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2.1.2椭圆的简单几何性质4


2.2.2 椭圆的简单几何性质(四)
直线与椭圆的位置关系

1.位置关系:相交、相切、相离
2.判别方法(代数法) 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,对解的 个数进行讨论.通常消去方程组中的一个变量,得 到关于另一变量的一元二次方程. (1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

3、弦长的计算方法:
弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

1 = 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

(适用于任何曲线)

y?3 x 2 例.若P(x,y)满足 ? y ? 1( y ? 0) ,求 的 x?4 4
2

最大值、最小值.
解:

例1:已知椭圆

过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被

平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率

韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

例1:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.



作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差
构造出中点坐标和斜率.

x 2 变式:已知椭圆 ? y ?1 2 (1)求斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方 程。

2

(2)过A(2,1)引椭圆的割线,求截得 的弦的中点的轨迹方程。

练习:
x2 y2 ? ? 1 的弦被(4,2)平分,那 1、如果椭圆 36 9

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

D


D、x+2y-8=0

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0

x2 y2 2、y=kx+1与椭圆 5 ? m ? 1 恒有公共点,则m的范围



C



A、(0,1)

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )

3.已 知 椭 圆4x ? y ? 1及 直 线 : y ? x ? m, m ? R . : l
2 2

(1)求 直 线 被 椭 圆 所 截 得 的 弦 的 中 点 的 迹 ; l C 轨 ( 2)若 直 线 交 椭 圆 于P、Q两 点 , 且 ? OQ, l C OP 求 直 线的 方 程 。 l

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

=

1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率

(点差法)。

作业:
x y 1.已 知 直 线过 点M (1,1), 与 椭 圆 ? l ? 1相 交 4 3 于A、B两 点 。 若 的 中 点 , 求 直 线的 方 程 。 AB M l
2、中心在原点,一个焦点为F(0, 50)的椭圆被
2 2

直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2,求椭圆
方程。


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