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数列求和法归纳导学案


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数列求和法归纳—导学案
1. 掌握等差数列、等比数列的求和公式. 2. 了解一般数列求和的几种方法. 1. 对等差、等比数列的求和以考查公式为主,对非等差、非等比数 2. 列的求和,主要考查分组求和、裂项相消、错位相减等方法. 讲练结合法、启发式教学

第5讲

数列的求和

一、知识要点疏理
1.数列求和常用的方法 1)公式法: +a ?n?a 2 ?, (1)等差数列{a }的前 n 项和公式:S =? n?n-1? ?na + 2 d.
1 n n n 1

(2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn:①当 q=1 时,Sn=_____; ②当 q≠1 时,Sn=__________=_________.

教 学 过 程

2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3)错位相减法:适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求和. 4)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. 5)倒序相加法:把一个数列从最后一项开始倒着书写,然后把两式对应相加,每一组相加的值都相等。 2.典型例题剖析 1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S5 等于( n?n+1? A.1 B.5/6 C.1/6 D.1/30 ) )

2.若等差数列{an}中,a3+a4+a5=2,a4+a5+a6=5,则 a8+a9+a10=(

A.16 B.17 C.18 D.19 3.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则 a5=____,前 8 项的和 S8=_____(用数字作答). 1 1 1 ? 1? 4.数列 1 ,2 ,3 ,?,?n+ n?,?的前 n 项和 Sn=________________________. 2 4 8 ? 2? 5.数列{an}的通项公式 an= 1 n+ n+1 ,若前 n 项的和为 10,则项数 n=________.

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3.考点巧突破 考点 1 利用公式或分组法求和 例 1:(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2, a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

【互动探究】 1.(2010 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn.

考点 2 裂项相消法求和 例 2:(2011 年全国)已知等比数列{an}各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+log3a3+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n?

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【互动探究】 1 1 1 2.求和 1+ + +?+ =_____. 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n

考点 3 错位相减法求和 例 3:(2011 年辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?

【互动探究】 3.(2010 年广东湛江调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=2Sn. (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点 4.分类讨论思想在数列中的应用
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例题:已知点 Pn(an,bn)都在直线 l:y=2x+2 上,P1 为直线 l 与 x 轴的交点,数列{an}成等差数列, 公差为 1(n∈N*). (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
?an?n为奇数?, ? (2)若 f(n)=? , 问是否存在 k∈N*, 使得 f(k+5)=2f(k)-2 成立; 若存在, 求出 k 的值, ? ?bn?n为偶数?

若不存在,说明理由; (3)求证: 1 1 1 2 + +?+ < (n≥2,n∈N*). |P1P2|2 |P1P3|2 |P1Pn|2 5

1.对于一般数列的求和,通常化归为等差、等比数列的求和,以考查公式为主.由于数列求和是由 通项公式决定的,因此,从寻找数列的通项公式入手,通过研究它的特点确定使用的方法是解决求和问 题的关键. 2.数列求和常见类型及方法 (1)an=kn+b 型,利用等差数列的前 n 项和公式直接求解. (2)an=a1·qn-1 型,利用等比数列的前 n 项和直接求解,但要注意对 q 分 q=1 与 q≠1 两种情况 进行讨论. (3)an=bn± n,数列{bn}、{cn}是等比数列或是等差数列,采用分组求和. c (4)an=bn·n,数列{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用错位相减法求和. c (5)对于通项可化为 an=f(n)-f(n-1)形式的数列,采用裂项相消法求和. (6)对于 an-k+ak=c(c 为常数),可考虑采用倒序相加求和. (7)an=(-1)nf(n),可采用相邻两项合并求解,即采用“并项法”求和.

二、典型习题演练
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1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=(

)

A.33 B.72 C.84 D.189 2.若等比数列的前 n 项和是 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项的和为( ) A.183 B.108 C.75 D.63 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,则 S9=( ) A.18 B.36 C.45 D.60 - 4.(2011 年皖北联考)数列 1,1+2,?,1+2+22+?+2n 1 的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于( ) + A.2n B.2n 1-n-2 + C.2n 1-n D.2n-n 1 5.等比数列{an}中,a1=512,公比 q=- ,用 Πn 表示它的前 n 项之积:Πn=a1·2· an,则 Πn 中 a ?· 2 最大的是( ) A.Π11 B.Π10 C.Π9 D.Π8 6.(2011 年安徽)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n· (3n-2),则 a1+a2+?a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 7.(2011 年安徽百校论坛三模)在等差数列{an}中,a1>0,a10·11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36, a 前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是________. 8. 如图 K9-4-1, 它满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n; (2)图中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n(n≥2) 行的第 2 个数是________. 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 ? 图 K9-4-1 9.(2010 年山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

2n 1an 10.(2011 年“江南十校”联考)数列{an}满足 a1=1,an+1= (n∈N*). an+2n
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n ?2 ? (1)证明:数列?a ?是等差数列;

? n?

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

教 学 小 结
学生对于本次课评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 教师评定: 1、上次作业评价: ○非常好 ○好 2、上课情况评价: ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

学生签字:

教师签字:

教务主任签字: ___________

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