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广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年下学期第一次质检数学试卷(理科) Word版含解析


广东省佛山市南海区黄岐中学 2014-2015 学年高二下学期第一次 质检数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 3 1.如果质点 A 按规律 s=2t 运动,则在 t=3s 时的瞬时速度为() A.6 B.18 C.54 D.81 2.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,则 a 的值为() A.1 B. C . ﹣1
2

D.0

3.函数

的导数是()

A.

B.

C.

D.

4. A.
2

=() B.2e C. D.

5.抛物线:x =y 的焦点坐标是() A.(0, ) B.(0, ) C.( ,0) D.( ,0)

6. A.2
2

=() B. 4 C. π D.2π

7.如图,函数 y=﹣x +2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分) ,则该闭合图 形的面积是()

A.1

B.

C.

D.2

8.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有() A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C. f (0) +f (2) ≥2f (1) D. f(0)+f(2)>2f(1)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.曲线 y= x 在点(1, )处切线的倾斜角为.
2 2

10.已知曲线 y=x +2x﹣2 在点 M 处的切线与 x 轴平行,则点 M 的坐标是. 11.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程为. 12.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=. 13.设抛物线 y =4px(p>0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10,则 p=. 14.曲线 y=x +3x +6x+4 的所有切线中,斜率最小的切线的方程是.
3 2 2 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.计算: (1) (2) |x+2|dx; dx.

16.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单 位:元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
3 2



17.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值, (1)求 a,b,c 的值; (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. 18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中 点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求多面体 ADC﹣A1B1C1 的体积;

(3)求二面角 D﹣CB1﹣B 的平面角的正切值.

19.如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B 为两

个顶点,已知椭圆 C 上的点(1, )到 F1、F2 两点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求弦长|PQ|.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣bx+c,f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+4=0 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅲ)若在区间内,恒有 f(x)≥x +lnx+kx 成立,求 k 的取值范围.

广东省佛山市南海区黄岐中学 2014-2015 学年高二下学期 第一次质检数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 3 1.如果质点 A 按规律 s=2t 运动,则在 t=3s 时的瞬时速度为() A.6 B.18 C.54 D.81 考点: 导数的几何意义. 分析: 根据 v= 得知,瞬时速度就是 s 对 t 的导数.

解答: 解:∵v= ∴v=s′|t=3=6t |t=3=54. 故选 C. 点评: 本题比较容易,考查导数的几何意义. 2.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,则 a 的值为() A.1 B. C . ﹣1 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f′( x) ,再由 f′(1)=2 求出 a 的值. 解答: 解:∵函数 f (x )=a x +c,∴f′( x)=2ax 又 f′(1)=2, ∴2a?1=2, ∴a=1 故答案为 A. 点评: 本题考查导数的运算法则.
2 2 2

D.0

3.函数

的导数是()

A.

B.

C.

D.

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 把函数改写为幂函数的形式,利用幂函数的求得法则即可求得结果. 解答: 解: ∴ = , ,

故选 C. 点评: 本题考查根式与分数指数幂的互化,以及幂函数的导数,不根式化为分 数指数幂是 解题的关键,属基础题. 4. A. =() B.2e C. D.

考点: 微积分基本定理. 专题: 计算题.

分析: 先求出被积函数 e +e 的原函数,然后根据定积分的定义求出所求即可. ﹣x x x ﹣x 1 x ﹣x 解答: 解: ( e ﹣e )′=e +e ∴∫0 (e +e )dx =( e ﹣e )|0 =e﹣ ﹣1+1 =e﹣ . 故选 D. 点评: 本题主要考查了定积分的运算,定积分的题目往往先求出被积函数的原函数,属于 基础题. 5.抛物线:x =y 的焦点坐标是() A.(0, ) B.(0, ) C.( ,0) D.( ,0)
2 x
﹣x

x

﹣x

1

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据标准方程求出 p 值,判断抛物线 x =y 的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而 写出焦点坐标. 解答: 解:抛物线 x =y 中,2p=1,∴ = , 又焦点在 y 轴上,开口向上, ∴焦点坐标是 (0, ) , 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,定位定量是关键. 6. A.2 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ B. 4 =() C. π D.2π
2 2

微积分基本定理. 导数的综合应用. 利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出. 解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx, = =2.

