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高一数学春季挑战杯考试


高一春季数学“挑战杯”检测题 满分: 120 分, 测试时间:100 分钟

一、选择题(每小题 4 分,共 10 小题,共 40 分) 1. log32+log3 的值为(
A.-2 B.2

9 2

) C.9

13 D.log3 2 2. 直线经过原点和点 A( -2,2),则它的

倾斜角是 ( A.45° B. 60° C.90° D. 135°



3. 集合 A ? B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ,映射 f : A ? B 使集合 A 中的元素 ( x , y ) 映射到

集合 B 中元素 ( x ? y, x ? y) ,则在映射 f 下的像(2,1)的原像是( A. (



3 1 , ) 2 2

B. (2,1)

C. (

3 1 ,- ) 2 2

D. (1,3)

4. 如果两直线 a,b 相交,且 a∥平面α ,那么 b 与平面α 的位置关系是( ) A.b∥α B.b 在α 内 C.b 与α 相交 D. b∥α 或 b 与α 相交 5.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积为( )

A 10? B 11? C 12?
2 2

3

2

D 13?
6. 设点 A 在 x 轴上,它到点 P(0, 2,3) 的距离等于到点 Q(0,1, ?1) 的距离的两倍,那么点

A 的坐标是(

) B. (1, 0, 0) 和 (?1, 0, 0)

A. (2,0,0) 和 (?2, 0, 0) C. ( , 0, 0) 和 ( ?

1 2

1 , 0, 0) 2

D. (?

2 2 , 0, 0) 和 ( , 0, 0) 2 2
) D. x?y?2或 y ? x

7. M ?1,1? ,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( A. x?y?2
x 2

B. x?y ?1

C. x ? 1 或 y ? 1

8. 函数 y=2 -x 的零点个数是( ) A.0 个 B.1 个 9.若 a

C.2 个 )

D.3 个

? 20.5 , b ? logπ 3 , c ? log2 0.5 ,则(
B. b ? a ? c C .c ? a ? b

A .a ? b ? c

D .b ? c ? a

10. 若函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [ a, b] ,则函数 f ( x ? 1) ? 1 的定义域和值域分别为 A. [a ? 1, b ? 1] , [a ? 1, b ? 1] C. [a ? 1, b ? 1] , [a ? 1, b ? 1] B. [a ? 1, b ? 1],[a ? 1, b ? 1] D. [a ? 1, b ? 1] , [a ? 1, b ? 1]

二、填空题(每小题 4 分,共 5 小题,共 20 分) 11. 函数 y ? a x?1 ? 2 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点的坐标是 12. 函数 f ( x ) ?

.

x?2 的定义域是__ 2x ?1

____.
. .

13. 已知集合 A={x|x-a=0}, B={x|ax-4=0},A∪B=A,则实数 a 的值是 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为 15.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ; ②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ?

??

? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ;

? ④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ;
⑤若 m ?

??

, l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; . (把你认为正确命题的序号都填上)

其中正确命题的序号是

三、解答题(满分 60 分,共 6 小题,每小题 10 分)

?x ? 6   (x ? ?1) ? 2 (?1 ? x ? 2). 16. 已知函数 f(x ) ? ?x     ?2x    (x ? 2) ?
(1)求 f (3) 、 f [ f (?2)] 的值; (2)若 f(a ) ? 3 ,求 a 的值.

17. 已知点 A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求△ABC 的面积.

18. 如图,在三棱锥 S-ABC 中,已知点 D、E、F 分别为棱 AC、SA、SC 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)若 SA=SC,BA=BC,求证:平面 SBD⊥平面 ABC

19. 已知函数 f (x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5?
2

(1)当 a=-1 时,求函数 f (x) 的最大值和最小值 (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f (x) 在区间 ? ?5,5? 上是单调函数

20. 已知函数 f ? x ? ? x ?

a ,且 f (1) ? 10 . x

(1) 求 a 的值; (2) 判断 f ( x) 的奇偶性;

(3) 函数在 ?3 , ? ?? 上是增函数还是减函数?并证明你的结论.

2 21. 已知圆 C:? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. 2

(Ⅰ)当直线 l 的倾斜角为 45?时,求弦 AB 的长; (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程;


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