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第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化


第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化
习题 5.1

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0 ? , 因为秩( A )=秩( B )所以 A 与 B 等价; 但是由 1.解:(A) 设 A = ? ?, B = ? ? ?0 2? ? 0 4?
于 tr A 与 tr B 不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(A)不正确. (B)

/>
A 与 B 相似, 即存在可逆矩阵 P 使得 P ?1 AP = B , 所以秩( A )=秩( B ),因此 A

与 B 等价. (B)是正确的.

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0 ? ,秩( A )=秩( B ), 但是由于 tr A 与 (C) 与(A)一样, 设 A = ? ?, B = ? ? ?0 2? ? 0 4?
tr B 不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(C)不正确.

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0 ? ,| A |=| B |, 但是由于 tr A 与 tr B (D) 与(A)一样, 设 A = ? ?, B = ? ? ?0 2? ? 0 4?
不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(D)不正确.

0 0 ? 1 0 0 ? λ ?1 ? ?2 5 ?2 ? = 2 7. 解: (1) 因为 λ E ? 2 = (λ ? 1) 2 (λ ? 3) , 所以特征值 λ ?5 ? ? ? ? 2 4 ? 1? 2 ?4 λ + 1 ? ?
为 1,1,3.

?1 0 0? ? ? 求解方程组 ( E ? ?2 5 ?2 ) X = O , 得属于特征值 1 的特征向量为 ? ? ? ?2 4 ?1? ? ?

ξ1 = [ 2, 1, 0] k1 + [ ?1, 0, 1] k 2 (其中 k1 , k 2 为不同时为零的任意数).
T T

?1 0 0? ? ? 求解方程组 (3E ? ?2 5 ?2 ) X = O , 得属于特征值 3 的特征向量为 ? ? ? ?2 4 ?1? ? ?

ξ 2 = [ 0, 1, 1] k3 (其中 k3 为不为零的任意数).
T

习题 5.2
T 4.证明: A 的特征多项式为 λ E ? AT = ((λ E )T ? A)T = (λ E ? A)T = λ E ? A



λ E ? A 是 A 的特征多项式, 所以 A 与 AT 有相同的特征多项式.

6. 解: 因为 1 是 A 的一重根, 所以(E-A)X=O 的基础解系含有 1 个向量, 因此 3-秩(E-A)=1, 从 而可知秩(E-A)=2. 又因为 2 是 A 的二重根, 所以(2E-A)X=O 的基础解系含有向量的个数 为 1 或 2, 由于 A 不能与对角矩阵相似, 则可知 A 的线形无关的特征值个数小于 3, 所以 (2E-A)X=O 的基础解系含有向量的个数只能为 1, 同样可得 3-秩(2E-A)=1, 所以秩 (2E-A)=2.

7.解:因为

λ ?1 λ E ? A = ? x λ ? 1 3 ? 2 x = (λ ? 1) = (λ ? 1) 2 (λ + 1) , 所以 A 的 ?1 λ λ ?1 0

λ

0

?1

特 征 值 为 -1,1,1. 因 为 A 与 对 角 矩 阵 相 似 , 所 以 要 求 特 征 根 的 重 数 ni 与

(λi E ? A) X = O 的基础解系所含向量个数 ri 相等. -1 是一重根所以一定满足, 所以只
要特征值 1 满足即可. 也就是要求 ( E ? A) X = O 的基础解系含有 2 个向量, 由此可知

n -秩( E ? A )=2, 因此秩( E ? A )=1.
?1 ? ?1 ? ?1 0 ?1 0 ? ? x 0 ?2 x + 3? ?? ?0 0 ?3x + 3? , 所 以 当 且 仅 当 x = 1 时 秩 因为 E ? A = ? ? →? ? ? ?1 0 ?0 0 1 ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? ?0 0 ? x 1 2 x ? 3? 能与对角矩阵相似, 则必有 x = 1 。 ( E ? A )=1,所以 A = ? ? ?1 0 0 ? ? ?
习题 5.3
2.解:因为秩(A)=1=秩(B), 所以 A 与 B 等价. 又因为 tr A=4, trB=1, 即有 trA ≠ trB , 所以 A 与 B 不相似. 综上可知(B)是正确的. 3.解:(1) 因为 f ( A) = A2 + A ? 2 E , 所以 f ( x ) = x 2 + x ? 2 。因为 A 有三个不同的特征 值,所以 f ( A) 也可以对角化。 所以 A2 + A ? 2 E 的所有特征值为 f ( ?1) = 2, f (1) = 0, f (2) = 2 。 (2) | A2 + A ? 2 E |= f ( ?1) f (1) f (2) = 2 × 0 × 2 = 0 .