故选 A. 点评: 熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键. 7.如图,函数 y=﹣x +2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分) ,则该闭合图 形的面积是()
2

A.1

B.

C.

D.2

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是定积分的几何意义,首先我们要联立两个曲线的方程,判断他 们的交点,以确定积分公式中 x 的取值范围,再根据定积分的几何意义,所求图形的面积为 S=∫0 (﹣x +2x+1)dx﹣∫0 1dx,计算后即得答案. 2 解答: 解:函数 y=﹣x +2x+1 与 y=1 的两个交点为: (0,1)和(2,1) , 所以闭合图形的面积等于 S=∫0 (﹣x +2x+1)dx﹣∫0 1dx 2 2 =∫0 (﹣x +2x+1﹣1)dx 2 2 =∫0 (﹣x +2x)dx = . 故选 B 点评: 在直角坐标系下平 面图形的面积的四个步骤:1.作图象;2.求交点;3.用定积分 表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分. 8.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有() A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C. f (0) +f (2) ≥2f (1) D. f(0)+f(2)>2f(1) 考点: 导数的运算. 专题: 分类讨论. 分析: 分 x≥1 和 x<1 两种情况对(x﹣1)f′(x)≥0 进行讨论,由极值的定义可得当 x=1 时 f(x)取得极小值也为最小值,故问题得证. 解答: 解:依题意,当 x≥1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; 当 x<1 时,f′(x)≤0,f(x)在(﹣∞,1)上是减函数, 故当 x=1 时 f(x)取得极小值也为最小值,即有 f(0)≥f(1) ,f(2)≥f(1) , ∴f(0)+f(2)≥2f(1) . 故选 C.
2 2 2 2 2 2

点评: 本题以解不等式的形式,考查了利用导数求函数极值的方法,同时灵活应用了分类 讨论的思想,是一道好题. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.曲线 y= x 在点(1, )处切线的倾斜角为 45°.
2

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用. 求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解. 解:函数的导数 f′(x)=x,

则在点(1, )处切线的斜率 k=f′(1)=1, 由 tanα=1 得 α=45°, 即在点(1, )处切线的倾斜角为 45°, 故答案为:45° 点评: 本题主要考查切线的倾斜角的计算,求函数的导数,利用导数的几何意义是解决本 题的关键. 10.已知曲线 y=x +2x﹣2 在点 M 处的切线与 x 轴平行,则点 M 的坐标是(﹣1,﹣3) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 设出 M(m,n) ,求出导数,求得切线的斜率,由题意可得 2m+2=0,解得 m,进而 得到 n,即可得到切点坐标. 2 解答: 解:y=x +2x﹣2 的导数为 y′=2x+2, 设 M(m,n) ,则在点 M 处的切线斜率为 2m+2, 由于在点 M 处的切线与 x 轴平行, 则 2m+2=0,解得 m=﹣1, n=1﹣2﹣2=﹣3, 即有 M(﹣1,﹣3) . 故答案为: (﹣1,﹣3) . 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查两直线平行的条件,正确求导是解 题的关键. 11.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程为 4x﹣y﹣3=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;两条直线垂直的判定;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 欲求 l 的方程, 根据已知条件中: “切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直”可得出切线的斜率, 故只须求出切点的坐标即可, 故先利用导数求出在切点处的导函数值, 再结合导数的几何意义 即可求出切点坐标.从而问题解决. 解答: 解:与直线 x+4y﹣8=0 垂直的直线 l 与为:4x﹣y+m=0,
4 2

