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课时跟踪检测64 二项式定理


课时跟踪检测(六十四)
第Ⅰ组:全员必做题 1.设?x- A.4 C.2
6

二项式定理

? ?

2 ?6 A 3 ? 的展开式中 x 的系数为 A,二项式系数为 B,则B=( x? B.-4 D.-2
6

)

? 2 1?n 2.(2013

·湖北八校联考)在?x - ? 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为( x? ?
A.3 C.5 B.4 D.6 )

)

?x- 1 ? 8 3.(2013·济南模拟)二项式?2 3 ? 的展开式中常数项是( ? ? x? ?
A.28 C.7 B.-7 D.-28

1? ? ?? ?x-x?6,x<0, ? 4.(2013·陕西高考)设函数 f(x)=?? ? ?- x,x≥0, 展开式中常数项为( A.-20 C.-15 ) B.20 D.15
8 6 2

则当 x>0 时,f(f(x))表达式的

5.(2013·北京东城模拟)(x- 2y) 的展开式中,x y 项的系数是( A.56 C.28 B.-56 D.-28
9 2

)

6.(2014·合肥质检)若(x+2+m) =a0+a1(x+1)+a2(x+1) +?+a9(x+1) ,且(a0+ a2+?+a8) -(a1+a3+?+a9) =3 ,则实数 m 的值为( A.1 或-3 C.1 B.-1 或 3 D.-3 )
2 2 9

9

)

2 ? 2 1?6 2 7. (2014·黄冈模拟)设 a=? 则二项式?ax - ? 展开式中的第 4 项为( ?1(3x -2x)dx, x? ?

A.-1 280x C.240

3

B.-1 280 D.-240

8 .(2013·青岛一检)“n=5”是“ ?

? 2 x+ 1 ? * ?n 3 ? (n ∈ N ) 的展开式中含有常数项”的 ? x? ?

(

) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x- 1 ? ?5 9.(2013·浙江高考)设二项式? 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. ? x? ?
10. (2014·福州质检)在(1-x ) 的展开式中, 如果第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数相 等,则 r=________.
2 20

?3 2 ?15 11.(2013·广州二模)在? x- ? 的展开式中,x 的整数次幂的项的个数为________. x? ?
1 ? 1?n 12.若?x+ ? 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 2的系数为 x x ? ? ________. 第Ⅱ组:重点选做题 2 ?n ? * 1.已知? x- 2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. x ? ? (1)求展开式中各项系数的和;
3

(2)求展开式中含 x 2 的项;

2.(1)求证:1+2+2 +?+2
1 2 27

2

5n-1

(n∈N )能被 31 整除;

*

(2)求 S=C27+C27+?+C27除以 9 的余数.

答 第Ⅰ组:全员必做题 1.选 A Tk+1=C6x
6- 3k 2
k 6-k



?- 2 ?k ? ?= x? ?

C (-2) x

k 6

k

3k ,令 6- =3,即 k=2, 2
2 3 3

所以 T3=C6(-2) x =60x ,

2

所以 x 的系数为 A=60, 二项式系数为 B=C6=15, A 60 所以 = =4,选 A. B 15 2.选 D ∵Tr+1=Cn(x ) Cn(-1) x
r r r 2n-3r r 2 n-r 2

3

?-1?r= ? x? ? ?



∴Cn(-1) =15 且 2n-3r=0,∴n 可能是 6,选 D. 3.选 C 展开式的通项公式是 Tr+1=
- r 1 ?x?8-r ?1?2 r 6 C ? ? ·(-1) x 3 , 令 8-r- =0, 得 r=6, 所以展开式中的常数项为 C8×? ? =28× 2 2 3 4 ? ? ? ?
r 8

r

r

=7. 4.选 A 依据分段函数的解析式,得 f(f(x))=f(- x)=? ∴Tr+1=C6(-1) x
r r r-3

? 1 - x?6 ?, ? x ?

