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集合、函数教材分析与处理


集合、函数教材分析

2010-9-8

北京四中 程国红

一、

B 版教材特点

1、 从具体到抽象、由特殊到一般:符合学生认识发展规律,而且不断深入,螺旋式上升。 建议:多从实例入手,加强学生感性认识,逐步过渡到理性分析,建立认知体系。对学生不 要操之过急,不要求一步到位。

2、 更突出数学本质,重视通性通法 建议:逐步渗透和帮助学生形成解题策略,舍弃过于繁难的技巧性训练。 3、 数学思想方法贯穿始终 建议:从教材处理到概念巩固上,都要突出数学思想方法的作用。这一章里,数形结合、函 数思想、化归思想以及换元法、配方法、待定系数法等非常突出。 4、 重视实际应用 建议:多联系实际,让学生体会数学是有用的,有价值的,提高学生学数学、用数学的兴趣。 5、 信息技术广泛应用 建议:适当利用软件、计算器等工具来完成一些计算、作图工作。辅助性。

二、

课标要求

集合: 1、 通过实例,了解集合的含义,会使用“ ? ”或“ ? ”表示元素与集合之间的关系。 2、 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法、描述法、Venn 图)描述不同的具 体问题,感受集合语言的意义和作用。 3、 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 4、 在具体情境中,了解全集与空集的含义。 5、 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个集合的并集与交集。 6、 能使用 Venn 图表达集合的关系与运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 函数: 1、 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,学习 用集合的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数

1

的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 2、 在实际情境中,会根据不同需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数。通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 3、 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。 4、 掌握作函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 5、 掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法,了解函数的零点与方程根的联系, 能根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解。 三、 教材分析

第一章 集合 1、 集合与集合的表示方法(2 课时) 教学重点:集合的概念、性质及表示方法 教学难点:描述法 建议:多举例。列举法注意三个特性,描述法首先确定元素类型以及它所具有的性质,如

?x y ? f (x)?、 ?y y ? f (x)?、 ?( x, y) y ? f ( x)? 等的差别。
2、 集合之间的关系与运算(4 课时) 教学重点:子集、真子集、集合的相等,集合的交、并、补运算 教学难点:符号化 建议:多种语言的转化。可补充子集个数问题。运算律不用刻意强调和证明。 第二章 函数 1、函数及其表示(5 课时) ? ? 教学重点:函数的概念 教学难点:函数概念的理解和函数符号的认识与使用.

建议: (1)概念:从运动变化到对应关系,两个通性,多举实例,包括常值函数、分段函数 (P43,本在要素后,可以往前提) 、离散函数。 (2)表示:P38,本在要素后,建议往前提。三种表示各有所长,有时可转化,但并 非每个函数均有三种表示方法(如狄利克雷函数) 。 (3)要素:会判断两个函数是否为同一函数;会求简单函数(包括一层复合,如 P79, 2)定义域;理解 f (1), f (a), f ( x), f ( x ? 1) 等的含义;会用图象观察或转

2

化为常见函数的方法求简单函数的值域;待定系数法求解析式。 (4)映射和一一映射的概念:了解,会判断,与函数的关系。 2、函数的单调性与奇偶性 (3 课时) ? ? 教学重点:函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识 教学难点:函数单调性、奇偶性的本质,单调性的证明

建议: (1)单调性定义:关于改变量 ?x, ?y 的说明。 (2)单调性证明:注意直观感知与严密证明之间的关系,如 y ? 对 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 变形方向的把握。 在此,可给一些单调性应用的训练,如求值域、最值。 (3)奇偶性定义:先由具体函数分析图象特征,找对应点坐标关系,归纳出定义。 (4)奇偶性应用:课后习题包括:判断,画图,求解析式,与单调性的关系。建议分 层次要求。 3、一次函数和二次函数(5 课时) 教学重点:斜率公式的推导,配方法,待定系数法,三个二次的关系 教学难点:对二次函数性质的理解的运用 建议: (1)一次函数:由图,体会 k 的含义和作用。 (2)二次函数:包括二次方程,二次不等式,数形结合、分类讨论的思想。 这部分内容是初中的一个深化,使学生对之的理解要上升到理性层次。 4、函数应用(2 课时) 教学重点:函数模型的应用 教学难点:数学建模 建议:从实际问题如何转化为数学模型的过程中,审题、找关键词、建立关系式、考虑实际 意义及限制。完善函数思想,增强应用意识,培养学生分析解决问题的能力。 5、函数与方程(2 课时) 教学重点:函数零点的概念,二分法求函数的零点 教学难点:函数零点的应用,二分法求函数的零点的原理 建议: (1)零点概念。 (2)二分法:先举例,再解释原理比较好 四、参考例题
3

x 在 (0, ??) 上;

1、 (10 辽宁) (1)已知集合 U ? ?1,3,5, 7,9? , A ? ?1,5, 7? ,则 CU A ? ( D) (A) ?1, 3? (B) ?3, 7, 9? (C) ?3, 5, 9? (D) ?3, 9?