即 y=x 在某一点的导数为 4, 3 4 而 y′=4x ,∴y=x 在(1,1)处导数为 4, 故方程为 4x﹣y﹣3=0. 点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 12.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=e. 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先根据乘积函数的导数公式求出函数 f(x)的导数,然后将 x0 代入建立方程,解之 即可. 解答 : 解:f(x)=xlnx ∴f'(x)=lnx+1 则 f′(x0)=lnx0+1=2 解得:x0=e 故答案为:e 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及乘积函数的导数公式的运用,属于基础题之列 . 13.设抛物线 y =4px(p>0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10,则 p=4. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为 10,进而利用抛物线方程求得其准线方 程,利用点到直线的距离求得 p,可得答案. 解答: 解:∵横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10, ∴该点到准线的距离为 10, 抛物线 y =4px 的准线方程为 x=﹣p, ∴6+p=10,求得 p=4, 故答案为:4 点评: 本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用, 属于基础题. 14.曲线 y=x +3x +6x+4 的所有切线中,斜率最小的切线的方程是 3x﹣y+3=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据题意求出导数,对导数配方后求出最小值,以及对应的切点坐标,代入直线的 点斜式后再化为一般式. 2 2 解答: 解:由题意得,y′=3x +6x+6=3(x +2x)+6 2 =3(x+1) +3, 2 ∴当 x=﹣1 时,y′=3x +6x+6 取最小值是 3, 3 2 把 x=1 代入 y=x +3x +6x+ 4 得,y=14,即切点坐标是(1,14) , ∴切线方程是:y﹣14=3(x﹣1) ,
3 2 2 2

4

即 3x﹣y+3=0, 故答案为:3x﹣y+3=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值,以及直 线方程的一般式和点斜式的应用. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.计算: (1) (2) |x+2|dx; dx.

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)根据积分范围,去掉绝对值,讲所求化为两段分别积分求值; (2)根据其几何意义求定积分. 解答: 解: (1) | +( )| |x+2|dx=﹣ =2+ = ; =﹣(2x )

解: (2) 所以面积为

dx 表示如图阴影部分的面积, = .

点评: 本题考查了定积分的计算(1)关键是找出被积函数是原函数; (2)是利用定积分的 几何意义解答. 16.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单 位:元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=



考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;实际问题中导数的意义. 专题: 计算题;应用题. 分析: 先设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,根据题意写出综合费 f(x)关于 x 的 函数解析式,再利用导数研究此函数的单调性,进而得出它的最小值即可. 解答: 解:方法 1:导数法 设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元, 则 , 令 f'(x)=0 得 x=15 当 x>15 时,f'(x)>0;当 0<x<15 时,f'(x)<0 因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 方法 2: (本题也可以使用基本不等式求解) 设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元, 则 , 当且进行 ,即 x=15 时取等号. (x≥10,x∈Z )
+

答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 点评: 本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力,建立函数 式、解方程、不等式、最大值等基础知识. 17.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值, (1)求 a,b,c 的值; (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 3 2 分析: (1)因为函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极 小值得 到三个方程求出 a、b、c; 2 (2)令 f′(x)=x +x﹣2=0 解得 x=﹣2,x=1,在区间上讨论函数的增减性,得到函数的最值.
2 3 2

解答: 解: (1)f′(x)=3ax +2bx﹣2 由条件知

解得 a= ,

b= ,c=

(2)f(x)=

,f′(x)=x +x﹣2=0 解得 x=﹣2,x=1

2

由上表知,在区间上,当 x=3 时,fmax=

;当 x=1,fmin= .

点评: 考查函数利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数增减性的能力. 18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中 点. (1)求证:AC⊥BC 1; (2)求多面体 ADC﹣A1B1C1 的体积; (3)求二面角 D﹣CB1﹣B 的平面角的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)证明线线垂直一般先证明线面垂直,即证明已知直线与平面内的两条相交直线 垂直即可. (2)结合几何体的特征得到 ,进而得到答案.

(3)根据题意建立直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再利用向量的有关运算求出两 个向量的夹角进而转化为两个平面的二面角. 解答: 解: (1)证明:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, 2 2 2 ∵AC +BC =AB ∴AC⊥BC, 又 AC⊥C1C,C1C∩BC=C ∴AC⊥平面 BCC1; ∴AC⊥BC1 (2) = ﹣ =20

(3)由题意可得:以 CA、CB、CC1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, ∵AC=3,BC=4,AA1=4,

∴C(0,0,0) , ∴ ,

,B1(0,4,4) ,

平面 CBB1C1 的法向量 设平面 DB1C 的法向量 则 ,

, ,

的夹角的补角的大小就是二面角 D﹣CB1﹣B 的大小

则由

解得

所以



则 ∴二面角 D﹣B1C﹣B 的正切值为

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,即可得到几何体的线面关系进 而比较简单的解决空间中的体积、空间角与空间距离等问题.

