展过程可以引用《道德经》里 一句话:道生一,一生二,二生三,三生万物。我们还有个形 象比喻就是事物的发生发展过程相当于受精卵发育发展,生成 一个人。 目前有四个“道”或“受精卵”:任意角的推广、一弧度 的定义、写出终边相同角的集合的时先找到受精卵、三角函数 的定义。 2、根据三角函数的定义这个“道”或“受精卵”找到正 弦与余弦的关系。正弦、余弦、正切的关系。

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

注意

⑴ 注意“同角”,至于角的形式无关重要, 如sin24?+cos24?=1等.

⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义 的角而言的. ⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要 能灵活运用(正用、反用、变形用),

一、求值问题
sin ? ? ? 3 ,? 第三象限 求 cos ? , tan ? 的值。 例1.已知 5
解:因为

sin ? ? cos ? ? 1 ,所以
2 2

? 3 ? 16 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 5 ? 25
2 2

2

因为

4 cos ? ? ? 5 sin ? 3 tan ? ? ? cos ? 4

?

第三象限角,所以

sin ? ? ? 3 ,求 cos ? , tan ? 的值。 例2.已知 5 解:因为 sin ? ? 0, 且 sin ? ? ?1,所以 ? 是第三或
第四象限角. 由sin 2 ? ? cos2 ? ? 1得 3 2 16 2 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? ) ?
5
4 16 cos ? ? ? ?? 25 5

若 ? 是第三象限角,则 cos ? ? 0 ,所以

25

3 5 3 sin ? ? (? ) ? (? ) ? 所以 tan ? ? cos ? 5 4 4 若 ? 是第四象限角,则 4 3 cos ? ? , tan ? ? ? 5 4

总结 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便 可运用基本关系式求出其它三角函数值. 在求值中,确定角的终边位置是关键和 必要的.有时,由于角的终边位置的不确 定,因此解的情况不止一种. 2. 解题时产生遗漏的主要原因是: ①没有确定好或不去确定角的终边位置; ②利用平方关系开平方时,漏掉了负的 平方根.

3.证明三角等式 例4.求证:

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

注意:我们今后所见到的三角恒等式, 证法一 (作差法) 除特殊注明的情况外,都是指两边都有 意义情况下的恒等式。如本题中默认为: sin ? 1 ? cos? sin 2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? ? cos ? ? 0, sin ? ? 0. ?0 1 ? ?

1 ? cos? sin ? ?结论得证.

(1 ? cos?) ? sin

证法二(分析结论,逆向证明) ? 1 ? cos ?) ? cos ? ) ? 1 ? cos ? ? sin ? , ( (1
2 2

又1 ? cos ? ? 0, sin ? ? 0, sin ? 1 ? cos ? ? ? . 1 ? cos ? sin ?

知识小结:
同角三角函数的基本关系:

常用变形:
2

sin ? ? tan ? ? (? ? ? k? , k ? Z ) cos ? 2
2

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? 1 ? cos ?
sin ? ? cos ? tan ?
2

cos ? ? 1 ? sin ? sin ? cos ? ? tan ?
2 2

1 cos ? ? 2 1 ? tan ?


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