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江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试题(学生版)


2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题
一、填空题: 1.若复数 (a ? 2) ? i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a = 2.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ▲ . ▲ .

B ? {1, 2,3, 4} ,则 A B ?

3.某高中共有 1200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样 的方法从中抽 i ?1 取 48 人, 那么 x?4 高二年级被抽 While i <10 取的人数为 三 角 ▲ . izhiqun 4. 已 知 双 曲 线



x2 y 2 ? ?1 的 4 m
渐近线方程为

x ? x ? 2i i ?i?3
第 While 5 题图 End Print x ▲ .

y??

2 x ,则 m ? 2

5.执行右边的伪代码后,输出的结果是 ▲ . 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 12π ,则该圆柱的高为





7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆中投掷一点,若此 点到圆心的距离大于

1 1 ,则周末看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则周末打篮球; 2 4
▲ . ▲ .

否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是

8.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? 9.已知函数 y ? ▲

x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值集合为


?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 3 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?
11.设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ?





π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 3 6
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轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ?





12.若斜率互为相反数且相交于点 P(1,1) 的两条直线被圆 O : x2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长之

比为

6 ,则这两条直线的斜率之积为 2





13. 若函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 . 14. 在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? AD ? 4, AC ? 6 ,若 ?ABC 的外心恰在线段 ▲

BD 上,则 BC ?
二、解答题: 15. 已知向量 a ? (? ,





1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2

(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值.

16. 如图,矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在平面互相垂直, AE ? BE ,点

M , N 分别是 AE, CD 的中点.
(1)求证: MN ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 ADE .
M A D B N C E

17. 如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公 路 m .在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市 决定以 A 为圆心, 1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一
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条公路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切. (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长;


Q
(2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.

A
18. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

l m

O

P



E:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A , 与 x 轴平行的直线 2 a b

2

2

与椭圆 E 交于 B 、 C 两点,过 B 、 C 两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线相交于点

D .已知椭圆 E 的离心率为

5 4 5 ,右焦点到右准线的距离为 . 3 5

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值.

y D O x

A B C

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19. 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列, 且满足 a1b1 ? a2b2 ?

?

?

?

? anbn ? cn Sn ,

n ? N? ,其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?cn ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?) N? ,求证:对任意 nk ? (n ? 的 n ? 2, n ? N? ,数列 {
?

?

?

?

bn } 单调递减. an

20.(本题满分 16 分)
x 己知 f ( x) ? e ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 .

(1)当 a ? e 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: (3)求证: e
2 x ?2

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a ; a

? ex?1 ln x ? x ? 0 .

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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题(附加题)
B. 已知矩阵 A ? ?

? 0 1? ?0 2 ? ,矩阵 B ? ? ? ? ,直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的 ? a 0? ?b 0 ?

变换得到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)求直线 l 2 的方程.

C. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若直线 l

?? ? 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 . 4? ?
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 16 9

22.某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了 5 名幸运之星.这 5 名幸运之星可获得

A 、 B 两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获
得哪一种奖品,抛掷点数小于 3 的获得 A 奖品,抛掷点数不小于 3 的获得 B 奖品. (1)求这 5 名幸运之星中获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数的概率; (2)设 X 、 Y 分别为获得 A 、 B 两种奖品的人数,并记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分 布列及数学期望.

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23. 已知 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1) n ( n ? N ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式; (1) 若 f ( x2 ) g ( x) ? g ( x3 ) 恒成立, 求 g (1) 和 g (?1) 的值; 并写出一个满足条件的 g ( x) 的 表达式,无需证明. (2)求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ?

?

? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .

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