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广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学文试题


佛山市普通高中 2014 届高三教学质量检测(一) 数学文试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式:① 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ② 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知函数 y ? ln x 的定义域 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? A. ? 0, ?? ? B. ? 0,1? C. ? 0,1? D. ? 0,1?

?

?

2.已知 a, b ? R , i 为虚数单位,若 a ? 1 ? bi ? A. 2 B. 3

2i ,则实数 a ? b ? 1? i
C. 4 D. 5

3.设函数 y ? 2sin 2 x ? 1 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则 A.T ? ? , A ? 1 B. T ? 2? , A ? 1 C.T ? ? , A ? 2 D.T ? 2? , A ? 2

4.已知 a ? 1 , b ? (0, 2) ,且 a? b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的大小为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

5.给定命题 p :若 x ? R ,则 x ? 命题中,假命题的是 A. p ? q B.

1 ? 2 ; 命题 q :若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 .则下列各 x
C. ? ? p ? ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ?

? ?p ? ? q

6. 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图是中心角为 60? 的扇形,则该几何体的体积为 A.

? 3

B.

2? 3

C. ?

D. 2?

图1

7.若函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f (1) = -2 f (1.375) = -0.260

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054

那么方程 x3 ? x2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5

8.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为 A. 22 B. 16 C. 15 D. 11

9.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的 四个顶点,则该椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

10.将 n 2 个正整数 1 、 2 、 3 、…、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数

a a 、 b ( a ? b )的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表 b
的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征值”最大值为

3 A. 2

4 B. 3

图2

C. 2

D. 3

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(9~13 题) 11.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层中每个 个体被抽到的概率都为 12.已知函数 f ? x ? ? ?

1 ,则总体中的个体数为 9

.

? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

.若 f ? a ? ? 3 ,则 a 的取值范围是

.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.如果实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若直线 y ? k ( x ? 1) 将可行域分成面积相等的两部分,则实 ?x ? 1 ?
数 k 的值为______. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 在 极 坐 标 系 中 , 设 曲 线 C1 : ? cos ? ? 1 与
C

C2 : ? ? 4cos ? 的交点分别为 A 、 B ,则 AB ?

.
B A

O

15.(几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线

D

ABC ,已知 AD ? 3 , AC ? 3 3 ,圆 O 的半径为 5 ,则圆心 O 到 AC 的距离为
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ) 求 cos B 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? B ? ,求 f ?



3 b,B?C. 2

?? ? ? 的值. ?6?

17.(本题满分 12 分) 佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有 10 名同学,现测得排球队 10 人的身高(单位: cm )分 别是: 162 、170 、171 、182 、163 、158 、179 、168 、183 、168 ,篮球队 10 人的身高(单位: cm ) 分别是: 170 、 159 、 162 、 173 、 181 、 165 、 176 、 168 、 178 、 179 . (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需 计算); ( Ⅱ ) 现从两队所有身高超过 178 cm 的同学中随机抽取三名同 学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少? 排球队 篮球队

图4

18.(本题满分 14 分) 如 图 5 , 矩 形 ABCD 中 , AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分 别 为 CD 、 AB 边 上 的 点 , 且

DE ? 3 , BF ? 4 , 将 ?BCE 沿 BE 折 起 至 ?PBE 位 置 ( 如 图 6 所 示 ), 连 结 AP 、 PF , 其 中
PF ? 2 5 .
(Ⅰ) 求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ) 在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ // 平面 PBE ?若存在,求出点 Q 的位置;若不存在,请 说明理由. (Ⅲ) 求点 A 到平面 PBE 的距离. D E

. .F

C D A
图6

P C F B

E

A
图5

B

19.(本题满分 14 分) 如图 7 ,椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? 、 F2 ?1, 0 ? ,且

y

F2 到直线 x ? 3 y ? 9 ? 0 的距离等于椭圆的短轴长.
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F1 、 F2 , Q 是 椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P 的切线,切点为 M ,当 F1 O

.

. F

2

x

QM 的最大值为

3 2 时,求 t 的值. 2
图7

20.(本题满分 14 分) 数列 ?an ? 、?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、bn ?1 成等比数列, n ? 1,2,3,... . (Ⅰ)求 a2 、 b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)记

1 1 1 1 3 1 1 1 ? . ,证明:对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? ? ? ? cn an an ?1 c1 c2 c3 cn 8

21.(本题满分 14 分)

1 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x . 2
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的极值点.

2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 11. 180 16.(本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………………………………2 分 又a ?

1
C

2
B 12. (??,1]

3
A

4
C 13. ? 3

5
D

6
D

7
C

8
B 15. 2

9
D

10
A

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 14. 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3 b, 2

3 2 b a 2 ? c2 ? b2 3 4 所以 cos B ? ,…………………………………………………………5 分 ? ? 2 2ac 4 3b
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

13 , ……………………………………………7 分 4




? ?? ? ?? ? f ? ? ? s ? ? B? ? s 3 ?6? ?3 ?
?

B?

