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福建省仙游县大济中学高三数学综合测试题三(解析几何)


高三数学综合测试题三(解析几何)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 2 2 1.已知圆 O 的方程是 x +y -8x-2y+10=0,过点 M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( ) A.x+y-3=0;B.x-y-3=0;C.2x-y-6=0 ;D.2x+y-6=0; 2.过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( ) A.x-2y+7=0;B.2x+y-1=0;C.x-2y-5=0 ;D.2x+y-5=0; 3 3.曲线 y=2x-x 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2)到直线 l 的距离为( ) 7 2 9 2 11 2 9 10 A. ; B. ; C. ; D. ; 2 2 2 10 2 2 4. 若曲线 x +y +2x-6y+1=0 上相异两点 P、 Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称, 则 k 的值为( ) 1 A.1 ; B.-1; C. ; D.2; 2 5.直线 ax-y+ 2a=0(a≥0)与圆 x +y =9 的位置关系是( ) A.相离 ; B.相交; C.相切 ; D.不确定; 2 2 6.设 A 为圆(x+1) +y =4 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为( 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =25;B.(x+1) +y =5;C.x +(y+1) =25 ;D.(x-1) +y =5; 2 2 7.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( ) 1 1 A.- ; B.-4; C.4 ; D. ; 4 4
2 2

)

8.点 P 是双曲线 -y =1 的右支上一点,M、N 分别是(x+ 5) +y =1 和(x- 5) +y =1 上的 4 点,则|PM|-|PN|的最大值是( ) A.2 ; B.4; C.6 ; D.8; 9.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1 ⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 A. 2+ 2=4 ; B.e1+e2=4; C. 2+ 2=2 ; D.e1+e2=2;

x2

2

2

2

2

2

e1 e2 x2 y2 10. 若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长, 则双曲线的离心率为( a b
A. 2 ; B. 3; C. 5 ; D.2; 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横线上.

e1 e2

)

11.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则 25 16 |PM|+|PF1|的最大值为________. 12.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且一条渐近线为直线 3x+y=0,则该双曲 线的离心率等于________. 13.双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距离是________. 3 6 2 14.设抛物线 x =4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,且点 P 恰 → → 为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. 15.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线 .

x2

y2

x2 y2

x2 y2 a b 与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是

1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16.(本小题满分 12 分)如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 4 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

17.(本小题满分 12 分)设圆 C 与两圆(x+ 5) +y =4,(x- 5) +y =4 中的一个内切,另一 个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; ?3 5 4 5? (2)已知点 M? 0)且 P 为 L 上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. , ?.F( 5, 5 ? ? 5

2

2

2

2

→ 2 18.(本小题满分 12 分)设 λ >0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x 上运动,点 Q 满足BQ → → → =λ QA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程.

2

19.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分别为椭 圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率 e. → → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM·BM=-2,求点 M 的轨迹 方程.

x2 y2 a b

20.(本小题满分 13 分)已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点, 3 2 6 ,其中 O 为坐标原点. 2 2 2 2 2 (1)证明 x1+x2和 y1+y2均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|·|PQ|的最大值; 且△OPQ 的面积 S△OPQ= (3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 若不存在,请说明理由. 6 ?若存在,判断△DEG 的形状; 2

x2 y2

21.(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过 4 2 坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.

x2 y2

(1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;(2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.

3

高三数学综合测试题三参考答案
一、选择题:1.A;2.A;3.A;4.D;5.B;6.B;7.A;8.C;9.C;10.C; 二、填空题:11.15;12.2;13. 6;14.10;15. (1,1+ 2); 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

xP=x, ? ? 由已知得? 5 y P= y, ? 4 ?

x y ?5 ?2 ∵P 在圆上,∴x +? y? =25,即点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. 25 16 ?4 ?
2

2

2

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 4 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5

x2
25 = ?



?

x-3?
25
2

2

=1,即 x -3x-8=0.∴x1=

2

3- 41 3+ 41 ,x2= .∴线段 AB 的长度为|AB| 2 2
2

x1-x2?

+?

y1-y2?

2



?1+16?? x -x ? ? 25? 1 2 ? ?