λ ?1
5. 解: (1) 因为

2

?2 ?4 = λ 3 + 3λ 2 ? 24λ + 28 = (λ ? 2) 2 (λ + 7) , λ+2

λE ? A = 2
?2

λ+2
?4

所以特征值为 2,2,-7.

? 1 ?2 2 ? ? ? 求解方程组 (2 E ? ?2 ?2 4 ) X = O , 得到属于 2 的线形无关的特征向量为 ? ? ? 2 4 ?2 ? ? ?

[ 2,

0, 1] , [ ?2, 1, 0] .
T T

对 [ 2,

0, 1] , [ ?2, 1, 0] 进 行 施 密 特 正 交 化 化 为 正 交 单 位 向 量 组 得
T T

1 1 T T [ 2, 0, 1] , [ ?2, 1, 0] 。 5 5

? 1 ?2 2 ? ? ? 求解方程组 (?7 E ? ?2 ?2 4 ) X = O , 得到属于-7 的线形无关的特征向量为 ? ? ? 2 4 ?2? ? ?
? 1 ? ? ? 2 , ?1, 1? . ? ?
1 T ? 1 ? 对 ? ? , ?1, 1? 进行施密特正交化化为正交单位向量组得 [ ?1, ?2, 2] 。 3 ? 2 ?
T T

所 以 A = U Λ U ?1

? ? ? ? , 其中U = ? ? ? ? ?

2 5 0 1 5

?

2 5 1 5 0

1? ? ? 3 ? ?2 ? 2? ? 2 ? . 由此可得 ? ?, Λ = ? ? 3 ? ? ?7 ? ? ? 2 ? 3 ? ?

Ak = (U ΛU ?1 ) k = U Λ kU ?1 = U Λ kU T
? ? ? ? =? ? ? ? ? 2 5 0 1 5 2 ? 5 1 5 0 1? ? ? 3 ? ? 2k 2? ? ? ?? 3 ?? 2 ?? 3 ? ? ? ? ?? ?? ?? (?7)k ? ? ?? ? ? 2 5 0 1 5 2 ? 5 1 5 0 1? ? ? 3 ? 2? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ?
T

2k

? 2k +3 + (?7) k ? = ? ?2k +1 + 2(?7)k ? 2k +1 + 2(?7)k ?

?2k +1 + 2(?7) k 5 ? 2k +1 + 4(?7)k 2 k + 2 ? 4(?7) k

2 k +1 ? 2(?7)k ? ? 2 k +1 ? 4(?7)k ? . 5 ? 2 k +1 + 4(?7) k ? ?

(2) f ( A) = A3 + 3 A2 ? 24 A + 28 E 的特征值为 f (2) = 0, f (2) = 0, f ( ?7) = 0 , 所以

A3 + 3 A2 ? 24 A + 28 E = UOU ?1 = O .

6.解:因为方阵 A 的 n 个特征值为 1,2,…,n, 所以 A 可以对角化。所以 A+E 的特征值 为 2,3, ……, n, n+1.所以|A+E|= ( n + 1)! .

?λ ? a ? a12 ? a13 ? 0 λ ? a ?a23 ? 11. 证明: 因为 λ E ? A = ? 0 λ ?a 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ?

? a1n ? ? ? a2 n ? ? ? ? a3n ? = (λ ? a ) n , 所以 a 是 A 的 n ? ? ? ? λ ? a? ?
?

重根. 如果 A 能与对角矩阵相似, 则必有 (aE ? A) X = O 的基础解系含有 n 个向量, 即 n -秩( aE ? A )=n, 也就是秩( aE ? A )=0, 从而得到此时 aE ? A = O , 即 A = aE , 这与条件 A ≠ aE 矛盾! 所以 A 不能与对角矩阵相似. 12.证明:因为 0 = A 2 + 4 A + 4 E = ( A + 2 E ) 2 ,所以 A + 2 E = 0 ,即-2 是 A 的一个特 征值。 设

λ 为 A 的 特 征 值 , ξ 是 A 的 属 于 λ 的 特 征 向 量 , 则 有 Aξ = λξ , 所 以

( A2 + 4 A + 4 E )ξ = λ 2ξ + 4λξ + 4ξ = Oξ = O , 从 而 可 得 λ 2 + 4λ + 4 = 0 , 即 得

λ = ?2 , 所以 A 的特征值仅为-2.
习题 5.4
1. 证明: λ 是反对称矩阵 A 的一个特征值, O ≠ ξ = [ a1 , 设 的特征向量, 则有

a2 , ? , an ] 是 A 的属于 λ
T

Aξ = λξ .
令 ξ = ? a1 ,
T

(1)

?

a2 , ? , an ? , 其中 ai 表示 ai 的共扼复数, i = 1, 2,? , n . 对(1)式两 ?

