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2014学年浙江省嘉兴市高三9月学科基础知识测试数学(理)试题


浙江省嘉兴市 2015 届高三 9 月学科基础知识测试数学理试题 (WORD 版)
2014.9

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符和题目要求的 1.设集合 A= A.

?x | x

2

? 2 x ? 3 ?

0? ,R 为实数,Z 为整数集,则 ? CR A? ? Z ?
B.

?x|-3<x<1?

?x | ?3 ? x ? 1?

C.

??2, ?1,0?

D.

??3, ?2, ?1,0,1?

2.已知函数 f ? x ? ? A. C.

x ,则 f ? x ? 在
B. D.

? ??,0? 上单调递增 ? ??,0? 上单调递减
1? ? a?b 2 1? ? a?b 2 ? 1? b 2

?0, ??? 上单调递增 ?0, ??? 上单调递减
? ??? ?
?

3.在 ?ABC 中,已知 M 是 BC 中点,设 CB ? a, CA ? b, 则 AM ? A. B. C. a ? D. a ?

??? ?

?

???? ?

1? b 2

4. "? ? ? " 是 "sin ? ? sin ? " 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知函数 y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x 的图像如图,则

A.a>b>c C.b>a>c

B.c>b>a D.c>a>b

6.已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4sin x, 则函数 f ? x ? 的最大值是 A.4 B.3 C.5 D.

17

7.对于空间的一条直线 m 和两个平面 ? , ? ,下列命题中的真命题是 A.若 m ?? , m ? ? , 则 ? ? ? C.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? B. .若 m ?? , m ? ? , 则 ? ? ? D. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ?

8.等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 2, a4 ? a2 ? 2 ,则前 5 项和 S5 ? A. 7 ? 3 2 B. 3 2 ? 7 C. 7 ? 3 2 D. 3 2 ? 7

9.已知 ?ABC 中,BC=3,AC=4,AB=5 点 P 是三边上的任意一点,m= PA ? PB ,则 m 的最小值是 A.-25 B. ?

??? ? ??? ?

25 4

C. ?

9 4

D.0

10.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线与A,B两点,交双曲线的渐近线于P, Q两点,若|PQ|=2|AB|,则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.

3 2 2

D.

2 3 3

二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 12.已知 ? 是钝角, cos ? ? ?

3 ?? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 5 ?4 ?

. . .

13.垂直于直线 x+2y-3=0 且经过点(2,1)的直线的方程 14.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.已知 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?
16.已知正实数 a,b 满足
2 2

.

1 2 ? ? 3 ,则 ? a ? 1??b ? 2? 的最小值是 a b

. .

17.若圆C与圆 x ? y ? 2 x ? 0 关于直线 x+y-1=0 对称,则圆 C 的方程是

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分)
2 2 2 在 ?ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ? sin A ? sin B.

(1)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 4 ,求 a ? b 的最大值.

19 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 bn ? an an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 20.(本题 15 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中, PA ? 底面 ABC, ?ABC 是正三角形,AB=4,PA=3,M 是 AB 的中点. (1)求证: CM ? 平面 PAB; (2)设二面角 A-PB-C 的大小为 ? ,求 cos ? 的值. 21.(本题 15 分) 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x ,点 P ? a,0? 是 x 轴上的一点,经过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物 线相交于 A,B 两点. (1) 当点 P 在 x 轴上时,求证线段 AB 的中点轨迹方程; (2) 若 AB ? 4 OP (O 为坐标原点),求 a 的值.

22.(本题 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
a ( x ? 0) . x

(1)若 a ? 0 ,试用定义证明: f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增; (2)若 a ? 0 ,当 x ? [1,3] 时不等式 f ( x ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

2014 年高中学科基础测试 理科数学
1.D; 6.B; 2.B; 7.C; 3.A; 8.A; 4.D; 9.B;

评分参考
5.C; 10.D.

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分 11.1007; 15. ? 4 ;
7 2 ; 10 50 16. ; 9

12. ?

13. 2 x ? y ? 3 ? 0 ;

14.32;

17. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分) 在△ ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A sin B . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c ? 4 ,求 a ? b 的最大值. 解: (Ⅰ)由 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A sin B ,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab . 所以, cos C ?
a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,角 C ? . 2ab 2 3

┅4 分 ┅8 分 ┅10 分

(Ⅱ)因为 c ? 4 ,所以 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab . 又 ab ? (

a?b 2 1 ) ,所以 16 ? (a ? b) 2 ,从而 a ? b ? 8 ,其中 a ? b 时等号成立. 2 4

故, a ? b 的最大值为 8. 19. (本题 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a 1 ? 1 , a n?1 ? 2a n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? a n a n?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)由 a n?1 ? 2a n ? 1 ,得 a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) . 所以, {a n ? 1} 成等比,公比 q ? 2 ,首项 a 1 ? 1 ? 2 . 所以, a n ? 1 ? 2 n ,即 a n ? 2 n ? 1 .