41 41 ×41= . 25 5

17. 解:(1)设动圆 C 的圆心 C(x,y),半径为 r.两个定圆半径均为 2,圆心分别为 F1(- 5,0), F2( 5,0),且|F1F2|=2 5.若⊙C 与⊙F1 外切与⊙F2 内切,则 |CF1|-|CF2|=(r+2)-(r-2)=4 若⊙C 与⊙F1 内切与⊙F2 外切,则|CF2|-|CF1|=(r+2)-(r-2)=4. ∴||CF1|-|CF2||=4 且 4<2 5.∴动点 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,实轴长为 4 的双曲线.这时

x2 a=2,c= 5,b=c2-a2=1,焦点在 x 轴上.∴点 C 轨迹方程为 -y2=1.
4 (2)若 P 在 -y =1 的左支上,则||PM|-|PF||<|MF|.若 P 在 -y =1 的右支上,由图知,P 为 4 4 射线 MF 与双曲线右支的交点,

x

2 2

x

2 2

||FM|-|PF||max=|MF|=

3 5?2 ?4 5?2 ? ? 5- ? +? ? =2. 5 ? ? 5 ? ? 得 15x -32 5x+84=0,
2

? ?y=-2? x- 5? 直线 MF:y=-2(x- 5).由?x2 2 -y =1 ? ?4
6 5 ? x = ? 5 解得:? 2 5 ? ?y =- 5 ,
1 1

14 5 ? x = ? 15 < 5 或? 58 5 ? ?y =- 15 ? 舍?
2 2



2 5? ?6 5 所以 P 点坐标为? ,- ?. 5 ? ? 5

→ 18.(本小题满分 12 分)设 λ >0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x 上运动,点 Q 满足BQ
2

4

→ → =λ QA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程.



→ → 解:由QM=λ MP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0), M(x,x2), 2 2 2 则 x -y0=λ (y-x ),即 y0=(1+λ )x -λ y. ① → → 再设 B(x1,y1),由BQ=λ QA,即(x-x1,y0-y1)=λ (1-x,1-y0),解得
?x1=? ? ? ? ?y1=? ?x1=? ? ? ? ?y1=?

1+λ ? 1+λ ? 1+λ ? 1+λ ?

x-λ , y0-λ . x-λ ,
2 2

②将①式代入②式,消去 y0,得 ③

x -λ ? 1+λ ? y-λ . 2 2 2 又点 B 在抛物线 y=x 上,所以 y1=x1,再将③式代入 y1=x1,得 2 2 2 (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =[(1+λ )x-λ ] . 2 2 2 2 2 (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =(1+λ ) x -2λ (1+λ )x+λ . 2λ (1+λ )x-λ (1+λ )y-λ (1+λ )=0.因 λ >0,两边同除以 λ (1+λ ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 19.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分别为椭 x2 y2 圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率 e. a b
→ → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM·BM=-2,求点 M 的轨迹 方程. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由题意,可得|PF2|=|F1F2|, c c 1 1 ?c?2 c 2 2 即 ? a-c? +b =2c,整理得 2? ? + -1=0,得 =-1(舍)或 = ,所以 e= . a a 2 2 ?a? a (2)由(1)知 a=2c,h= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c .直线 PF2 方程为 y= 3(x-c). 2 2 2 ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理, ?y= 3? x-c? .
2 2 2

?x1=0, 8 得 5x -8cx=0,解得 x1=0,x2= c,得方程组的解? 5 ?y1=- 3c,
2

8 x = c, ? ? 5 ? 3 3 ? ? y = 5 c.
2 2

不妨设

3 3 ? c?,B(0,- 3c). 5 ? → → 3 3 ? ? 8 设点 M 的坐标为(x,y),则AM=?x- c,y- , c? BM=(x,y+ 3c). 5 ? ? 5 → → → → 3 ?8 3 3 8 3 3 ? 由 y= 3(x-c),得 c=x- y,于是AM=? , BM = ( x , 3 x ) ,由 AM·BM y- x, y- x? 3 5 5 5 ? ? 15

A? c,

?8 ?5

5

?8 3 3 ? ?8 3 3 ? 2 =-2,即? y- x?·x+? y- x ?· 3x=-2,化简得 18x -16 3xy-15=0. 5 ? 5 ? ? 15 ?5
将 y= 18x -15 16 3x
2

代入 c=x-

3 10x +5 y,得 c= >0,所以 x>0. 3 16x
2

2

因此,点 M 的轨迹方程是 18x -16 3xy-15=0(x>0). 20.(本小题满分 12 分) 解:(1)证明:①当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称. 所以 x2=x1,y2=-y1,因为 P(x1,y1)在椭圆上,因此 + =1(1) 3 2 6 6 6 .所以|x1|·|y1|= . ②由①②得|x1|= ,|y1|=1, 2 2 2 2 2 2 2 此时 x1+x2=3,y1+y2=2. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m. 又因为 S△OPQ= 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得(2+3k )x +6kmx+3(m -2)=0. 3 2 2 2 2 2 2 2 其 中 Δ = 36k m - 12(2 + 3k )(m - 2)>0. 即 3k + 2>m . 2 6km 3? m -2? 2 2 (*) 又 x1 + x2 = - . 所 以 |PQ| = 1+k · ? x1+x2? -4x1x2 = 2 , x1x2 = 2 2+3k 2+3k 1+k · 1+k ·
2 2

x2 y2 1 1

x2 y2

2

2

2

2 6 3k +2-m |m| 1 1 .因为点 O 到直线 l 的距离为 d= .所以 S △OPQ= |PQ|·d= 2 2 2+3k 2 2 1+k
2 2 2 2