边同取共扼得 Aξ = λξ . 因为 A 是实矩阵, 所以有 A = A , 因此有

Aξ = λξ .

(2)

对(1)式两边转置得 ξ T AT = λξ T , 因为 A 是反对称矩阵, 所以 AT = ? A 从而

ξ T A = ?λξ T .

(3)

对(2)式两边同左乘 ξ T , 对(3)式两边同右乘 ξ , 分别得

ξ T Aξ = λξ T ξ , ξ T Aξ = ?λξ T ξ
从而得 λξ T ξ = ? λξ T ξ , 移项得 (λ + λ )ξ T ξ = 0 , 因为 ξ T ξ ≠ 0 , 所以 (λ + λ ) = 0 ,

所以 λ 为零或者纯虚数.

λ ?2
2.解:(3) 因为

λE ? A =

1 1 ?1

1 1 ?1 λ ? 2 ?1 1 = (λ ? 1)3 (λ ? 5) , 所以特征值为 ?1 λ ? 2 1 λ ?2 1 1

1,1,1,5.

? 2 ?1 ?1 1 ? ? ?1 2 1 ?1? ? ) X = O , 得属于特征值 1 的线性无关的特征向 解线性方程组 ( E ? ? ? ?1 1 2 ?1? ? ? ? 1 ?1 ?1 2 ?
量为 [1, 1,

0, 0] , [1, 0, 1, 0] , [1, 0, 0, ?1] .
T T T

? 2 ?1 ?1 1 ? ? ?1 2 1 ?1? ? ) X = O , 得属于特征值 5 的线性无关的特征 解线性方程组 (5 E ? ? ? ?1 1 2 ?1? ? ? ? 1 ?1 ?1 2 ?
向量为 [1,

?1, ?1, 1] .
T

?1 ?1 所以 P = ? ?0 ? ?0

1 1 1? ?1 ? ? ? 1 ? 0 0 ?1? ? ?. , 对角矩阵为 ? 1 0 ?1? 1 ? ? ? ? 0 ?1 1 ? 5? ?
T T T

3.解: (3)先对属于特征值 1 的三个特征向量进行正交化.

ξ1 = [1, 1, 0, 0] , ξ 2 = [1, 0, 1, 0] , ξ 3 = [1, 0, 0, ?1] . η1 = ξ1 = [1, 1, 0, 0] ;
T

( ξ ,η ) η2 = ξ 2 ? 2 1 η1 = [1, (η1 ,η1 )
η3 = ξ 3 ?

1 1 T ?1 ? 0, 1, 0] ? [1, 1, 0, 0] = ? , ? , 1, 0 ? ; 2 2 ?2 ?
T

T

(ξ3 ,η1 ) η ? (ξ3 ,η 2 ) η = 1 1, [ (η1 ,η1 ) 1 (η2 ,η2 ) 2 3
T

?1, ?1, ?3] .
T

再对向量进行单位化, 得到三个正交单位向量.

1 2

[1,

1, 0, 0] ,

1 6

[1,

?1, 2, 0 ] ,
T

3 T [1, ?1, ?1, ?3] , 6

再对属于特征值 5 的特征向量进行单位化得

1 T [1, ?1, ?1, 1] . 2

? ? ? ? ? 由此得到 U = ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 2 2 0 0 ?

1 6 1 6 2 6 0 ? ? ?

3 6 3 6 3 6 3 2

1 ? ? 2 ? ?1 ? 1? ? ? ? 1 ? 2? ? ?. , 对角矩阵为 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 5? 2? ? ? 1 ? 2 ? ?

4.证明: ? 显然成立. ? 因为 A, B 有相同的特征多项式, 则 A, B 必有相同的特征根. 不妨设这些根为

λ1 , λ2 ,? , λn , 因 为 A, B 均 为 n 阶 实 对 称 矩 阵 , 所 以 存 在 可 逆 矩 阵 P, Q 使 得
?λ1 ? ?λ1 ? ? ? ? ? λ2 λ2 ?1 ? ? , Q ?1 BQ = ? ? P AP = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? λn ? λn ? ? ?

.









P ?1 AP = Q ?1 BQ , 所以有 A = (QP ?1 ) ?1 BQP ?1 , 其中 QP ?1 是可逆的, 因此 A 与 B 相
似.

