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辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一上学期期末考试 数学试题 Word版含答案


数学学科

高一年级

命题人:解祎美

校对人:刘敬

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? {?1 , 0,1,2,4} , CU M ? {?1,1} 则集合 M ? A.

>?0, 2?

B.

?0, 4?

C.

?4, 2?

D.

?0, 2, 4?

2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,

1 2

2 ) ,则 log 2 f (2) 的值为 2
D. ? 2

A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

3.若 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是

A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ?

C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ?

D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ?

4.圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系是
2 2 2 2

A.内切

B.相交

C.外切

D.相离

5.已知 f ( x) ? ax ? bx 是定义在 [a ? 1 , 2a] 上的偶函数, 那么 a ? b 的值是
2

A. ?

1 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

?

1 2

6.下列函数中,既是偶函数又在 (??,0) 上单调递增的是 A. y ? ?

1 x

B. y ? log 2 x

C. y ? ? 3

x

D. y ? x ? 1
3

7.已知正 ?ABC 的边长为 2 ,以它的一边为 x 轴,对应的高线为 y 轴,画出它的水平放置的直观 图 ?A ' B ' C ' ,则 ?A ' B ' C ' 的面积是

A. 3

B.

3 2

C.

6 2

D.

6 4

主视图

左视图

8. 一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,则这个几何体最 多可由这样的正方体组成的个数为 A.12 个 B.13 个 C.14 个
2 2

D.18 个

9.若直线 3x ? 4 y ? m 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 有公共点,则 A. 2 ? m ? 12 B. m ? 2 或 m ? 12
2 2

C. 2 ? m ? 12

D. m ? 2 或 m ? 12

10. 已知实数 x , y 满足方程 ( x ? 2) ? y ? 3 ,求 A. ? 3 B. 3 C. ? 3

y 的最小值 x
D. 3

11. 已 知 P 、 A 、 B 、 C 是 球 O 表 面 上 的 点 , PA ? 平 面

ABC , AC ? BC , AC ? 1 , BC ? 3 , PA ? 5 ,则球 O 的表面积为
A. 9? B. 8? C. 6? D. 4?
2

12.若定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x , 函数 g ( x) ? ? 为 A.9

?log 3 ( x ? 1) ( x ? 1) ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ?? 5,5? 内的零点个数 2x ( x ? 1) ?
B.8 C.7 D.6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)

13.若直线 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l 2 : y ? 3x ? 1 平行,则 m ? __________.

14.计算: log 3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7

log 7 2

8 ? ? ( ) 3 ? __________. 27

1

15.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2cm ,高为 5cm ,则一质点自点 A 出发,沿着,三 棱柱的侧面绕行两周到达 A1 的最短路线的长为__________ cm .

16.若函数 f ( x) ?

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R ,则 a 的取值范围是__________.

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程和演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a} , B ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} .
2

(1)当 a ? 3 时,求 A ? B , A ? (C R B) ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图,半径为 2 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求 该几何体的体积.(其中∠BAC=30°)

19. (本小题满分 12 分) 已知圆 O 以 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点为圆心,且与两个坐标轴相切. (1)求圆 O 的标准方程; (2)若斜率为 3 的直线 l 与圆 O 交与 A 、 B 两点,且 AB ?

3 ,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 12 分) 已 知 二 次 函 数 f ( x) 的 图 象 经 过 点 (0,3) , (1,0) , (?2,3) , g ( x) ? log a f ( x) , 其 中

a ? 0且a ? 1 .
(1)求 g ( x) 的解析式及其定义域; (2)当 ? 2 ? x ? 0 时, g ( x) max ? 2 ,求 a 的值.

21. (本小题满分 12 分) 直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形, AB ? 1 , ?ABC ? 60 (1)求证: AC ? BD1 ; (2)若 AA1 ?
?

6 ,求四面体 D1 AB1C 的体积. 2

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 的值; (2) 若 f (1) ? 的值.

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,求 m 2

辽宁省实验中学分校 2013—2014 学年度上学期期末考试 高一数学
题号 选项 13. ? 1 D 2 A 14. 4 3 D 4 B 15. 13 5 B 6 C 7 D

答案
8 B 9 A 10 C 11 A 12 B

2 3

16. ?? 1,0?

18.解: V球 ?

4 3 32 ? 2 ? ? -----4 分 3 3 1 V中 ? ? ( 3 ) 2 4 ? 4? -----8 分 3 20 所以 V ? V球 - V中 ? ? -----12 分 3
2 2

19. 解:(1) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 -----4 分 (2)设 l : y ?

3 x ? b ,则圆心到 l 的距离 d ?

| 3 ?1? b | 1 ? , 2 2

解得 b ? 2 ? 3 或 b ? ? 3 .-----10 分 所以 l : 3 x ? y ? 2 ? 3 ? 0 或 3 x ? y ? 3 ? 0 .-----12 分 20.解:(1) g ( x) ? log a (? x ? 2 x ? 3) -----4 分
2

定义域 {x | ?3 ? x ? 1} -----6 分 (2)因为 ? 2 ? x ? 0 ,所以 3 ? f ( x) ? 4 -----8 分 当 a ? 1 时, log a 4 ? 2 , a ? 2 ;-----10 分 当 0 ? a ? 1 时, log a 3 ? 2 , a ? 综上, a ? 2 .-----12 分 21.解: (1)连结 BD 交 AC 于 O. ?四边形 ABCD 为菱形 ?AC⊥BD , ?直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 ?DD1⊥平面 ABCD ?DD1⊥AC, 又 DD1 交 BD 于 D, 则 AC⊥平面 BB1D1D, 又 BD1 ? 平面 BB1D1D, 则 AC⊥BD1. -----6 分 (2) VD1 AB1C ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB1 ABC ? VD1 ACD ? VA1 A1B1D1 ? VCC1B1D1 = VABCD ? A1B1C1D1 ? 4VB1 ABC ?

3 (舍)

3 3 1 3 3 2 ? ? 4? ? ? ? . -----12 分 2 3 4 4 6 6

22 解:(1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
x ?x

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ,

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 ………4


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