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人教B版:1.2.1三角函数的定义


1.初中学过的锐角三角函数的定义: 在直角三角形ABC中,角C是直角,角 A为锐角,则用角A的对边BC,邻边AC和斜 边AB之间的比值来定义角A的三角函数.

BC sin A ? AB
BC tan A ? AC

AC cos A ? AB
AC cot A ? BC
A

B

/>
C

2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数: 以坐标原点为角α的顶点,以OX轴的正方向 为角α的始边,则角α的终边落在直角坐标系的

第一象限内,若点P (x,y)是角α终边上的任意一
点,点P到原点O的距离是r
r ? x2 ? y 2 ? 0 ,试将

角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来

y P r y x x M

?
O

y sinα= r ,cosα=

x ,tanα= r

y 。 x

x cot ? ? y

3. 任意角的三角函数 : (1)确立任意角α在直角坐标系中的位置; 以坐标原点为角α的顶点,以OX轴的正 方向为角α的始边; (2)在其终边上取点A,使OA=1,点A的坐 标为(l, m),再任取一点P(x,y),设点P到原点 的距离为r,OP =r(r≠0),根据三角形的相 似知识得:

不论点P在终边上的位置如何,它们都是

定值,它们只依赖于α的大小,与点P在α终
边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位

置变化时,这三个比值始终等于定值。

x 叫做角α的余弦,记作cosα , r x 即cosα= ;
r

y 叫做角α的正弦,记作sinα, r

即sinα=

y ; r

y 叫做角α的正切,记作tanα, x y 即 tanα= x

依照上述定义,对于每一个确定的角α,

都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对 ? 应: 当α≠2kπ ± (k∈Z)时,它有唯一的 正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是
以α为自变量的函数,分别叫做角α的余弦函 数、正弦函数和正切函数。
2

3.角α的其他三种函数:
1 r ? 角α的正割: sec ? ? cos ? x
1 r 角α的余割: csc ? ? sin ? ? y

1 x 角α的余切: cot ? ? tan ? ? y

4. 几点说明: (1) 这里提到的角α是“任意角”,当 β=2kπ+α(k∈Z)时,β与α的同名三角函数值应 该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数 值都相等。

(2) 定义中只说怎样的比值叫做α的什么函

数,并没有说α的终边在什么位置(终边在坐
标轴上除外),即函数的定义与α的终边位置

无关。
实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义 同样适用。

(3) 三角函数是以“比值”为函数值的函数。
y (4) 对于正弦函数sinα= , 因为r>0,所以恒 r y

有意义,即α取任意实数, 恒有意义,也
r

就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义 域是R;类似地可写出余弦函数的定义域是 R;

对于正切函数tanα=

y x

, 因为x=0时,

y x y x

无意义,又当且仅当α的终边落在y轴上时,才有 x=0,所以当α的终边落不在y轴上时, 恒有意义,即tanα=
y x

恒有意义,所以正切
? (k∈Z)} 2

函数的定义域是{α|α≠kπ+

从而三角函数的定义域是 y=sinα, α∈R

y=cosα, α∈R
y=tanα ,α≠kπ+
? (k∈Z) 2

例1.已知角α的终边过点P(2,-3),求α的 六个三角函数值。 解:因为x=2,y=-3,所以 r ? 13 sinα=
y 3 13 ?? r 13

cosα=

tanα=
secα=

y 3 ?? x 2 r 13 ? x 2

cotα=
cscα=

x 2 13 ? r 13 x 2 ?? y 3
r 13 ?? y 3

例2. 求下列各角六个三角函数值: 3? (1)0;(2)π;(3)
2

解:(1)因为当α=0时,x=r,y=0 .所以 sin0=0,cos0=1,tan0=0, csc0不存在,sec0=1,cot0不存在.

(2) π; 解:(2)因为当α=π时,x=-r,y=0 .所以 sinπ=0,cosπ=-1,tanπ=0, Cscπ不存在,secπ=-1,cotπ不存在.

(3)

3? 2

3? 解:(3)因为当α= 2 时,x=0,y=-r .所以 3? 3? 3? sin 2 =-1,cos 2 =0,tan 2 不存在,
3? csc 2

=-1,sec

3? 2

不存在,cot

3? 2

=0.

(二)三角函数在各象限内的符号

角α是“任意角”, 由三角函数定义可知,
由于P(x, y)点的坐标x, y的正负是随角α所在的

象限的变化而不同,所以三角函数的符号应
由角α所在的象限确定.

当角α在第一象限时,由于x>0,y>0,所以 sinα>0,cosα>0,tanα>0,cotα>0, secα>0,cscα>0.
当角α在第二象限时,由于x<0,y>0,所以 sinα>0,cosα<0,tanα<0,cotα<0, secα<0,cscα>0.

当角α在第三象限时,由于x<0,y<0,所以 sinα<0,cosα<0,tanα>0,cotα>0, secα<0,cscα<0.
当角α在第四象限时,由于x>0,y<0,所以 sinα<0,cosα>0,tanα<0,cotα<0, secα>0,cscα<0.

_ _
sinα与cscα的符号
O

y

+ +

x

cosα与secα的符号 tanα与cotα的符号
y

+ + O _ _

x




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos ? tan ?

sin ?

R
? ? ? ? ? ? ? k? (k ? Z )? ? 2 ? ?

R

2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( + ) o x ( - )( + ) cos ?

y ( -) (+ ) o x ( +) ( - ) tan ?

例3. 确定下列三角函数值的符号:? (1)cos250? ;
11? ) (3)tan(-672? );(4) tan( 3

(2) sin( ? 4 )

?

解: (1)250? 在第三象限,所以cos250? <0.
? ? (2) - 4 在第四象限,所以sin(- 4 )<0.

9 (5) cos ? ; + 4 11? (6) tan(? ) + 6

(3) -672? 在第一象限,所以tan(-672? )>0. (4)
11? 3
11? 在第四象限,所以tan( 3

)<0.

例4.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的 角。 解:因为sinθ<0,所以θ可能是第三、四象限 的角,又tanθ>0,θ可能是第一、三象限的角, 综上所述,θ是第三象限的角。

练习1. 角α的终边过点P(-b,4), 且cosα=

3 ? 5

则b的值是( A )
(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)5 解:r= b2 ? 16 解得b=3.
x ?b 3 ?? cosα= ? 2 r 5 b ? 16

练2. 已知角α的终边上一点P(-
y≠0),且sinα= 解:sinα=

3,y)(其中

2 ,求cosα和tanα. y 4

y y 2y ? ? 2 r 4 3? y
6 ? 4
15 ? 3
15 3

解得y2=5,y= ? 5 当y= 5 时,cosα= ,tanα=

当y=- 5 时,cosα=

6 ? 4 ,tanα=

练3、若三角形的两内角?,?满足sin?cos?<0, 则此三角形必为( A. 锐角三角形 C. 直角三角形 )

B

B. 钝角三角形 D. 以上三种情况都可能

练4.若α是第三象限角,则下列各式中不成 立的是(

B)
B. tan??sin?<0 D. cot?csc?<0

A. sin?+cos?<0 C. cos??cot?<0

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

作业:

课本第17页 A 组 第4题; B 组 第4题;


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