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肥东圣泉中学16届高三最后一卷数学文


肥东圣泉中学 16 届高三最后一卷数学(文)试卷
时间:120 分钟 满分:150 分 命题:高三数学组 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={-1,0,1,2,3},B={x|-1<x<2},则 A∩B=( A.{0,1,2} B.{0,1}C.{1,2} D.{-1,0,1} 2+ai 2.设 a,b∈R,i 为虚数单位,若 =3+bi,则 a-b 为( 1+i A.3 B.2C.1 D.0 3.两个随机变量 x,y 的取值表为 x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ) ) )

^ 若 x,y 具有线性相关关系,且y=bx+2.6,则下列四个结论错误的是( A.x 与 y 是正相关 B.当 y 的估计值为 8.3 时,x=6 C.随机误差 e 的均值为 0D.样本点(3,4.8)的残差为 0.65 4.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3a8-2a7=4,则下列结论正确的是( A.S18=72 B.S19=76C.S20=80 D.S21=84

)

? ?log2(a-x),x<1 5.已知函数 f(x)=? x 若 f(-6)+f(log26)=9,则 a 的值为( ?2 ,x≥1 ?

)

A.4 B.3C.2 D.1 6. 某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为( 8 A. 3 16 C. 3

)

B.4 20 D. 3

7.圆心在直线 2x+y=0 上,且经过点(-1,-1)与(2,2) 的圆,与 x 轴交于 M,N 两点,则|MN|=( ) A.4 2 B.4 5 C.2 2 D.2 5 8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最 大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与我国古老的算法——“辗 转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入 a =6 102,b=2 016 时,输出的 a 为 ( ) A.6B.9C.12D.18 9.底面为矩形的四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四棱锥 PABCD 的体积的最大值 为 18 时,球 O 的表面积为( ) A.36π B.48π C.60π D.72π 10. 如图,AB 是半圆 O 的直径,AB=2,点 P 从 A 点沿半圆弧运动

至 B 点,设∠AOP=x,将动点 P 到 A,B 两点的距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x) 的图象大致为( )

x2 y2 11.双曲线 E 与椭圆 C: + =1 有相同焦点,且以 E 的一个焦点为圆心与双曲线 9 3 的渐近线相切的圆的面积为π ,则 E 的方程为(
2 2 2 2 2 2

)

x y x y x x y2 A. - =1 B. - =1C. -y2=1 D. - =1 3 3 4 2 5 2 4 1 1 - 12.设 f(x)=(e x-ex)( x - ),则不等式 f(x)<f(1+x)的解集为( 2 +1 2 1 1 1 A.(0,+∞) B.(-∞,- )C.(- ,+∞) D.(- ,0) 2 2 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.设向量 a=(1,-1),b=(0,t),若(2a+b)· a=2,则 t=________. x+y-5≤0 ? ? 14.若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0,若 z=2x+by(b>0)的最小值为 3,则 b= ? ?x-2y+1≤0 ________. 15.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=k1+k2·2n(k1,k2 为常数),且 a2,a3,a4-2 成等差 数列,则 an=________. 16. 曲线 y=x2+3x 在点(-1, -2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切, 则 a=________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内. 17.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 是 BC 边 上的中线. 1 (1)求证:AD= 2b2+2c2-a2; 2 (2)若 A=120°,AD= 19 sin B 3 , = ,求△ABC 的面积. 2 sin C 5 )

18.(本小题满分 12 分)某校为了解高一新生对文理科的选择, 对 1 000 名高一新生发放 文理科选择调查表,统计知,有 600 名学生选择理科,400 名学生选择文科.分别从选择理 科和文科的学生随机各抽取 20 名学生的数学成绩得如下累计表: 分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (1)从统计表分析,比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况,并绘 制理科数学成绩的频率分布直方图. 正 正 正 理科人数 文科人数

(2)根据你绘制的频率分布直方图,估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平 均分.

19.(本小题满分 12 分)如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=4,D1F= 8,过点 E,F,C 的平面 α 与长方体的面相交,交线围成一个四边形. (1)在图中画出这个四边形(不必说明画法和理由); (2)求平面α 将长方体分成的两部分体积之比.

x2 y2 20.(本小题满分 12 分)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,P 是椭圆上一点, a b 1 PF⊥x 轴,A,B 是 C 的长轴上的两个顶点,已知|PF|=1,kPA·kPB=- . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的中心 O 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,求三角形 PMN 面积的最大值,并 求此时 l 的方程.

21.(本小题满分 12 分)设 f(x)=-x2+ax+a2ln x(a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)是否存在 a>0,使 f(x)∈[e-1,e2]对于 x∈[1,e]时恒成立,若存在求出 a 的值,若 不存在说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)如图⊙O 经过△ABC 的点 B,C 与 AB 交于 E,与 AC 交于 F,且 AE=AF. (1)求证 EF∥BC; (2)过 E 作⊙O 的切线交 AC 于 D, 若∠B=60°, EB=EF=2, 求 ED 的长.

