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长沙市一中高一数学培优教材(2)第二讲 二次函数


长沙市一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组 第二讲 一、 基础知识: 1. 二次函数的解析式 (1)一般式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) (2)顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ,顶点为 (h, k ) (3)两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (4)三点式: f ( x) ? 二次函数

( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x2 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( x3 ? x1 )( x3 ? x2 ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x3 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x3 )

2.二次函数的图像和性质 ( 1 ) f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图像是一条抛物线,顶点坐标是 (?

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴方程为 2a 4a

x??

b ,开口与 a 有关。 2a

b b ] 上为减函数,在 [? , ??) 上为增函数; a ? 0 时相反。 2a 2a (3)奇偶性:当 b ? 0 时, f ( x) 为偶函数;若 f (a ? x) ? f (a ? x) 对 x ? R 恒成立,则 x ? a 为 f ( x) 的
(2)单调性:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? 对称轴。 ( 4 )最值:当 x ? R 时, f ( x) 的最值为

b 4ac ? b2 ,当 x ? [ m, n],? ? [m , n ]时, f ( x) 的最值可从 2a 4a

f ( m), f (n ), f ( ?

b b )中选取;当 x ? [m, n], ? ? [m, n] 时, f ( x) 的最值可从 f (m), f (n) 中选取。常依 2a 2a

轴与区间 [ m, n] 的位置分类讨论。 3.三个二次之间的关联及根的分布理论:
2 二次方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端

点函数值的符号;对称轴与区间端点的关系。 二、 综合应用: 例 1:已知二次函数 f ( x) 的图像经过三点 A(1, ?6) , B(?1,0) , C (2.5,0) ,求 f ( x) 的解析式。
2 例 2:已知 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [ ?2, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2 例 3:集合 A ? {( x, y) | y ? x ? mx ? 2} , B ? {( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, 且 0 ? x ? 2} ,若 A B ? ? ,求实

数 m 的取值范围。
2 例 4:设 f (x) ? ax ?bx ?c (a ? 0) 满足条件: (1)当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x)且f ( x) ? x , (2)当

? x ?1? x ? (0,2) 时 , f ( x) ? ? ①求 f ( x) 的解析式; ②求最大的 m(m ? 1) ? ,(3) f ( x) 在 R 上的最小值为 0。 ? 2 ? 使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] 就有 f ( x ? t ) ? x 。
例 5 : 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 于 任 意 实 数 x 和 任 意 实 数 ? ?[ 0 ,

2

?
2

, ] 恒有

1

( x ? 3 ? 2sin ? cos? )2 ? ( x ? a sin ? ? a cos? )2 ?

1 。 8 1 , 又若 0 ? t ? x1 , a

例 6: 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) , 方程 f ( x) ? x 的两根是 x1 , x2 , 且x2 ? x1 ? 试比较 f (t )与x1 的大小。

2 ? bx? c( a? 0), 方 程 f ( x) ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足 0 ? x1 ? x2 ? 例 7 : 设 f ( x) ? ax

1 , (1)当 a

x ? ( 0,x1 )时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; (2)设 f ( x) 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ?
三、 强化训练:

x1 2

1. 二次函数 y ? f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且 f ( x) ? 0 又两个实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 等于( ) A. 0 B 3 C. 6 D. 12 2.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 (a ? b) ,并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b,? , ? 的大小关 系可能是( )

A. ? ? a ? b ? ?

B .

a?? ? ? ? b

.C a? ?

? b? ?

. D?

? a? ?

?b

3.已知函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( )

A . [1, ??)

B.

[0, 2]

C.

[1, 2]

D. (??, 2]

4.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a (a ? 0) ,若 f (m) ? 0, 则 f ( m ? 1) 的值的符号是________________ 5. 已知 f ( x) ? x 2 ? (lg m ? 2) x ? lg n, 且 f (?1) ? ?2, f ( x) ? 2 x 对于一切实数 x 都成立, 则 m ? n ? ______
2 6.已知 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 的值域是 R,则实数 a 的取值范围是______________________

2 7.函数 f ( x) ? log 0.3 ( x ? ax ? a) 的递增区间为 (??,1 ? 3) ,则实数 a 的值是______________

8.设实数 a , b, c 满足 ?