,则常数项为 C6(-1) =-20.
2 2

3

3

5.选 A 由二项式定理通项公式得,所求系数为 C8(- 2) =56. 6. 选 A 令 x=0, 得到 a0+a1+a2+?+a9=(2+m) , 令 x=-2, 得到 a0-a1+a2-a3+? -a9=m ,所以有(2+m) m =3 ,即 m +2m=3,解得 m=1 或-3. 1?3 ? 2 1?6 3 2 3? 7.选 A 由微积分基本定理知 a=4,?4x - ? 展开式中的第 4 项为 T3+1=C6(4x ) ?- ? x ? ? ? x? =-1 280x ,选 A. 8.选 A 因为?
n-r r ? 2 x+ 1 ? ?2 x+ 1 ? - n-r ?n(n∈N*)展开式的通项 Tr+1=Cr ? ?n 2 3 x , n2 3 ? 3 ? 的展开 ? ? x? x? ? ?
3 9 9 9 9 2 9

n-r r 15-5r 式中含有常数项时满足 - =0,当 n=5 时, =0,解得 r=3,此时含有常数项; 2 3 6

? 2 x+ 1 ? ?n 反之,当 n=10 时,r=6,也有常数项,但是不满足 n=5.故“n=5”是“? 3 ? (n∈ ? x? ?
N )的展开式中含有常数项”的充分不必要条件,选 A. 9.解析:Tr+1=(-1) C5x 答案:-10 2 4r-1 r+1 10.解析:由题意得,C20 =C20 故 4r-1=r+1 或 4r-1+r+1=20,即 r= 或 r=4. 3 因为 r 为整数,故 r=4. 答案:4
r r *

15-5 r 6

,令 15-5r=0,得 r=3,故常数项 A=(-1) C5=-10.

3 3

30- 5r 3 15-r? 2 ?r r r r r r 11.解析:展开式的通项为 Tr+1=(-1) C15·( x) ? ? =(-1) 2 C15x 6 ,由题意 5 ? x?

5 - r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴符合要求的项的个数为 2. 6 答案:2 12.解析:利用二项展开式的通项公式求解. 由题意知,Cn=Cn,∴n=8. ∴Tr+1=C8·x
r 8-r 2 6

?1?r r 8-2r ·? ? =C8·x , ?x?

当 8-2r=-2 时,r=5, 1 5 3 ∴ 2的系数为 C8=C8=56. x 答案:56 第Ⅱ组:重点选做题 1.解:由题意知,第五项系数为 Cn·(-2) , Cn 2 2 第三项的系数为 Cn·(-2) ,则有 2 Cn 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2) =1. (2)通项公式 Tk+1=C8·( x)
8-k 2
k 8-k 8 4 4 4

- -

4 2

10 2 = ,化简得 n -5n-24=0,解得 n=8 1

8-k ? 2 ?k k k ·?- 2? =C8·(-2) ·x -2k, 2 ? x?
3



3 -2k= ,则 k=1,故展开式中含 x 2 的项为 2
3

T2=-16x 2 . 2.解:(1)证明:∵1+2+2 +?+2 =2 -1=32 -1=(31+1) -1 =Cn×31 +Cn×31 =31(Cn×31 显然 Cn×31
0 0 n-1 0 n 1 n-1 5n n n 2 5n-1

2 -1 = 2-1

5n

+?+Cn ×31+Cn-1
n-2

n-1

n

+Cn×31
1

1

+?+Cn ),
n-1

n-1

n-1

+Cn×31

n-2

+?+Cn 为整数,

∴原式能被 31 整除. (2)S=C27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 =(9-1) -1=C9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 =9(C9×9 -C9×9 +?+C9)-2. ∵C9×9 -C9×9 +?+C9是整数,
0 8 1 7 8 0 8 1 7 8 9 0 9 1 8 8 9 1 2 27 27 9

∴S 被 9 除的余数为 7.


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