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河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(图片版)


平顶山许昌新乡 2016 届高三第三次调研考 试
理科数学答案
一.选择题:(每小题 5 分)
(1)C (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D

二.填空题:(每小题 5 分)
(13) [?3, 0] ,(14) 3,(15)1009, (16) ( ??, ?2] ? ( ?1, ? ] .

1 2

三.解答题:
(17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a ? b cos C ?

3 3 3 3

c sin B ,∴ sin A ? sin B cos C ?

3 3

sin C sin B ,

∴ cos B sin C ?

sin C sin B ,

∴ tan B ? 3 ,∴ ?B ?

?

3 ∵ b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,∴ c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , ∴ c ? 3.
分 (Ⅱ)∵ ? ? 3 sin(2 A ? ) ? 2sin (C ?
2



…………6

? 6

? ? ? ) ? 3 sin(2 A ? ) ? 1 ? cos(2C ? ) 12 6 6

? ?? ? ? ? ? 3 sin(2 A ? ) ? cos( ? 2 A ? ) ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) ? cos(2 A ? ) ? 1 6 3 6 6 6 ? ? 2sin(2 A ? ) ? 1 . 3
10 分 ∴由 2sin(2 A ? ) ? 1 ? 0 ,及 分 (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P ( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 分 (II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5.

…………

? 3

? ? ? ? A ? ,可得 A ? . 6 2 4

…………12

1 2

2 3

2 3

1 . 18

……………4

1 2 1 P (? ? 0) ? (1 ? ) 4 ?(1 ? ) ? , 2 3 48

1 2 1 2 1 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ?(1 ? )3 ?(1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? , 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C4 ?( ) 2 ?(1 ? ) 2 ?(1 ? ) ? C4 ? (1 ? )3 ? ? , 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 P(? ? 3) ? C4 ?( ) ?(1 ? )?(1 ? ) ? C4 ? ( ) ? (1 ? ) 2 ? ? , 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? (1 ? ) ? C4 ? ( ) ? (1 ? )? ? , 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P(? ? 5) ? ( ) 4 ? ? , 2 3 24
…9 分 所以随机变量 ? 的分布列如下:

…………

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24
……………

10 分 故 E? ? 0? 12 分 (19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 AD ? 侧面 PAB , PE ? 平面 PAB ,所以 AD ? PE . 又因为△ PAB 是等边三角形, E 是线段 AB 的中点,所以 PE ? AB . 因为 AD ? AB ? A ,所以 PE ? 平面 ABCD . 分 由 DA=AB=2, BC ? …………3

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? . 48 8 24 3 16 24 3

……………

1 AD ,可得 BC=1. 2

因为△ PAB 是等边三角形,可求得 PE ? 3 . 所以 VP ? ABCD ? 6分 (Ⅱ)以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E ? xyz . 则有 A(0,1,0), E(0,0,0),B(0, ?1,0), C(1 , ?1,0), D(2,1,0), P(0,0,3) . 设 F ( x0 , y0 , z0 ), PF ? ?PB ,则 ( x0 , y0 , z0 ? 3 ) ? ? (0,?1,? 3 ) ,

1 1 1 S ABCD ? PE ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 . 3 3 2

…………

??? ?

??? ?

所以 F (0, ??, 3 ? 3?) . 7分

…………

设 n ? ( x, y, z) 为平面 DEF 的法向量, ED ? (2,1,0), EF ? (0, ??, 3 ? 3?),

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?2 x ? y ? 0, ? ED ? n ? 0, 即? ? ? ??? ( 3 ? 3?)z ? 0. ? ? ???y ? ? EF ? n ? 0,

z P

? ? x ? 1, 2? ? ? . ? n ? ( 1? , 2, ) 所以 ? y ? ?2, ( 3 ? ? 1 ) ? 2? ?z ? . ? ( 3 ? ?1 ) ?
又 平 面

B

E

A

y

C x D

C

D



E









m ? (0,0,1 ) .