? a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ,则实数 a ? _____________________ 2 2 ?b ? c ? bc ? 6a ? 6 ? 0

9.若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 [a, b] 上的最大值为 2b ,最小值为 2a ,求区间 [a, b] 。 2 2

2 10 .设 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ( a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 ,若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设 y ? f ( x) 的

对称轴为 x ? x0 ,求证 x0 ? ?1 11.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ?

a , x ?[0,1] , a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值 g (a) 的表达式,并求 g (a) 的最大值。 2 1 (1 ? x 2 ) ? 2

12. 是否存在二次函数 f ( x) , 同时满足: (1)f (?1) ? 0 ; (2) 对于一切 x ? R 都有 x ? f ( x) ? 若存在,写出满足条件的函数的解析式;若不存在,说明理由。

2 13.设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,当 x ? [0,1] 时, | f ( x) |? 1 ,求证:适合 b ? A 的最小实数 A 的值为 8。

14.若 a ? 0 ,求证:方程

1 1 1 2a (1)有两个异号实根; (2)正根必小于 ? ,负根必 ? ? ?0, 2 x x?a x?a 3

2

大于 ?

2a 2 3

参考答案: 例 1: f ( x) ? 2( x ? 1)( x ? 2.5)

例 2: f ( x)min

7 ? 3a (a ? 4) ? ? a2 ? ? g (a) ? 0 ? ?7 ? a ? 2 ; 其中 g (a) ? ?3 ? a ? (?4 ? a ? 4) 4 ? 7 ? a (a ? ?4) ? ?
? ??0 ? ? m ? ?1 m-1 0<?2 ? ? 2

例 3: x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 , x ? [0, 2] , ? f (2) ? 0 或 ?

例 4: (1)由①②得: 1 ? f (1) ? 1 ? f (1) ? 1 ; f ( x) ? (2)结合图像可以知道: m 为方程

1 ( x ? 1)2 4

1 ( x ? t ? 1)2 ? x 的两根,从而 t ? ?1, m ? 9 4

例 5:设 t ? sin ? ? cos? , t ? [1, 2] ,原不等式化为: ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at )2 ? 记 f ( x) ? ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at ) 2 ,则

1 恒成立 8

1 ? f ( x)min , 8

a 2 ? b2 ?

(a ? b)2 (2 ? t 2 ? at )2 , ? f ( x) ? 2 2 3 5 或a ? t ? 2t 2t

1 (2 ? t 2 ? at )2 ? ? ? 2t 2 ? 2at ? 3 ? 0或2t 2 ? 2at ? 5 ? 0 , 8 2
1 ? t ? 2 , ? (t ? 3 5 7 ) min ? 6 ; (t ? ) max ? 2t 2t 2

?a ? t ?
7 2

? a ? 6或a ?

2 2 例 6:提示: f (t ) ? x1 ? f (t ) ? f ( x1 ) ? at ? bt ? c ? ax1 ? bx1 ? c ? a(t ? x1 )[a(t ? x1 ) ? b]

f (t ) ? x1
例 7:方法同例 6,本题使 97 年全国高考理可题。 强化训练: 1.C 2. A 3. C 4. 正 5.

110

6.

[0,1]

7. a ? 2

8. [1,9]

9.分析对称轴: (1 ) b ? a ? 0 ? ?

? f (a ) ? 2b ? f ( a ) ? 2a ? a ? 1, b ? 3 , (2) a ? b ? 0 ? ? ? 无解 ? f (b) ? 2a ? f (b) ? 2b

13 ? ? 2b ? (3) a ? 0 ? b ? ? 2 ? f ( a ) ? 2a ?

13 ? 13 ? 2b ? 2 ? a ? ?2 ? 17, b ? ? 4 ? ? f (b) ? 2a
? g (2) ? 0 可以推出结论。 ? g (4) ? 0

2 10.构造 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1, ?

11.同例 2 解法 12. f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

3

1 1 1 1 ? f (1) ? a ? b ? c ? f (1) ? a ? b ? c 4 4 4 4 ? 1 1 b 3 13. ? f (0) ? c ? ? f ( ) ? f (1) ? ? f (0) 2 4 4 4 ? 1 1 b 1 1 b ?f ( ) ? a? ?c f ( ) ? a? ?c ? 2 4 2 2 4 2

1 1 ? b ? 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) ?| b |? 4 | f ( ) | ? | f (1) | ?3 | f (0) |? 8 ,所以 A 的最小值为 8 2 2
14.略

4


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