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数学必修1 第一章 第2课时(考前练习及解析)


数学必修 1 第一章

第 2 课时(考前练习)

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题 1.(2011· 福建卷)若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析: 若“a=2”,则“(a-1)(a-2)=0”, 即 a=2?(a-1)(a-2)=0. 若“(a-1)(a-2)=0”,则“a=2 或 a=1”; 故(a-1)(a-2)=0 不一定能推出 a=2,故选 A. 答案: A 2.下列说法中正确的是( )

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价 C.“a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解析: 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性. 答案: D 3.(2011· 湖南湘西州联考)已知条件 p:a<0,条件 q:a2>a,则綈 p 是綈 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 由 a2>a 得,a<0 或 a>1.所以 q 是 p 成立的必要不充分条件,其逆否命题綈 p 也是綈 q 的必要不充分条件. 答案: B 4.(2011· 天津卷)设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0}, 则“x∈A∪B”是“x∈C”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0 或 x>2}, ∵A∪B=C,∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件.故选 C. 答案: C
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5.有下列命题: ①两组对应边相等的三角形是全等三角形; ②“若 xy=0,则|x|+|y|=0”的逆命题; ③“若 a>b,则 2x·a>2x·b”的否命题; ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题. 其中真命题共有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析: ①是假命题,②是真命题,③是真命题,④是假命题. 答案: B 6.(2011· 山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( A.若向量 a,b 满足 a· b=0,则 a=0 或 b=0 1 1 B.若 a<b,则 > a b C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 4 D.?x∈R,使得 sin x+cos x= 成立 3 解析: 对于 A,当 a⊥b 时,a· b=0 也成立,此时不一定是 a=0 或 b=0; 对于 B,当 a=0,b=1 时,该命题就不成立; 对于 C,b2=ac 是 a,b,c 成等比数列的必要不充分条件; π 对于 D,因为 sin x+cos x= 2sin?x+ ?∈[- 2, 2], ? 4? 所以该命题正确. 答案: D 二、填空题 7.e1、e2 是不共线的两个向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a∥b 的充要条件是实数 k =________. 解析: a=λb,? 答案: ± 1 8.(2012· 济南调研)若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围 是________. 解析: ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立;
? ?a<0 当 a≠0 时,得? , 2 ?Δ=4a +12a≤0 ? ? ?1=kλ ?k=λ ?

)

?k2=1?k=±1.

解得-3≤a<0,故-3≤a≤0. 答案: [-3,0]
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9.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是________. 解析: ①∵当 k>0 时,Δ=4-4(-k)=4+4k>0, ∴①是真命题. ②否命题:“若 a≤b,则 a+c≤b+c”是真命题. ③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题:“若 xy≠0,则 x、y 都不为零”是真命题. 答案: ①②④ 三、解答题 10.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 p 的否命题. (2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论. 解析: (1)否命题:“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”. (2)命题 p 的否命题为真命题,证明如下: ∵ac<0,∴-ac>0?Δ=b2-4ac>0?二次方程 ax2+bx+c=0 有实根. 11.指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、 “充要条件”、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (3)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0. 解析: (1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件. (2)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分 条件. (3)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2, 所以 p?q 但 q?/ p,故 p 是 q 的充分不必要条件. 12.求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0. 证明: 必要性: 若方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1, ∴x=1 满足方程 ax2+bx+c=0,∴a+b+c=0. 充分性:
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若 a+b+c=0,∴b=-a-c, ∴ax2+bx+c=0 化为 ax2-(a+c)x+c=0, ∴(ax-c)(x-1)=0, ∴当 x=1 时,ax2+bx+c=0, ∴x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根.

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