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2.2 二次函数的图象与性质 第1课时湘教版九年级下册


2.2

二次函数的图象与性质
第1课时

1.经历探索二次函数y=

1 2 x 的图象的作法和性质的过程, 2

获得利用图象研究函数性质的经验. 2.能够利用描点法作出y=
2 1 2

x2的图象,并能根据图象认

识和理解二次函数

y= 1 x2的性质.

一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是
双曲线,二次函数的图象是什么形状呢?通常怎样 画一个函数的图象?

你会用描点法画二次函数

y?

1 2

x

2

的图象吗?

列表:由于自变量x可以取任意实数,因此让x取0和一些 负数,一些正数,并且算出相应的函数值,列成下表:
x
y? 1 2 x
2

-3 -2.5 -2 4.5 3.125 2

-1 0.5

-0.5 0.125

0 0

0.5 0.125

1 0.5

2 2

2.5 3.125

3 4.5

描点:在平面直角坐标系 内,以x取的值为横坐标, A′ 相应的函数值为纵坐标,
B′

5
4 3 B

A

描出相应的点,如图
连线:
-4 -3 -2-1

2
1 1

2

3

4

从图(1)看出,点A和点A′,点B和点B ′ ,??,它
们有什么关系?
点A和点A ′关于y轴对称, 点B和点B ′也是??

由此你能作出什么猜测?
1 2

我猜测

y?

x

2

的图象关于y轴对.

从图还可看出,y轴右边描出的各点,当横坐标增大时, 纵坐标怎样变化? 纵坐标随着增大
y? 1 2 x
2

的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗? 我猜想都有这一性质.

可以证明上述两个猜测都是正确的,即

y?

1 2

x

2

的图象

关于y轴对称;图象在y轴右边的部分,函数值随自变量 取值的增大而增大,简称为“右升”.

我们已经正确画出了 y ? 象(见图)看出
y? 1 2 x
2

1 2

x

2

的图象,因此,现在可以从图

的其他一些性质(除了上面已经

知道的关于y轴对称和“右升”外): O(0,0) 对称轴与图象的交点是____________; 上 图象的开口向_____________; 图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而 减小 _________,简称为“左降”;

小 当 x =______时,函数值最_______. 0

类似地,当a>0时,y=ax2的图象也具有上述性质,于是

我们在画y=ax2(a>0)的图象时,可以先画出图象在y轴
右边的部分,然后利用对称性,画出图象在y轴左边的 部分,在画右边部分时,只要“列表、描点、连线”三 个步骤就可以了(因为我们知道了图象的性质).

例1.画二次函数 y ? x 的图象.
2

【解析】列表:
x
y?x
2

0

0.5

1

1.5

2

3

0

0.25

1

2.25

4

9

描点和连线:画出图 象在y轴右边的部分, 如图
6 8

也可以这样做
利用对称性,画出图象在y 轴左边的部分,这样我们 就得到了 y ? x 2 的图象,
-4 -3 -2 -1 2 4

1

2

3

4

在同一坐标系中画出二次函数y=2x2及y=

1 4

x2的图象.

列表

x
y=2x2

0
0

0.5
0.5

1
2

2
8

描点

连线

列 x
y? 1 4

表 0
x
2

1
1 4

2
1

3
9 4

4
4

0





连 线

y=2x2

y=x2

函数y=2x2 的图象与y=x2
的图象相比,有什么共 同点和不同点.
o x

(1)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)图象的开口方向是向上还是向下?图象的开口大小有 什么规律? (3)图象的顶点是什么?顶点是抛物线的最高点还是最低 点?

【规律方法】 当a>0时,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,
开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线 的开口越小.

1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系是:h=4.9t2,h是t的 二次 函数,它的图象的顶点 坐标是 (0,0) .

2.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的函数解析式; y=-2x2 (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上. 不在抛物线上 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.

?

3 , ?6

? ??

3 , ?6

?

3.已知a≠0,b<0,一次函数是y=ax+b,二次函数是
y=ax2,则下面图中,可以成立的是( C )

4.填空:已知二次函数

②③⑥ (1)其中开口向上的有__________(填题号); ⑤ (2)其中开口向下且开口最大的是____(填题号); (3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然 后逐渐变小的有__________(填题号). ①④⑤

通过本课时的学习,需要我们掌握: 1.二次函数y=ax2(a>0)的图象是什么? 2.二次函数y=ax2(a>0)的图象有什么性质?

人生不是受环境的支配,而是受自己习惯 思想的恐吓. ——赫胥黎


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