…………10 分

∴ cos m, n

? 2? ? 1? 4 ? ? ? 3 ? ?1 ) ? ( ? 1 1 F ?P B 解得 ? ? ?1 (舍去) 或? ? . 所以存在点 F , 且P 3 3
12 分 (20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 则由题意得 3分 化简得:

?

2? ( 3 ? ?1 )
2

?

1 2 ,化简得 3? ? 2? ? 1 ? 0 . 4



…………

y y 1 ? ?? , 2 x?2 2 x?2 2

…………

x2 y 2 ? ? 1 且 x ? ?2 2 . 8 4






P







E









x2 y 2 ? ?1 8 4



x ? ?2 2 .

………… 5 分

(Ⅱ) 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 6分

1 ( x ? 2) . ………… k

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 4 ? 8
7分 由韦达定理得: x1 ? x2 ?

…………

?8k 2 k2 ?8 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2

所以, AB ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ?
2

4 2(k 2 ? 1) . 2k 2 ? 1

…………

9分 同理可得 CD ? 10 分

4 2(k 2 ? 1) . k2 ? 2

…………

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 3 2 所以 . ? ? ? ? 2 2 AB CD 4 2(k ? 1) 4 2(k ? 1) 8
12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g / ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 , 所以 h?( x) ?

…………

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此,h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增, 在 (0 , ? ?) 上单调递减. 5分
/ (Ⅱ)不等式 k ( x ?1) ? xf ( x) ? 3g ( x) ? 4 化为 k ?

…………

所以 k ?

x ? x ln x ? 2 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1

x ln x ? x ?2, x ?1

令 g ? x? ?

x ? x ln x x ? ln x ? 2 ? 2 ,则 g ? ? x ? ? . 2 x ?1 ? x ? 1?
1 x ?1 ? ?0, x x

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? .

当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? . 故 整 数

k





5.

大 值 ………… 12 分



(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 证明: (Ⅰ)由已知条件得∠BAE=∠CAD, ∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,∴∠AEB=∠ACB, ∴△ ABE∽△ADC. 5分 (Ⅱ)∵△ ABE∽△ADC,∴

…………

AB AD ? ,即 AB· AC=AD· AE. AE AC 1 1 ∵△ ABC 的面积 S= AB· ACsin∠BAC,又 S= AD· AE, 2 2
故 AB· ACsin∠BAC = AD· AE,∴sin∠BAC =1. 因为∠BAC 是三角形的内角,所以∠BAC =90° . …………

10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)当 ? ?

? 2 2 时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C2 的普通方程为 x ? y ? 1. 3

联立方程组 ?

? ? y ? 3( x ? 1)
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)与 ? ,

?1 ?2 ?

3? ?. 2 ? ?
…………

所以,C1 被 C2 截得的线段的长为 1. 5分 (Ⅱ)将 C1 的参数方程代入 C2 的普通方程得 t ? 2t cos ? ? 0 ,
2

∴A 点对应的参数 t ?

t1 ? t2 ? ? cos ? ,∴A 点坐标为 ? sin 2 ? , ? cos ? sin ? ? . 2

? x ? sin 2 ? , 故当 ? 变化时,A 点轨迹的参数方程为: ? ( ? 为参数) . ? y ? ? sin ? cos ?
因此,A 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 . 4
…………

故 A 点轨迹是以 ( , 0) 为圆心,半径为 10 分

1 2

1 的圆. 2

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ x ? 0 ,∴ x 不存在; 当 0? x?
0? x? 1 ; 2

1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ 0 ? x ? ,∴ 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 2 ,又∵ x ? ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 2 0 ? x ? 2 综上,原不等式的解为 . …………
当x? 5分 (Ⅱ)∵ | f ( x) ? f (a) |?| x2 ? x ? a2 ? a |?| x ? a | ? | x ? a ?1|

?| x ? a ? 1|?| x ? a ? 2a ?1| ?| x ? a | ? | 2a ? 1| ? 1? | 2a | ?1 ? 2(| a | ?1) .
∴ | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) . 10 分 …………


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