23.(本小题满分 10 分)直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ ≠0),其中 α∈[0,π ), 曲线 C1 的参数方程为?
? ?x=cos t

?y=1+sin t ?

(t 为参数),圆 C2 的普通方程为 x2+y2+2 3x=0.

(1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若 l 与 C1 交于点 A,l 与 C2 交于点 B,当|AB|=2 时,求△ABC2 的面积.

24.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x-a|+|x+b|,(a≥0,b≥0). (1)求 f(x)的最小值,并求取最小值时 x 的范围; (2)若 f(x)的最小值为 2,求证:f(x)≥ a+ b.

文科数学参考答案
1.B.2.A.3.D.4.B.5.C.6.D.7D.8.D.9.A.10.B.11.C.12.C. 13.2.14.1.15.2n 1.16.0


17.解:(1)证明:∵D 是 BC 的中点, a ∴BD=DC= . 2 a2 法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得 c2=AD2+ 4 -2AD· a cos∠ADB,① 2 a2 a b2=AD2+ -2AD· ·cos∠ADC,② 4 2 a2 ①+②得 c2+b2=2AD2+ , 2 即 4AD2=2b2+2c2-a2, 1 ∴AD= 2b2+2c2-a2. 2 法二:在△ABD 中,由余弦定理得 a2 a AD2=c2+ -2c· cos B 4 2 a2+c2-b2 a2 =c2+ -ac· 4 2ac 2b2+2c2-a2 = , 4 1 ∴AD= 2b2+2c2-a2. 2 1 sin B 3 (2)∵A=120°,AD= 19, = , 2 sin C 5 由余弦定理和正弦定理与(1)可得 a2=b2+c2+bc,① 2b2+2c2-a2=19,② b 3 = ,③ c 5 联立①②③解得 b=3,c=5,a=7, 1 1 15 3 ∴△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×3×5×sin 120°= . 2 2 4 15 即△ABC 的面积为 3. 4 18.解:(1)从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平 均成绩,反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响,频率分布直方图如下.

(2)从频率分布直方图知,数学成绩有 50%小于或等于 80 分,50%大于或等于 80 分, 所以中位数为 80 分. 平均分为(55×0.005+65×0.015+75×0.030+85×0.030+95×0.020)×10=79.5, 即估计选择理科的学生的平均分为 79.5 分. 19.解:(1)交线围成的四边形 EFCG(如图所示). (2)∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 平面 A1B1C1D1∩α =EF, 平面 ABCD∩α=GC, ∴EF∥GC,同理 EG∥FC. ∴四边形 EFCG 为平行四边形, 过 E 作 EM⊥D1F,垂足为 M, ∴EM=BC=10, ∵A1E=4,D1F=8,∴MF=4. ∴GC=EF= EM2+MF2= 102+42= 116, ∴GB= GC2-BC2= 116-100=4(事实上 Rt△EFM≌Rt△CGB). 过 C1 作 C1H∥FE 交 EB1 于 H,连接 GH,则四边形 EHC1F 为平行四边形,由题意知, B1H=EB1-EH=12-8=4=GB. ∴平面 α 将长方体分成的右边部分由三棱柱 EHGFC1C 与三棱柱 HB1C1?GBC 两部分组 成. 其体积为 V2=V 三棱柱 EHGFC1C+V 三棱柱 HB1C1?GBC =S△FC1C·B1C1+S△GBC·BB1 1 1 = ×8×8×10+ ×4×10×8=480, 2 2 ∴平面 α 将长方体分成的左边部分的体积 V1=V 长方体-V2=16×10×8-480=800. V1 800 5 ∴ = = , V2 480 3 53 ∴其体积比为 ( 也可以). 35 20.解:(1)可设 P 的坐标为(c,m), c2 m2 则 2+ 2 =1, a b b2 ∴m=± , a ∵|PF|=1 ,

即|m|=1,∴b2=a,① 又 A,B 的坐标分别为(-a,0),(a,0), 1 由 kPA·kPB=- 得 2 b2 b2 a a 1 1 · =- ,即 b2= a2,② 2 2 c+a c-a 由①②解得 a=2,b= 2, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 1 (2)当 l 与 y 轴重合时(即斜率不存在), 由(1)知点 P 的坐标为 P( 2, 1), 此时 S△PMN= × 2 2 2× 2=2. x2 k2x2 2 当 l 不与 y 轴重合时, 设其方程为 y=kx, 代入 C 的方程得 + =1, 即 x=± , 4 2 1+2k2 2k ∴y=± , 1+2k2 -2 -2k 2 2k 即 M( ), 2, 2),N( 2, 1+2k 1+2k 1+2k 1+2k2 ∴|MN|= =4

? 4 ?2+? 4k ?2 ? 1+2k2? ? 1+2k2? ? ? ? ?