?
3

B ………………………………………………10 分 i
……………………………………………12 分

3 3 1 13 3 ? 13 ? ? ? ? . 2 4 2 4 8

17.(本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……………………………………5 分 (Ⅱ) 两队所有身高超过 178 cm 的同学恰有 5 人,其中 3 人来自 排球队,记为 a, b, c , 2 人来自篮球队,记为 A, B ,则从 5 人中抽 取 3 名同学的基本事件为: 排球队 篮球队

abc , abA , abB , acA , acB , aAB , bcA , bcB , bAB , cAB 共 10 个;……………………………9 分
其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:

1 9 1 0 17 0 3 6 8 9
8 8 3 2 16 8 15

3 2 18

abA , abB , acA , acB , bcA , bcB 共 6 个, ………………11 分 6 3 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是 ? .………………………………12 分 10 5
18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)连结 EF ,由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 , 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,
2 2 2

2 5 8 9

P Q

所以 PF ? BF ………………………………2 分 在图 1 中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,
2

D A

E F B

C

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以 PF ? EF ………………………………4 分
2 2 2

又 BF ? EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED ,所以 PF ? 平面 ABED .………6 分 (Ⅱ) 当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, FQ // 平面 PBE .证明如下:

2 2 AP , AF ? AB ,所以 FQ // BP ………………………………………………8 分 3 3 又 FQ ? 平面 PBE , PB ? 平面 PBE ,所以 FQ // 平面 PBE .………………………………10 分
因为 AQ ? (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,所以 PF 为三棱锥 P ? ABE 的高. ……………………11 分 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA? PBE ? VP ? ABE , 即 ? S?PBE h ? 所以 h ? …………………………12 分

1 3

1 1 1 ? S?ABE ? PF ,又 S?PBE ? ? 6 ? 9 ? 27 , S?ABE ? ?12 ? 6 ? 36 , 3 2 2

S ?ABE ? PF 36 ? 2 5 8 5 8 5 ? ? , 即点 A 到平面 PBE 的距离为 .……………14 分 S ?PBE 27 3 3
依 题 意 , 2b ?

19.(本题满分 14 分)

x2 y 2 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), a b b ? 2 ………2 分
2 2 2

1? 9 2

? 4 ,所以

x2 y2 又 c ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 5 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . …………………………5 分 5 4 x2 y2 (Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中 ? ? 1 ),……………………………………………………………6 分 5 4
圆 P 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , ……………………………………………………………7 分
2 2 2

因为 PM ? QM , 所 以

Q

?

2

2

1 ? x2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 ?
2

1 ?y 4 4

?

2

2

…………………… 9分 M

?

当 ?4t ? ?2 即 t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值, 2
3 2 3 1 ,解得 t ? ? (舍去). ………………………………………11 分 2 8 2

max

? 4t ? 3 ?

当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, 2
3 2 2 1 1 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .……………………13 分 4 2 2 8

max

? 4 ? 4t 2 ?

综上,当 t ?

2 3 2 时, QM 的最大值为 .……………………………………………………14 分 4 2

20.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 . …………………………………………1 分

2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

2 a2 ? 36 . b1

…………………………………………………………2 分 …………………………3 分

(Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①.
2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bn bn ?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn …③.

……………………4 分

……………………………………………………5 分

将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,因此数列 列,
2

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数
n

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . ……………………………………6 分 则 an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . ………………………………………………7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .……………10 分 (Ⅲ)方法一:

1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ,所以 an 4n ? 4n 4 ? n n ? 1 ?

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? .……………………12 分 cn an an ?1 4 ? n n ? 2 ?
于是

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ?? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??

1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ?? . 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8
方法二:

………………………………………………………14 分

1 1 1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .…………12 分 cn an an ?1 4n ? n ? 1? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?

于是

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ?? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??

1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ?? . 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8
21.(本题满分 14 分)

……………………………………………………14 分

【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .…………………………………………………………………1 分

1 (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 . 2
因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

1 5 5 ,所以 f ? ?1? ? ,所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 2x 2 2

5x ? 2 y ? 1 ? 0 .……3 分

1 (Ⅱ)由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . 2 1 1 4 x 2 ? 2ax ? 1 ⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? , ? 2x 2x 2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ,……………………5 分 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4

且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为

x?

?a ? a 2 ? 4 .……6 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 ⑵ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ?
① 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ?

4 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 2x

x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? ? ?a (舍去). 4 4 ?a ? a 2 ? 4 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; ? ?a ,即 a ? ? 4 2 ?a ? a 2 ? 4 2 ? ?a ,即 ? ? a ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, 4 2

若 若

f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增. ……………9 分
② 当 0 ? x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 . ? 2x 2x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a2 ? 16 , 若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减; 若? ? 0, 即 a ? ?2 时, 则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , 且 0 ? x3 ? x4 ? ?a , x4 ? 4 4

当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ? a ? 上单调递减. ……12 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 4

x?

?a ? a 2 ? 4 ; 4
2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

当 ?2 ? a ? ? 当a ??

?a ? a 2 ? 4 2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? .………………………………………14 分 4 2


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