19.如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B 为两

个顶点,已知椭圆 C 上的点(1, )到 F1、F2 两点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求弦长|PQ|.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的定义求出 a,点的坐标代入椭圆方程,求出 b,即可求椭圆 C 的方 程和焦点坐标; (2)通过椭圆 C 的焦点 F2,以及 AB 的平行线求出直线的斜率,设出 PQ 的方程,与椭圆联 立通过韦达定理利用写出公式,求弦长|PQ|. 解答: 解: (1)由题设知:2a=4,即 a=2, 将点(1, )代入椭圆方程得 解得 b =3 ∴c =a ﹣b =4﹣3=1,故椭圆方程为
2 2 2 2





焦点 F1、F2 的坐标分别为(﹣1,0)和(1,0) (2)由(Ⅰ)知 A(﹣2,0) ,B(0, ∴PQ 所在直线方程为 y= (x﹣1) , ) ,∴kPQ=kAB= ,



得 2x ﹣2x﹣3=0,

2

设 P (x1,y1) ,Q (x2,y2) ,则 x1+x2=1,x1﹣x2=﹣ , 弦长|PQ|= = = .

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应用,弦长公式的应用, 考查转化思想以及计算能力. 20.已知函数 f(x)=lnx﹣bx+c,f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+4=0 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若在区间内,恒有 f(x)≥x +lnx+kx 成立,求 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ) 由求导公式、 法则求出 f( ′ x) , 根据题意和导数的 几何意义求出 b 的值, 将 (1, f(1) )代入方程 x+y+4=0 求出 f(1) ,代入解析式列出方程求出 c,即可求出函数 f(x)的解 析式;
2

(Ⅱ)由(I)求出函数的定义域和 f′(x) ,求出 f′(x)>0 和 f′(x)<0 的解集,即可求出 函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)先化简 f(x)≥x +lnx+kx,并分离常数 k,再构造函数 g(x)=
2

,求出 g′

(x)并求出 g′(x)大于、小于零的解集,求出 g(x)的单调区间和最小值,再求出 k 的取 值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,f′(x)= ,则 f′(1)=1﹣b,

∵在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+4=0, ∴切线斜率为﹣1,则 1﹣b=﹣1,得 b=2 …2 分 将(1,f(1) )代入方程 x+y+4=0 得:1+f(1)+4=0,解得 f(1)=﹣5, ∴f(1)=﹣b+c=﹣5,将 b=2 代入得 c=﹣3, 故 f(x)=lnx﹣2x﹣3 …5 分 (Ⅱ)依题意知函数的定义域是(0,+∞) ,且 令 f′(x)>0 得, ,令 f′(x)<0 得, , ,

故 f(x)的单调增区间为(0, ) ,单调减区间为( ,+∞) …9 分 (Ⅲ)由 f(x)≥x +lnx+kx 得,lnx﹣2x﹣3≥x +lnx+kx, ∴k≤ 设 g(x)= 令 g′(x)=0 得,x= 令 g′(x)>0 得 故在( , 在区间内恒成立,…10 分 ,则 g′(x)= ,
2 2

或 x= (负值舍去) , ,令 g′(x)<0 得



)上 g(x)单调递增,在(

,5)上 g(x)单调递减,

∴g(x)的最小值只能在区间的端点处取得 …12 分 ∵g( )= = ,g(5)=﹣5﹣2﹣ = . ) . …14 分. ,

∴g(x)的最小值是 g( )= 所以 k≤

,即 k 的取值范围为(﹣∞,

点评: 本题考查求导公式和法则,导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值问 题,考查分离常数法,转化思想,属于中档题.


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