1+k2 , 1+2k2

| 2k-1| 1 1 点 P( 2,1)到 l:kx-y=0 的距离 d= 2 ,∴S△PMN= |MN|d= · 2 2 k +1 1+k2 | 2k-1| · 2 1+2k2 k +1 2k2+1-2 2k 1+2k2

4

| 2k-1| =2· =2 1+2k2 =2 2 2k 1- , 1+2k2

2 2k 2 2k 当 k>0 时, ≤ =1, 1+2k2 2 2k 此时 S≥0 显然成立, 当 k=0 时,S=2. -2 2k 1+2k2 当 k<0 时, ≤ =1, 1+2k2 1+2k2 当且仅当 2k2=1,即 k=- 2 时,取等号. 2

此时 S≤2 2,综上所述 0≤S≤2 2.

即当 k=-

2 2 时,△PMN 的面积的最大值为 2 2,此时 l 的方程为 y=- x. 2 2

a2 21.解:(1)f(x)=-x2+ax+a2ln x 的定义域为{x|x>0},f′(x)=-2x+a+ x a -2(x+ )(x-a) 2 = . x a ①当 a<0 时,由 f′(x)<0 得 x>- , 2 a 由 f′(x)>0 得 0<x<- . 2 a 此时 f(x)在(0,- )上单调递增, 2 a 在(- ,+∞)上单调递减; 2 ②当 a>0 时,由 f′(x)<0 得 x>a, 由 f′(x)>0 得 0<x<a, 此时 f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减. (2)假设存在满足条件的实数 a, ∵x∈[1,e]时,f(x)∈[e-1,e2], ∴f(1)=-1+a≥e-1,即 a≥e,① 由(1)知 f(x)在(0,a)上单调递增, ∴f(x)在[1,e]上单调递增, ∴f(e)=-e2+ae+e2≤e2,即 a≤e,② 由①②可得 a=e, 故存在 a=e,满足条件. 22.解:(1)证明:∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE. 又 B,C,F,E 四点共圆, ∴∠ABC=∠AFE, ∴∠AEF=∠ACB,又∠AEF=∠AFE,∴EF∥BC. (2)由(1)与∠B=60°知△ABC 为正三角形, 又 EB=EF=2, ∴AF=FC=2, 设 DE=x,DF=y,则 AD=2-y, 在△AED 中,由余弦定理得 DE2=AE2+AD2-2AD· AEcos A. 1 即 x2=(2-y)2+22-2(2-y)· 2× , 2 ∴x2-y2=4-2y,① 由切割线定理得 DE2=DF· DC, 2 即 x =y(y+2), ∴x2-y2=2y,② 由①②联解得 y=1,x= 3,∴ED= 3.

?x=cos t ? 23.解:(1)由 C1:? (t 为参数)得 ? ?y=1+sin t

x2+(y-1)2=1, 即 x2+y2-2y=0, ∴ρ2-2ρsinθ=0,即 ρ=2sin θ为 C1 的极坐标方程, 由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 得 ρ2+2 3ρcos θ=0,即 ρ=-2 3cos θ为 C2 的极坐标方程. (2)由题意得 A,B 的极坐标分别为 A(2sin α,α),B(-2 3cosα,α). ∴|AB|=|2sin α+2 3cos α| π =4|sin(α+ )|,α∈[0,π), 3 由|AB|=2 得|sin(α+ π 5π ∴α= 或 α= . 2 6 π π 5π 当 α= 时,B 点极坐标(0, )与 ρ≠0 矛盾,∴α= , 2 2 6 5π 此时 l 的方程为 y=x· tan (x<0), 6 即 3x+3y=0,由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 知圆心 C2 的直角坐标为(- 3,0), | 3×(- 3)| 3 ∴C2 到 l 的距离 d= = , 2 2 2 ( 3) +3 1 ∴△ABC2 的面积为 S= |AB|·d 2 1 3 3 = ×2× = . 2 2 2 即△ABC2 的面积为 3 . 2

π
3

1 )|= , 2

24.解:(1)由|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)| =|a+b|得, 当且仅当(x-a)(x+b)≤0,即-b≤x≤a 时,f(x)取得最小值, ∴当 x∈[-b,a]时,f(x)min=|a+b|=a+b. (2)证明:由(1)知 a+b=2, ( a+ b)2=a+b+2 ab≤2(a+b)=4, ∴ a+ b≤2, ∴f(x)≥a+b=2≥ a+ b, 即 f(x)≥ a+ b.


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