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函数性质知识点整理


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函数的基本性质知识点梳理
一、基础知识回顾 1.映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,___________,这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记作____________。 (答:对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素与它对应,f:A →B) 2. 象和原象: 给定一个集合 A 到 B 的映射, 且 a ∈A,b ∈B,如果元素 a 和 b 对应, 那么元素 b 叫做元素 a 的___, 元素 a 叫做元素 b 的_______。 (答:象,原象) 3.一一映射:设 A,B 是两个集合, f :A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,如果在这个映射下,满足_____________ 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射。 (答:对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象,而且 B 中每个元素都有原象, ) 4.函数的三要素:①_______,②_________,③________。 (答:定义域,对应法则,值域) 5 . 两 个 函 数 当 且 仅 当 ________ 和 _________ 对 应 法 则 ( 即 解 析 式 ) 都 相 同 时 , 才 称 为 相 同 的 函 数 。 (答:定义域,对应法则(即解析式) ) 6.请同学们就下列求函数三要素的方法配上适当的例题: ⑴定义域:①根据函数解析式列不等式(组) ,常从以下几个方面考虑: ⑴分式的分母不等于 0;⑵偶次根式被开方式大于等于 0; ⑶对数式的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1;⑷指数为 0 时,底数不等于 0。 ②⑴已知 f ( x) 的定义域,求 f [ g ( x)] 的定义域。 ⑵已知 f [ g ( x)] 的定义域,求 f ( x) 的定义域。 ⑵值域: ①函数图象法(中学阶段所有初等函数极其复合) ;②单调性法;③换元法;④导数法 ⑶解析式:①待定系数法(已知函数类型求解析式) ;②已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) ;③函数 图象法。 7.若 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足________(或___________) ,则函数 f ( x) 叫做奇函数(或偶函数) 。 (答: f (? x) ? ? f ( x) , f (? x) ? f ( x) ) 8.①若 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足 f (? x) ? f ( x) =_____,则为奇函数。 (答:0) ②若 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足 f (? x) ? f ( x) =_____,则为偶函数。 (答:0) ③若 f ( x) ( f ( x) ? 0 )的定义域关于原点对称,且满足

f (? x) =_____,则为奇函数。 (答:-1) f ( x) f (? x) =_____,则为偶函数。 f ( x)
(答:1) (答:原点中心) (答: y 轴轴对称) (答:0)

④若 f ( x) ( f ( x) ? 0 )的定义域关于原点对称,且满足

9.奇函数的图象关于____________对称。 偶函数的图象关于____________对称。 10.若 f ( x) 为奇函数,且 f (0) 存在,则 f (0) =___________。
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11.若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x ) 与 f ( x) 是什么关系。

(答:相等)

12.若在公共定义域上的不恒为 0 的函数 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为奇函数,则: ① f ( x) ? g ( x) 为___函数; ② f ( x) ? g ( x) 为____函数; ③ f ( x) ? g ( x) 为____函数; (答:奇) (答:奇) (答:偶)



f ( x) ( g ( x) ? 0 )为___函数; g ( x)

(答:偶)

⑤ f [ g ( x)] 为____函数; 请同学们分别就 f ( x) , g ( x) 均为偶函数和一奇一偶的情况回答上述问题。

(答:奇)

13.设 A 是 f ( x) 定义域的一个区间,区间 M ? A , ? x1 , x2 ∈A,改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 则 ①当____________时,则称 f ( x) 在区间 M 上为增函数; (答: ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ) ②当____________时,则称 f ( x) 在区间 M 上为减函数. (答: ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ) 14.①若函数 f ( x) 满足对某个区间内任意的 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 成立,则 函数 f ( x) 在此区间内为_____函数(填增减性)。 (答:增)

②若函数 f ( x) 在某个区间内满足当 m ? 0 时恒有 f ( x ? m) ? f ( x) 成立,则函数 f ( x) 在此区间内为_____函 数(填增减性)。 (答:减) ③请你尽可能多的写出单调函数的其它叙述方式。 15. 对于复合函数 y ? f [ g ( x)] , 设 u ? g ( x) , 则 y ? f (u ) , 若 u ? g ( x) 和 y ? f (u ) 单调性相同, 则 y ? f [ g ( x)] 为 ______ 函 数 ( 填 增 减 性 ) , 若 u ? g ( x) 和 y ? f (u ) 单 调 性 相 反 , 则 为 _____ 函 数 ( 填 增 减 性 ) 。 (答:增,减) 16.①若 f ( x) , g ( x) 均为增函数,则 f ( x) ? g ( x) 为______函数(填增减性)。 (答:增)

②请你尽可能多的写出类似于①的函数单调性性质。 17.①奇函数在两个对称的区间上具有_______的单调性(填相同或相反) ; (答:相同) ②偶函数在两个对称的区间上具有_______的单调性(填相同或相反) ; (答;相反) 18.函数的周期性: 1 、若函数 f ( x) 满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ( 其中 T 为常数 ) ,则 f ( x) 为周期函数,且 ____ 为其一个周期; (答:T)
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2、若函数 f ( x) 的图象同时存在两条对称轴 x ? a 和 x ? b ,则 f ( x) 为周期函数,且 (答: T ? 2 a ? b ) 3、请同学们类别上述结论,再写出几个关于函数周期性的结论。 19.函数图象的对称性: ①若函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则函数 f ( x) 的图象关于______对称;

为其一个周期;

(答:直线 x ? ②若函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? ? f (b ? x) ,则函数 f ( x) 的图象关于______对称; (答:点(

a?b 轴) 2

a?b ,0)中心) 2

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