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2014年上海市长宁区高三数学一模卷(理科含答案2014.1)


上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测 数学试卷
考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须 写在答题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编 号的空格内填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.
1、设 f ? x ? 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 2 x ? x ,则 f ?1? ?
2

2、已知复数 z ? 2 ? 4i , w ? 3、已知函数 f ( x) ?

z ?1 ,则 w ? ( z ? 1) 2



x ?5 的图像关于直线 y ? x 对称,则 m ? 2x ? m x ?1 4、已知命题 p :| 1 ? |? 1 ,命题 q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不 2
必要条件,则实数 m 的范围是 5、数列 ?a n ?满足 . .

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 a n ? 2 2 2
? ?

6、一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积 是 . 7、设 ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[-

, ]上单调递增,则 ω 的取值范围是_________. 3 4

8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共 10 只,从中任意摸出一只 小球得到是黑球的概率为 为 .
2 2

2 .则从中任意摸出 2 只小球,至少得到一只白球的概率 5
3bc , C ? 2 3 sin B , sin

9、 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别是 a , c.若 a ? b ? B, b, 则角 A = _________ .

10、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, a , b ,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 ab ? _______. 11、 已知数列 ?a n ?, ?bn ? 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 ,b1 ,且 a1 ? b1 ? 5,

a1 , b1 ? N , 设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于______.
x x 12、 函数 y ? 1 ? 2 ? 4 a 在 x ? (??,1] 上 y ? 0 恒成立, a 的取值范围是 __________ . . 则

13、已知 ? x ?
2

? ?

1 ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 5 x3 ?

5

1/4

x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,
则实数 k 的取值范围是 .

14、定义: min ?a1 , a2 , a3 , ? , an ? 表示 a1 , a2 , a3 , ? , an 中的最小值.若定义

f ( x) ?

min ? x , 5 ? x , x 2 ? 2 x ? 1?













n ?N?







f ( ? ) f ?( 2 ? )f 1 ? __________ . .

n? ( ? f 2

成 立 , 则 常 n数 ) k 的 取 值 范 围 是 1 ? k ( 2 n ) f ( )

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分, 否则一律得零分.
15、下列命题中,错误的是 .. A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行 ( )

C.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D.若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线

x ? 3 ? 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 ( ) x?a C . a ? 2 或 a ? ?3 A . a ? ?3 B . ?3 ? a ? 2 D . a ? 2 或 a ? ?3 ??? ??? ???? ? ? ???? 17、 已知△ABC 为等边三角形,AB=2 , 设点 P, Q 满足 AP=? AB , AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,
16、已知 a ? R ,不等式 若 BQ ? CP = ?

??? ??? ? ?

3 ,则 ? = 2
B.





A.

1 2
x

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

?3 ? 2 2 2

18、函数 y ? 2 的定义域为 [a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时,方程 b ? g (a) 表示的图形可 以是 b 4 -4 O a -4 O 4 a -4 O b 4 a -4 O b 4 a b ( )

A.

B.

C.

D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 的相应编号规定区域内写出必须的步骤.

2/4

19.(本题满分 12 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满分 6 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,M、E 分别是 AB 和 AB1 的中点,
点 F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3. (1)求证:BB1∥平面 EFM; (2)求四面体 M ? BEF 的体积。

20.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满分 8 分)
??? ???? ??? ??? ? ? ? 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求角 A 的大小. 5

21.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 7 分, (2)小题满分 7 分) 上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,为
了保证产品的质量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润 是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并 求最大利润.

3 x

22、 (本题满分 16 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题 满分 6 分)
2 2 已知函数 F ( x) ? kx ? 2 4 ? 2m ? m x , G ( x) ? ? 1 ? ( x ? k ) ( m, k ? R)
2

(1) 若 m, k 是常数,问当 m, k 满足什么条件时,函数 F ( x) 有最大值,并求出 F ( x) 取最 大值时 x 的值; (2) 是否存在实数对 (m, k ) 同时满足条件: (甲)F ( x) 取最大值时 x 的值与 G ( x) 取最小

3/4

值的 x 值相同, (乙) k ? Z ? (3) 把 满 足 条 件 ( 甲 ) 的 实 数 对 (m, k ) 的 集 合 记 作
2 B ? ( m, k ) k ?

A , 设

?

( ? 2 1 ? 2 r ,求使 0 ? B 的 r 的取值范围。 m ) ?r , A

?

23、 (本题满分 18 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题 满分 8 分) ?1 由 函 数 y ? f (x) 确 定 数 列 ?a n ? , a n ? f (n) . 若 函 数 y ? f ( x) 能 确 定 数 列 ?bn ? ,
(1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?a n ?的反数列为 ?bn ? ,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ? ,不等式

bn ? f

?1

(n) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?a n ?的“反数列”.

1 bn ?1

?

1 bn ? 2

?? ?

1 1 ? log a (1 ? 2a ) 对任意的正 b2 n 2

整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 c n ?

数列 ?t n ? 的前 n 项和 S n .

