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第1章三角函数教材分析


必修 4 第一章

三角函数教材分析 第一章

王新敞

三角函数教材分析

三角函数是中学数学的重要内容之一, 它的基础主要是几何中的相似形和圆, 研究方法 主要是代数变形和图象分析, 因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了, 本章 所介绍的知识,既是解决生产实际问题的工具,又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用 16 课时,具体分配如下(仅供参考): 1.1 任意角和弧度制 约 2 课时 1.2 任意角的三角函数 约 3 课时 1.3 三角函数的诱导公式 约 2 课时 1.4 三角函数的图象和性质约 4 课时 1.5 函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象 约 2 课时 1.6 三角函数模型的简单应用 约 2 课时 小结与复习 约 1 课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关 系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用 对应的规律 关系等; 第二大节是“任意角的三角函数” ,由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义), 然后导出同角三角函数的两个基本关系式
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(二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期
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第一大节是“任意角和弧度制” 教科书首先推广了角的概念,介绍了弧度制,和换算
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第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算.
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第四大节是“三角函数的图象和性质” 教科书先利用正弦线画出函数 y ? sin x ,x∈
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[0, 2? ]的图象,并根据“终边相同的角有相同的三角函数值” ,把这一图象向左、右平行移 动,得到正弦曲线;在此基础上,利用诱导公式,把正弦曲线向左平行移动
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? 个单位长度, 2

得到余弦曲线 接着根据这两种曲线的形状和特点,研究了正弦、余弦函数的性质,然后又 研究了正弦函数的简图的画法, 简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数 的性质
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第五大节是“函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象” 通过图像研究性质.
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第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种
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数学模型. (三)本章的教学要求是: 1.使学生理解任意角的概念、弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算 握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式
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2.使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;掌
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3.使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式 通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力
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4.三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型,初步掌握其实际应用方法 二、 考点要求 1.理解弧度的定义,并能正确地进行弧度和角度的换算
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2.掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公 式,了解周期函数和最小正周期的意义,会求 y ? A sin(?x ? ? ) 的周期,或者经过简单的 恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期 能运用上述三角公式化简三角函数式,求任
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意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式

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3.了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函 数和函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,并能解决正弦、曲线有关的实际问题,初步掌握三角 函数模型的实际应用方法 三、考点分析 三角函数是一种重要的初等函数,由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密 切联系,它既是研究其他各部分知识的重要工具,又是高考考查双基的重要内容之一 巧性过强的题目,重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上 教学过程中应把握好以下几点: 1.理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来,二是就可把三角 函数看成以实数为自变量的函数
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本章分两部分,第一部分是三角函数部分的基础,不要求引入难度过高,计算过繁,技
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试题以选择题、填空题形式居多,试题难度不高,常与其他知识结合考查

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2.要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念

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3.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范 围,并对不同的象限分别求出相应的值 在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时,应注
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意公式中符号的选取

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4.单位圆中的三角函数线,是三角函数的一种几何表示,用三角函数线的数值来代替 三角函数值,比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多,因此,三角函数 是讨论三角函数性质的一个强有力的工具
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5.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式” ,进而可求得某些复 合三角函数的最值、最小正周期、单调性等 对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域
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的不变性

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6.函数的单调性是在给定的区间上考虑的,只有属于同一单调敬意的同一函数的两个 函数值才能由它的单调性来比较大小 性就可作出整个函数的图象
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7.对于具有周期性的函数,在作图时只要先作它在一个周期中的图象,然后利用周期
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四、三角函数中应注意的问题 (一)本章内容的重点是:任意角三角函数的概念,同角三角函数间的关系式、诱导公式 及其运用,正弦、余弦的和角公式,正弦曲线的画法和正弦函数的性质 难点是:弧度制的
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慨念,综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明,周期函数的概念,函 数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与正弦曲线的关系
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由于课时较紧,教学中应遵循大纲所规定的内容和要求,不要随意补充知识点 三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种;同角三角函数的基本关系式只讲

例如,

sin ? ? tan ? ,tan ? ? cot ? ? 1 三个; sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 除 tan( ? ? 2k? ) ? tan? cos ?
(k∈Z)外,其余诱导公式中,要求学生记住并能灵活运用的,只是用正弦、余弦表示那 几个,以后求 tan
0 120

可通过用科学计算器或者转化为

sin 1200 来求;在推导正切的和角 cos1200

公式以及画正切函数的图象时,出现了正切的诱导公式,但这只作为推导的中间步骤,不要 求学生记忆; 积化和差与和差化积公式、 半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下, 结果不要求记忆,更不要求运用;此外,也不要补充“把 a sin ? ? b cos ? 化成一个角的三 角函数的形式”这样的例习题
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(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时,要注意科学性 事实上,角的概念推广后,
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无论用弧度制还用角度制,都能在角的集合与实数集 R 及之间建立起一种一一对应的关系

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说“每个角都有唯一的实数与它对应”时,这个实数可以取这个角的弧度数,或度数,或角 度制下的分数,或角度制下的秒数,所以对应法则不是唯一的,但每一种对应法则下对应的 实数是唯一的 所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应 有的教师认为角度制的计
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量单位太小,而弧度制的计量单位大,而且可以省略不写,这种说法虽有一定道理,但在科 学上并不具有充足的理由, 因为小有小的好处, 何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不 一致 关键在于用角度制表示角的时候, 我们总是十进制、 六十进制并用的, 例如角 61 2112
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0

'

''

其中 61、21、12 都是十进数,而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的,这样,为了找 出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数),要经过一番计算,这就不太方便了
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(三)定义了任意角的三角函数以后,严格地说,例如,只有 y ? sin x , x ? R 才可以 说是正弦函数; 六种函数统称三角函数, 说明不是这六种函数的函数, 都不能说是三角函数, 例如 y ? sin 2 x, x ? R 可以说是 2x 的正弦函数(这时可说它是三角函数), 也可以说是正弦函 数 y ? sin t , t ? R 与正比例函数 t ? 2 x, x ? R 的复合函数,但不能说是 x 的正弦函数 另一
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点是函数的定义域, 三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的, 所以教学中不宜随便说 (或写)“正弦函数 y=sinx” ,需知“函数 y ? sin x , x ? [0,2? ] ”只是正弦函数的一个周期, 不要把部分当作整体
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