λ ?1
1. 解: 因为

0

?1 0 = λ (λ ? 2) 2 , 所以 A 特征值为 0,2,2.(然后 λ ?1

λE ? A = 0
?1

λ ?2
0

验证 A 可对角化,从而 B 可对角化) 因为 B = (kE + A) 2 = k 2 E + 2kA + A2 = f ( A) (其中 f ( x) = x 2 + 2kx + k 2 ), 所以 B 的特征值为 f (0) = k 2 , f (2) = k 2 + 4k + 4, f (2) = k 2 + 4k + 4.

?k 2 ? 所以 Λ = ? ? ?

? ? k 2 + 4k + 4 ?. 2 k + 4k + 4 ? ?

习题 5.5
5. 因为 解:

λ E ? A = [λ ? (n ? 1)b](λ + b)n ?1 , 所以 A 的特征值为一个一重特征值 ( n ? 1)b

和一个 n ? 1 重特征值 ?b . 因为秩( [( n ? 1)bE ? A] )= n ? 1 , 所以 n1 = n ? ( n ? 1) = 1 与 重数相同. 因为秩( [ ?bE ? A] )= 1 , 所以 n2 = n ? 1 与重数相同. 所以 A 能对角化(也可

?(n ? 1)b ? ? ? ?b ? ?. 由实对称矩阵得到), 与其相似的对角矩阵为 ? ? ? ? ? ?b ? ?
6.证明:设 λ 为 n 阶方阵 A 的特征值, ξ 为 A 的属于 λ 的特征向量, 则有 Aξ = λξ . 所以

A2ξ = λ 2ξ = ξ , 即有 λ 2 = 1 , 因此 A 的特征值或为 1,或为-1.
7. (1) 因为矩阵 A 与 B 相似, 所以 trA=trB, A = B , 由此可以得到 ? 解: 而可知 a = 5, b = 6 . 当 a = 5, b = 6 时, 易知 A 的特征值为 2,2,6.

?5 + a = 4 + b, , 从 ? 6a ? 6 = 4b.

? 1 ?1 1 ? ? 4 ?2 ? ) X = O , 得到属于 2 的线形无关的特征向量为 求解方程组 (2 E ? 2 ? ? ? ?3 ?3 5 ? ? ?

[1,

0, 1] , [ ?1, 1, 0] .
T T

? 1 ?1 1 ? ? ? 4 ?2 ? ) X = O , 得到属于 6 的线形无关的特征向量为 求解方程组 (6 E ? 2 ? ? ?3 ?3 5 ? ? ?
2 ?1 ? ? 3 , ? 3 , 1? . ? ?
所以此时 A 可以对角化。 类似可以证明此时 B 也可以对角化。所以由他们的特征值相同可以知道此时 A 与 B 合 同。
T

1 ? ? ?1 ?1 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? . (2)由(1)可知 P = ? 3? ? ? 1 ? ?1 0 ? ? ? ?

λ ?1
8.解:因为

0

0 0

0 0 0 = (λ ? 1)2 (λ ? 2)2 , 所以 A 有一个两

λE ? A =

?a ?2 ?2

λ ?1
?3 ?3

λ ?2
?c

λ ?2

重特征值 1 和一个两重特征值 2. n1 = n ? 秩( E ? A ), n2 = n ? 秩( 2E ? A ),

A 能与对

角 矩 阵 相 似 所 以 必 有 n1 = 2, n2 = 2 . 因 此 要 求 秩 ( E ? A )= 秩 ( 2E ? A )=2.

0 0 0? ?0 ? ?1 ? c ?3 ?2 ? ??a 0 0 0 ? ? ? ? ? ?? ? 0 ?1 ?3 ?2 ? , 要使得秩( E ? A )=2, 必有 → E?A= ? ?2 ?3 ?1 0 ? ? 0 0 0 ?a ? ? ? ? ? 0? ? ?2 ?3 ?c ?1? ?0 0 0 0 0 ?1 ??a 1 0 a = 0 ; 2E ? A = ? ? ?2 ?3 0 ? ? ?2 ?3 ?c ( 2E ? A )=2, 必有 c = 0 . 综上 a = 0 , 0? ?1 ? a ?2 ?2 ? ? ? 0? ? ?? ?0 1 ?3 ?3? , → ?0 0 0? 0 ?c ? ? ? ? 0? 0 0? ?0 0 c = 0.

要 使 得 秩

10.解: (1)由 Aξ = λ 0ξ 可得三个方程,解之可得结果。 (2)略。


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