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高一数学空间中两直线的位置关系


2.1.2

平面有关知识(复习 )
判断下列命题对错: 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上 的所有点都在这个平面内。( ? ) 2、将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 (? )

3、四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么这四个点 必在同一个平面内。 (? )
4

、一条直线和一个点可以确定一个平面。( ? ) 5、如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三条直线可 以确定一个平面。 (?)

思考:在平面内,两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线

2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线

一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2

m
l

从图中可见,直线 l 与 m 既不相交,也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。

1、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。(既不相交也不平行的两条直线) 判断:
(1)
m l

β α

m

l

直线m和l是异面直线吗? (2)a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面? 内,则a与b异面

异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
?

b
a
b

?

b
?

?

a

2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m l P

2、平行
m

3、异面直线
m

l l

P

只有一个公共点

没有公共点

没有公共点 不同在任一平面

在同一平面

探究:
G

C

A
A D B H G(C) F E D F(B)

H

E

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?

二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b,b∥c, 则a∥c

c
a

a

b

c

α

例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线 AB与 C1D1 ,AD1与 BC1 是什么位置关系?为什么?
D1 A1 C1

B1

练习:在上例中,AA1与CC1,AC与A1C1

的位置是什么关系?
A

D B

C

例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证 EFGH是一个平行四边形。 A 证明: 解题思想: 连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 H 把所要解的立体几何问题转化为平面几何 1 E ∴EH ∥BD且EH = BD 的问题 2
1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

D

G

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

2、等角定理
A1 B1 D

D1

C1

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。
C

A

B

观察正方体ABCD ? A1B1C1D1 ?ADC与?A1D1C1,?ADC与?A1B1C1
的两边怎样的位置关系,大小如何?

两直线的夹角: 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90?

的角叫做两直线的夹角

三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示,a,b是两条异面直线,在空间中任选一点 O, 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成 的锐角θ(或直角),称为异面直线a,b所成的角。 b a′ ? O P a b′

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围:

(0?, 90?]

例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角:
D1

C1

1)AB与CC1; 3)A1B与D1B1。

2)A1 B1与AC;

A1

B1

1)AB与CC1所成的角 = 9 0°

D A B

C

2)A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
3)A1B与D1B1所成的角 = 6 0°

练习:1、求直线AD1与B1C所成的夹角; 2、与直线BB1垂直的棱有多少条?

D1

C1
B1

1)直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 2)与棱BB1垂直的棱有: 相交: A1B1、 AB、 B1C1、 BC、

A1

D A B

C

异面: A1D1、AD、D1C1、 DC、
A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A

D1 B1

C1

D B

C

填空: 平行 、 ________ 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 、 异面 三种。 ________ 平行 直线,也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________ 。 无数 条直线与已知直线垂直。 4 、过已知直线上一点可以作______ 无数 条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作______

判断对错:
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。(? ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 (? )

3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。

( ?)

4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定 与另一条直线垂直。 (? )

请完成课本P53 的练习

今天所讲的知识你学会了吗?

1、空间中两直线的位置关系 2、空间直线的平行关系及相关定理 如果你学会了 ,请完成下列作业! 3、异面直线的定义及两条异面直线所 成的角

如果你还没学会,请通过下列作业 把它学会!

作业:
1.P56 A组 3.4(1)(2)(3) B组 1 (做在书上) 2.P56 A组 6(做在作业本上)

思考题:
1、a与b是异面直线,且c∥a,则c与b一定( )。 (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是( )对。 (A)6 (B)3 (C)8 (D)12 3、一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定( ) 平面。 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个

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