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第十二讲 数列大题讲解


第十二讲 数列大题讲解
一 【考点提示】
1.数列的通项和前 n 项和公式: (1)_____________________________________________________________________ ______________________________________________ (2)_____________________________________________________________________ ______________________________________________ 2.数列与方程、函数、不等式的交汇问题。着重考查放缩法、综合法与分析法的应 用: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________. 3.数列与平面向量的交汇等问题: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________.

二【典例分析】
1.等差、等比数列的基本运算 例 1(2012 山东高考)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm,求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

例2

(2012· 重庆高考)已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值.

2

2.等差、等比数列的判定与证明 例 3(2012· 陕西高考)设{an}是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 a5,a3, a4 成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意 k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1 成等差数列.

例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N*),且 b1=2,求数列{bn}的通项公 式.

例5

(2012· 广东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足

Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

3.数列的有关范围问题 例 6 已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn, 等比数列{bn}的各项均为正数, 公比是 q, 且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求 an 与 bn; an (2)设 cn=3bn-λ· 3 ,若数列{cn}是递增数列,求 λ 的取值范围. 2

4

例7

(2012 年广州两校联考)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求证:{an-3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式; (3)设 3nbn=n(3n-an),且|b1|+|b2|+…+|bn|<m 对于 n∈N*恒成立,求 m 的取值

范围.

例 8 (2012· 日照一模)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,3 是 a1, a a7 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;
? 1 ? ? ? 1 (2)设 Tn 为数列?a a ?的前 n 项和,若 Tn≤λ an+1 对一切 n∈N*恒成立,求实数 λ +1? ? ? n n ?

的最大值.

4.数列求和问题

例9

(2012· 天津高考)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且

a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明 Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).

f?x? 例 10 已知 x, 2 , 3(x≥0)成等差数列.又数列{an}(an>0)中,a1=3,此数列的前 n 项和为 Sn,对于所有大于 1 的正整数 n 都有 Sn=f(Sn-1). (1)求数列{an}的第 n+1 项; (2)若 bn是 1 1 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an+1 an

例 11 (2012· 湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
6

5.数列与不等式 例 12 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn, (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
2 (2)设 cn=an·n,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. b

nban-1 例 13 (2011 广东)设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= (n≥2). an-1+n-1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn+1+1.

例 14

(2012 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1+1,

n∈N*,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 3 (3)证明:对一切正整数 n,有a +a +…+a <2.
1 2 n

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