┅14 分

┅4 分 ┅8 分

(Ⅱ) bn ? a n a n?1 ? (2 n ? 1)(2 n?1 ? 1) ? 2 ? 4 n ? 3 ? 2 n ? 1 , 所以,数列 {bn } 的前 n 项和
S n ? 2(41 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? 3(21 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? n
? 2? 4(4 n ? 1) 2( 2 n ? 1) 8 10 ? 3? ? n ? ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? . 4?1 2?1 3 3

┅10 分

┅12 分 ┅14 分

20. (本题 15 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC ,△ ABC 是正三角形, AB ? 4 , PA ? 3 , M 是

AB 的中点.
(Ⅰ)求证: CM ? 平面 PAB; (Ⅱ)设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? ,求 cos ? 的值. 解: (Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABC ,所以 PA ? CM . 因为△ ABC 是正三角形, M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB . 所以, CM ? 平面 PAB. (Ⅱ) (几何法) 由对称性可知,二面角 A ? PB ? C 的大小也为 ? . 作 MD ? PB 于 D ,连 CD ,则 CD ? PB . 所以, ? CDM 是二面角 A ? PB ? C 的平面角. 因为 AB ? 4 , PA ? 3 ,所以 CM ? 2 3 , DM ? 从而 CD ?
4 21 DM 21 ? ,故 cos ? ? . 5 CD 14

┅3 分 ┅6 分 ┅7 分
P D

┅11 分
6 . 5

A
C

M B
(第 20 题)

┅15 分

(向量法) 以 M 为原点, MC 为 x 轴, MB 为 y 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图.

AP ? (0,0,3) , AC ? (2 3 ,2,0) .
P

z

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 APC 的法向量,
3z ? 0 ? 则? ,取法向量 n1 ? (1,? 3 ,0) .┅10 分 ?2 3 x ? 2 y ? 0

A

O( M )

B

y

BP ? (0,?4,3) , BC ? (2 3 ,?2,0) .
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BPC 的法向量,

x

C

(第 20 题)

? ? 4 y ? 3z ? 0 则? ,取法向量 n2 ? ( 3 ,3,4) . ┅13 分 ?2 3 x ? 2 y ? 0

故 cos ? ?

| n1 ? n2 | | n1 || n2 |

?

2 3 2? 2 7

?

21 . 14

┅15 分

21. (本题 15 分) 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x ,点 P (a ,0) 是 x 轴上的一点,经过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物 线相交于 A , B 两点. (Ⅰ)当点 P 在 x 轴上运动时,求线段 AB 的中点轨迹的方程; (Ⅱ)若 | AB |? 4 | OP | (O 为坐标原点) ,求 a 的值. 解: (Ⅰ)设 A( x 1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , AB 中点为 M ( x0 , y0 ) .
2 ? ? y ? 4 x1 则? 1 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) , 2 ? ? y2 ? 4 x2

y B

l

┅2 分
O



y1 ? y 2 ? 1 , y1 ? y 2 ? 2 y 0 , x1 ? x 2

P
A

x

所以 2 y 0 ? 4 ,从而 y0 ? 2 .

┅6 分
(第 21 题)

故,线段 AB 的中点轨迹的方程是: y ? 2 ( x ? 1 ) . ┅7 分 (Ⅱ)直线 l : x ? y ? a ,
?x ? y ? a 由? 2 ? y 2 ? 4 y ? 4a ? 0 . y ? 4 x ?
? ? 16(a ? 1) , | AB |? 2 | y1 ? y 2 | ? 4 2(a ? 1) .

┅9 分

┅12 分

若 | AB |? 4 | OP | ,则 4 2(a ? 1) ? 4 | a | ,即 a 2 ? 2a ? 2 ? 0 . 解得: a ? 1 ? 3 . 22. (本题 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
a ( x ? 0) . x

┅15 分

(Ⅰ)若 a ? 0 ,试用定义证明: f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增; (Ⅱ)若 a ? 0 ,当 x ? [1,3] 时不等式 f ( x ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)若 a ? 0 ,设 0 ? x1 ? x 2 ? ?? ,则

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 )(1 ?

a ). x1 x 2

┅2 分

因为 x1 ? x 2 ? 0 , 1 ?

a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , x1 x 2

故, f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增.

┅6 分

(Ⅱ)若 a ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a ,??) 上单调递增. ①若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x ) 在 [1,3] 上单调递增, f ( x ) min ? f (1) ? 1 ? a . 所以, 1 ? a ? 2 ,即 a ? 1 ,所以 a ? 1 . ②若 1 ? a ? 9 ,则 f ( x ) 在 [1, a ] 上单调递减,在 [ a ,3] 上单调递增,
f ( x) min ? f ( a ) ? 2 a .所以, 2 a ? 2 ,即 a ? 1 ,所以 1 ? a ? 9 .

┅8 分

┅10 分

③若 a ? 9 ,则 f ( x ) 在 [1,3] 上单调递减, f ( x) min ? f (3) ? 3 ? 所以, 3 ?
a ? 2 ,即 a ? ?3 ,所以 a ? 9 . 3

a . 3

┅12 分 ┅14 分

综合①②③, a ? 1 .


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