2、 (10 安徽)若 A= ? x | x ? 1 ? 0? ,B= ? x | x ? 3 ? 0? ,则 A ? B =( C ) (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3)
2

(D)(1,3)

3、 (10 北京) 集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P ? M =(B) (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}

4、 (10 天津文)设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ? x |1 ? x ? 5, x ? R? .若A ? B ? ?, 则 实数 a 的取值范围是(C ) (A) ?a | 0 ? a ? 6? (B) ?a | a ? 2, 或a ? 4? (C) ?a | a ? 0, 或a ? 6? (D) ?a | 2 ? a ? 4?

5、 (2010 天津理)(9)设集合 A= ? x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ? x || x ? b |? 2, x ? R? . 若 A ? B, 则实数 a,b 必满足( D) (A) | a ? b |? 3 (B) | a ? b |? 3 (C) | a ? b |? 3 (D) | a ? b |? 3

6、 全国) (10 设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 M ? ?1, 4? ,N ? ?1,3,5? , N ? ? M 则 CU A. ?1, 3? B. ?1, 5? C.

? ?(

C)

?3, 5?
2

D.

?4,5?

7、 (10 江苏)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=____1___.
2 2 x 8、 (10 湖北)2.设集合 A ? {? x, y ? | x ? y ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3 } ,则 A ? B 的子集的

4

16

个数是(A )

A.4

B.3

C .2

D.1

9、 (10 福建) 对于平面上的点集 ? ,如果连接 ? 中任意 两点的线段必定包含于 ? ,则称 ? 为平面上的凸集,给出 平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边 界) : 其中为凸集的是 ②③ 。 。

10、数集 X ? {x | x ? (2n ? 1)π,n ? Z} 与 Y ? {x | x ? (4kn ? 1)π,n ? Z} 与之的关系是 相等

1 11、已知:A= ?0,? ,B= x x ? A ,C= x x ? A ,
(1) (2) 写出集合 B、C; (B={0,1},C= ?? , ?0? , ?1? , ?0,1?? ) 写出集合 A 与 B,集合 A 与 C 之间的关系。 (A=B, A ? C )
4

?

?

?

?

12、 (08 江西)定义集合运算: A ? B ? ? z | z ? xy, x ? A, y ? B? .设

A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为(
A.0;B.2;C.3;D.6



13、 已知集合 A ? { x | ( x ? 1)( x 2 ? ax ? a ? 1) ? 0} , A 中所有元素之和。(a ? 0 时, a ? ?2 求 0; 时,-1; a ? 0 且 a ? ?2 时, a ? 1 ) 14、已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0, a ? R} ,若集合 A 中的元素至多有一个,求 a 的取
2

值范围。 a ? 0或a ? (

15、若 M ? x,,xy , x ? y ,N ? 0,x ,y 且 M=N,求 x,y 的值。 (-1) 16、已知:M= x x ? 2 ,P= x x 2 ? x ? 2 ? 0 ,求 M ? P 和 M ? P。 17、已知:A= y y ? 3x

?

9 ) 8

?
?

?

?

?

?

?

?

2

?,B= ?y y ? ? x
?
2

2

? 4 ,则 A ? B=

?

,A ? B=



18、已知 a ? R ,集合 A ? x x ? 1 , B ? x ax ? 1 ,若 A ? B ? A ,求 a 的值。 ? 0, ?1? 19、 (07 北京)已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出:

?

?

?

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

20、 (10 陕西)某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数 除以 10 的余数大于 6 时再 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间 .. . 的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为[B] (A)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 x?4 x?5 ] (C)y=[ ] (D)y=[ ] 10 10 10
2

21、 (10 安徽)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是( D)

5

22、 (10 陕西)已知函数 f(x)= ?3 x ? 2, x ? 1, 若 f(f(0) )=4a,则实数 a= 2 . ?
2 ? x ? ax, x ? 1,

23、 (10 天津) (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 ( C )
x

(A)(-2,-1) (B) (-1,0)

(C) (0,1)

(D) (1,2) )

? x 2 +2x-3,x ? 0 24、 (10 福建)函数 (x)= ? 的零点个数为 ( B f ?-2+ ln x,x>0

A.3

B.2

C.1
x
-x

D.0
x
-x

25、 (10 广东)若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则( A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

B)

26、 (10 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x )= 2 x +2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( D) (A) 3 (B) 1
1

(C)-1

(D)-3
x ?1

27、 (10 北京)给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2
2

,其中

在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( (A)①② (B)②③ (C)③④

B)

(D)①④
2

28 、 10 全 国 ) 直 线 y ? 1 与 曲 线 y ? x ? x ? a 有 四 个 交 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( (1,5/4) .(数形结合)

2 ? 2 29、 (10 江苏)已知函数 f ( x ) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的 范围 x?0 ?1,

是__ x ? (?1, 2 ? 1) ___。 30 、 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) ? ? f ( x ), 当 0 ? x ? 1 时 , 有

f ( x) ? x ,则 f (3.5) = -0.5

.

31、已知函数 f ( x) 为偶函数, y ? f ( x ? 3) 在区间 ? 0, 3? 上单调递增,则(B ) A. f (0) ? f (?1) ? f (3) C. f (?1) ? f (0) ? f (3) B. f (3) ? f (?1) ? f (0) D. f (?1) ? f (3) ? f (0)

6


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