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高中必修1-5错误解题分析系列-《1.1 集合的概念与运算》


第一章
§1.1

集合与常用逻辑用语

集合的概念与运算

一、知识导学
1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元. 3.子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 a ? A 则 a ? B ),则称 集合 A 为集合 B 的子集,记为 A ? B 或 B ? A;如果 A ? B,并且 A ? B,这时集合 A 称为集合 B 的真子集,记为 A B 或 B A.

4.集合的相等:如果集合 A、B 同时满足 A ? B、B ? A,则 A=B. 5.补集:设 A ? S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记 为 Cs A . 6.全集:如果集合 S 包含所要研究的各个集合,这时 S 可以看做一个全集,全集通常 记作 U. 7.交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集, 记作 A ? B. 8.并集:一般地,由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并 集,记作 A ? B. 9.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作 ? . 10.有限集:含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集:含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn 图). 13.常用数集的记法:自然数集记作 N,正整数集记作 N+或 N ,整数集记作 Z,有理数 集记作 Q,实数集记作 R. 二、疑难知识导析 1.符号 ? , , ? , ,=,表示集合与集合之间的关系,其中“ ? ”包括“ ”和“=”
*

两种情况,同样“ ? ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ? ,? 表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时, 要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表 示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式 中,B= ? 易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的, 要注意满足条件的点构成的图形是什么, 用数 形结合法解之. 6.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出 来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有 n 个元素的集合的所有子集个数为: 2 ,所有真子集个数为: 2 -1 三、经典例题导讲 2 [例 1] 已知集合 M={y|y =x +1,x∈R},N={y|y =x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1,或 y=2} D.{y|y≥1} 错解:求 M∩N 及解方程组 ?
n n

?y ? x2 ?1 ?x ? 0 ?x ? 1 得? 或 ? ∴选 B y ? 1 y ? 2 y ? x ? 1 ? ? ?

错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素 是什么.事实上 M、N 的元素是数而不是实数对(x,y),因此 M、N 是数集而不是点集, 2 M、N 分别表示函数 y=x +1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集. 2 正解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D. 2 2 注: 集合是由元素构成的, 认识集合要从认识元素开始, 要注意区分{x|y=x +1}、 {y|y=x 2 +1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的.

[例 2] 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C.

错解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2. 当 x=1 时,a=2, 当 x=2 时,a=1. 错因:上述解答只注意了 B 为非空集合,实际上,B= 时,仍满足 A∪B=A. 当 a=0 时,B= ,符合题设,应补上,故正确答案为 C={0,1,2}. 正解:∵A∪B=A ∴B ∴B= 或 ?? 1 或?2? A 又 A={x|x2-3x+2=0}={1,2}

∴C={0,1,2}

[例 3]已知 m ? A,n ? B, 且集合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ?,B= ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ?,又 C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?,则有: ( )

A.m+n ? A B. m+n ? B C.m+n ? C D. m+n 不属于 A,B,C 中任意一个 错解:∵m ? A,∴m=2a,a ? Z ,同理 n=2a+1,a ? Z, ∴m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围. 正解:∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1 ? Z, 又∵n ? B ,∴n=2a2+1,a2 ? Z ,

∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n ? B, 故选 B.

[例 4] 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B 数 p 的取值范围. 错解:由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5.

A,求实

欲使 B

A,只须 ?

?? 2 ? p ? 1 ? ?3 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5

∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. 错因:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即 B= 时,符合题设. 正解:①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 p≥2. 由 B A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5. 由-3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时,即 p+1>2p-1 p<2. 由①、②得:p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B= 、A∪B= ,A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 2 [例 5] 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac }.若 A=B,求 c 的值. 分析:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. 2 2 (1)若 a+b=ac 且 a+2b=ac ,消去 b 得:a+ac -2ac=0, a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a≠0. 2 ∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解. 2 2 (2)若 a+b=ac 且 a+2b=ac,消去 b 得:2ac -ac-a=0, 2 ∵a≠0,∴2c -c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=-

1 . 2 1 ? A, a ? 1 且 1?A. 1? a

点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. [例 6] 设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

⑴若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合?请说明理由. ⑶若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

⑷求证:集合 A 中至少含有三个不同的元素.

1 ∈A ? 2∈A 2 1 ∴ A 中至少还有两个元素:-1 和 2 1 ⑵如果 A 为单元素集合,则 a= 1? a
解:⑴2∈A ? -1∈A ? 即 a ? a ? 1 =0
2

该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素集 ⑶a∈A ?

1 ∈A ? 1? a

1 1? 1 1? a

∈A?

1? a ? 1 A,即 1- ∈A a 1? a ?1

1 1 1 1 ∈A, 1- ∈A .现在证明 a,1- , 三数互不相等. a a 1? a 1? a 1 1 ①若 a= ,即 a2-a+1=0 ,方程无解,∴a≠ 1? a 1? a 1 1 2 ②若 a=1- ,即 a -a+1=0,方程无解∴a≠1- a a 1 1 1 1 ③若 1- = ,即 a2-a+1=0,方程无解∴1- ≠ . a 1? a a 1? a
⑷由⑶知 a∈A 时, 综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素. 点评:⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨. [例 7] 设集合 A={ a | a = n ? 1 , n ∈N },集合 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N },试证:
2
+

2

+

A B. 证明:任设 a ∈A, 则 a = n ? 1 =( n +2) -4( n +2)+5 ( n ∈N ),
2
2 +

∵ n∈N*,∴ n+2∈N* ∴ a∈B 故 ① 显然,1 ? A ? a | a ? n 2 ? 1, n ? N * ,而由 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N }={ b | b = (k ? 2) 2 ? 1 , k ∈N }知 1∈B,于是 A≠B
2
+ +

?

?

② 由①、② 得 A B. 点评:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系. (2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义. 四、典型习题导练 1.集合 A={x|x -3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x -x-6>0, x∈ Z},则 A∩B 的非空真子 集的个数为( A.16
2 2 2

) B.14 C.15 D.32 ) D.{ 5 ,- 5 }

2.数集{1,2,x -3}中的 x 不能取的数值的集合是( A.{2,-2 } B.{-2,- 5 }

C.{±2,± 5 }

3. 若 P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则 P∩Q 等于( ) A.P B. Q C. D.不知道

4. 若 P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( ) A.P∩Q= B.P Q C.P=Q D.P Q

5.若集合 M={ x |

1 ? 1 },N={ x | x 2 ≤ x },则 M ? N= ( x A. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} D. ?



6.已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩R+= ,则实数 m 的取值范围是 _________. 7.(06 高考全国 II 卷)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A,

B ? ?x |1 ? x ? 3? , A B ? ? ,求实数 a 的取值范围。
8.已知集合 A= x | x 2 ? ax ? 12b ? 0 和 B= x | x 2 ? ax ? b ? 0 满足

?

?

?

?

C I A∩B= ?2?,A∩ C I B= ?4?,I=R,求实数 a,b 的值.


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