2

2

2 6 3k +2-m |m| 6|m| 3k +2-m 6 · = 又 S△OPQ= . 2 2 2 2+3k 2+3k 2 1+k
2 2 2 2 2 2 ? 6km 2?2-2×3? m -2? = ? 2 2+3k ? 2+3k ?

整理得 3k +2=2m ,且符合(*)式.此时,x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=?- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3.y1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3 2 2 2 2 综上所述,x1+x2=3;y1+y2=2,结论成立. (2)解法一:①当直线 l 的斜率不存在时.由(1)知|OM|=|x1|= = 6 ×2= 6. 2

6 .|PQ|=2|y1|=2.因此|OM|·|PQ| 2

3k =- . 2 2m 2 2 2 y1+y2 ?x1+x2? -3k 3k +2m 1 =k? ?+m= 2m +m=- 2m =m. 2 ? 2 ? 2 2 ?x1+x2?2+?y1+y2?2=9k + 1 =6m -2=1?3- 12?. 2 |OM| =? ? ? ? ? ? 2 2 2 4m 2? m ? ? 2 ? ? 2 ? 4m m 2 2 2 3k +2-m ? 2? 2m +1? ? 1? 2 2 24? |PQ| =(1+k ) = =2?2+ 2?. 2 2 2 ? 2+3k ? m ? m? 1? 1 ? ? 1 ? ? 1 ?? 1 ? 2 2 所以|OM| ·|PQ| = ×?3- 2?×2×?2+ 2?=?3- 2??2+ 2? 2 ? m? ? m ? ? m ?? m ? 1 1 ?3- 2+2+ 2? 25 5 1 1 m ?2= .所以|OM|·|PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2,即 m=± 2时,等号 ≤? m ? ? 4 2 m m 2 ? ? 5 成立.综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 2 2 2 2 2 2 2 解法二:因为 4|OM| +|PQ| =(x1+x2) +(y1+y2) +(x2-x1) +(y2-y1) ②当直线 l 的斜率存在时,由(1)知:

x1+x2

6

=2[(x1+x2)-(y1+y2)]=10.所以 2|OM|·|PQ|≤

2

2

2

2

4|OM| +|PQ| 10 = =5. 2 2

2

2

5 5 即|OM|·|PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立.因此|OM|·|PQ|的最大值为 . 2 2 (3)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 6 . 2

6 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由(1)得 u +x1=3,u +x2=3,x1+x2=3,v +y1=2,v +y2=2,y1+y2=2,解得:u =x1=x2= 3 2 6 2 2 ,v =y1=y2=1.因此,u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从±1 中选取,因此 D、E、 2 2 证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),O(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG=

G 只能在?±
ODE

? ?

6 ? ,±1?这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点.与 S△ 2 ? 6 矛盾.所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 2

=S△ODG=S△OEG=

21.解:(1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标为 2? ? ?-1,- ?.由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点, 2 ? ? 2 2 2 所以 k= = . -1 2 -

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 4 0+ 3 2 4 2 4 2 2 ? ? ? ? ? ? + =1,解得 x=± ,因此 P? , ?,A?- ,- ?.于是 C? ,0?,直线 AC 的斜率为 3? 4 2 3 2 2 ?3 3? ? 3 ?3 ? + 3 3 ?2-4-2? ?3 3 3? 2 ? ? 2 2 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0.因此,d= = . 2 2 3 3 1 +1

x2 4x2

x y 2 2 (3)证法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x=± 记μ = , 2 2 4 2 1+2k 1+2k 0+μ k k 则 P(μ ,μ k),A(-μ ,-μ k).于是 C(μ ,0).故直线 AB 的斜率为 = , μ +μ 2 2 μ?3k +2? k 2 2 2 2 2 其方程为 y= (x-μ),代入椭圆方程得(2+k )x -2μk x-μ (3k +2)=0,解得 x= 或 2 2 2+k 3 μk 2-μk 2 3 2+k μ?3k +2? μk ? k3-k?2+k2? ? , x=-μ.因此 B? = 2 2 2 .于是直线 PB 的斜率 k1= 2 2 = 2+k ? μ?3k +2? 3k +2-?2+k ? ? 2+k ? -μ 2 2+k 1 - . 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. k

2

2

7


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