1 ? (?1) ? n 1 ? (?1) ? ?3 ? ? (2n ? 1) ( ? 为正整数) ,若数列 ?cn ? 的反数列为 2 2 ?d n ?,?cn ? 与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?(公共项 t k ? c p ? d q , k , p, q 为正整数) ,求

4/4

上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三数学期终抽测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、 ? 3 2、

5 17

3、 ? 1

4、 (2,??)

5、 ?

? 14, n ? 1 n ?1 ? 2 , n ? 2.

6、

500? (cm) 3 3

7、 (0, ] 11、 85

3 2

13 ? 2 9、 10、 10 .5 15 6 3 1 1 12、 (? ,??) 13、 (0, ] 14、 [? ,0] 4 4 2
8、

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)
15、D 16、D 17、A 18、B

三、解答题
19、解析:(1)证明:连结 EM、MF,∵M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴BB1∥ME, 又BB1 ? 平面EFM,∴BB1∥平面EFM. ????3分 ????6分

(2)正三棱柱中 B1 B ? 底面ABC ,由(1) BB1 // ME ,所以 ME ? 平面MBF , ????8 分 根据条件得出 BF ? 1, BM ? 2, ?MBF ? 60 ,所以 S ?BMF ?
0

3 ,????10 分 2

又 EM ? 2 ,因此 VM ? BEF ? VE ? MBF ?

1 3 S ?BMF ? EM ? 。 ????12 分 3 3

??? ???? ??? ??? ? ? ? 20、(1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB?AC? A=3BA? ? B , cos BC cos
即 AC? A=3BC? B . cos cos 由正弦定理,得 ????2 分

AC BC ,∴ sin B? A=3sin A? B . ????4 分 = cos cos sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A> 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A ????6 分
2

? 5? 5 2 5 (2)∵ cos C ? .∴ tan C ? 2 .????8 分 , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? = ? 5 ? 5 5 ? ?
tan A ? tan B ? ?2 . ????10 分 1 ? tan A?tan B 4 tan A 1 由 (1) ,得 ????12 分 tan ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? . 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ? ?

5/4

∵ cos A> 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

????14 分

21、解:(1)根据题意,

????4分 3 3 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? ? 0 x x ????6分 ????7分

又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 因此,所求 x 的取值范围是 [3,10]. (2)设利润为 y 元,则 y ?

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104[?3( ? ) 2 ? ] ????11分 x x x 6 12
????13分

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元。 ????14 分 22、解: (1) ?

?

k ? 0,

2 ?4 ? 2 m ? m ? 0

解得 k ? 0 且 1 ? 5 ? m ? 1 ? 5 ;????2分

当x ?

4 ? 2m ? m 2 时 F (x) 有最小值。 k

????4分

(2)由

4 ? 2m ? m 2 ? k 得 4 ? 2m ? m 2 ? k 4 ,????6分 k

所以 k 4 ? (m ? 1) 2 ? 5 ,其中 k 为负整数,当 k ? ?1时, m ? ?1 或者 3 ,????8分 所以存在实数对 (3,?1), (?1,?1) 满足条件。
4 2

????10分
2 2 2

(3)由条件 A ? B 知,当 k ? (m ? 1) ? 5 成立时, k ? (m ? 1) ? r 恒成立,因此,

1 21 r 2 ? ?k 4 ? k 2 ? 5 ? ?(k 2 ? ) 2 ? 恒成立, 2 4 1 21 2 当 k ? 时,右边取得最大值 , 2 4
因此 r ?
2

????12分 ????14分

21 21 . ,因为 r ? 0 ,所以 r ? 4 2
?1

????16分

23、解: (1) f

( x) ?

x2 n2 (n ? N ? ) ;????4分 ( x ? 0) ,则 bn ? 4 4

(2)不等式化为:

2 2 2 1 ? ??? ? log a (1 ? 2a) ,????5分 n ?1 n ? 2 2n 2
6/4



Tn ?

2 2 2 2 2 ? ??? Tn?1 ? Tn ? ? ?0 n ?1 n ? 2 2n ,因为 2n ? 1 2n ? 2 ,
????7 分

所以

?Tn ?单调递增,



(Tn ) min

1 log a (1 ? 2a) ? 1 ? T1 ? 1 log a (1 ? 2a) ? 2 。因此 2 ,即 .因为 1 ? 2a ? 0 ,

所以 a ?

1 ? 1 ?0?a? , ,? 2 得 0 ? a ? 2 ? 1. 2 ?1 ? 2a ? a 2 , ?

????10分

(3)当 ? 为奇数时, c n ? 2n ? 1 , d n ?

1 (n ? 1) . 2

????11分

2 p ?1 ?


1 (q ? 1) 2 ,则 q ? 4 p ? 3 ,
????13分 ????14分 ????15分 ????17 分 ????18分

即 ?c n ? ? ?d n ?,因此 t n ? 2n ? 1 , 所以 S n ? n .
2 n 当 ? 为偶数时, cn ? 3 , d n ? log 3 n .



3 p ? log 3 q

得q ? 3

3p

,即

?cn ? ? ?d n ?,因此 t n ? 3n ,

所以 S n ?

3 n (3 ? 1). 2

7/4


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