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2013届徐汇区高三一模数学文


2012 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (文科)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.方程组 ?

?2 x ? y ? 1 的增广矩阵是__________________. ? x ? 3 y ? ?2
? 1? ? 2?

2. 已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 ? 8, ? ,则此幂函数的解析式是 f ( x) ? _____________. 3.若 cos ? ?

4 ,则 cos 2? ? ___________. 5

4. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线 点重合,则实数 p 的值是 .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦 6 10

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 部分图像如右图所示,则 f ( x) ? _________.

?
2

)的

6.若 n ? (1, 2) 是直线 l 的一个方向向量,则直线 l 的倾斜角的大小为_____ ____________. (结果用反三角函数值表示) 7.不等式

?

2 x ? 1  1  2   2x

≥ 0 的解为

.

8.高三(1)班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中任选 3 人参加上海市某社区敬老服务工作,则选出的人中至少有一名女生 的概率是 .(结果用最简分数表示)

9.如图所示的程序框图,输出 b 的结果是_________.

?1 ? 10.数列 ?an ? 的通项公式 an ? ? 1 ? n(n ? 1) ?
项和为 Sn ,则 lim S n =_____________.
n ??

, n ?1 ,n?2 (n ? N * ) ,前 n

11. 边长为 1 的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点, E 在线段 AB 上运动,则 EC ? EM 的 取值范围是____________.

??? ???? ? ?

12.函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a , b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是______________.
13.若平面向量 ai 满足 ai ? 1 (i ? 1, 2,3, 4) 且 ai ? ai ?1 ? 0 (i ? 1,2,3) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为 .

??

??

?? ??? ?

?? ?? ?? ?? ? ? ?

14.已知线段 A0 A10 的长度为 10 ,点 A1 , A2 ,?, A9 依次将线段 A0 A10 十等分.在 A0 处标 0 , 往右数 1 点标 1 ,再往右数 2 点标 2 ,再往右数 3 点标 3 ……(如图),遇到最右端或最左端返 回,按照 A0 ? A10 ? A0 ? A10 ? ? 的方向顺序,不断标下去, 那么标到 10 这个数时,所在点上的最小数为_____________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则 一律得零分.
15.下列排列数中,等于 (n ? 5)(n ? 6)?(n ?12) (n ? 13, n ? N * ) 的是 (A) P7 12 n? (B) P7 5 n? (C) P8?5 n (D) P8?12 n
0





16. ?ABC 中, cos A ? sin A ? cos B ? sin B ” “ ?C ? 90 ” 在 “ 是 的 (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要非充分条件 (D) 既不充分也不必要条件





ax 2 ? 1 17 . 若 函 数 f ( x) ? 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 增 , 那 么 实 数 a 的 取 值 范 围 是 x
( ) (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0

18.对于直角坐标平面 xOy 内的点 A( x, y ) (不是原点) A 的“对偶点” B 是指: 满足 ,

OA OB ? 1 且 在 射 线 OA 上 的 那 个 点 . 则 圆 心 在 原 点 的 圆 的 对 偶 图 形
( ) (B) 一定为椭圆 (D) 既不是圆,也不是椭圆

(A) 一定为圆 (C) 可能为圆,也可能为椭圆

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸

相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 求 a 的取值范围.

x ?3 ? 0} , 实数 a 使得集合 B ? ?x | ( x ? a)( x ? 5) ? 0? 满足 A ? B , x?4

20.(本题满分 14分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f (x) = log 2

x ?1 . x ?1

(1)判断函数 f (x) 的奇偶性,并证明;
?1 (2)求 f (x) 的反函数 f ( x) , 并求使得函数 g ( x) ? f ?1 ( x) ? log2 k 有零点的实数 k 的取

值范围.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某种型号汽车的四个轮胎半径相同,均为 R ? 40cm ,该车的底盘与轮胎中心在同一水平面 上. 该车的涉水安全要求是:水面不能超过它的底盘高度. 如图所示:某处有一“坑形”地 ......
0 面,其中坑 ABC 形成顶角为 120 的等腰三角形,且 AB ? BC ? 60cm ,如果地面上有

h(cm) ( h ? 40 )高的积水(此时坑内全是水,其它因素忽略不计).
(1) 当轮胎与 AB 、 BC 同时接触时,求证:此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到 水面的距离)为 d ? 10 ?

80 3 ?h ; 3

(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时,符合涉水安全要求),求 h 的最 ......

大值. (精确到 1cm).

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1, 0) ,点 (?1, ) 在椭圆 C 上,点 T 2 a b 2

??? ? 满足 OT ?

a2 a 2 ? b2

??? ? ? OF (其中 O 为坐标原点), 过点 F 作一斜率为 k (k ? 0) 的直线交椭

圆于 P 、 Q 两点(其中 P 点在 x 轴上方, Q 点在 x 轴下方) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 k ? 1 ,求 ?PQT 的面积; (3)设点 P? 为点 P 关于 x 轴的对称点,判断 P?Q 与 QT 的位置关系,并说明理由.

???? ?

??? ?

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 8 分. 对于数列 {xn } ,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列 称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为 a1 ,公差 为 d 的无穷等差数列 {an } 的子数列问题,为此,他取了其中第一项 a1 ,第三项 a3 和第五项

a5 .
(1) 若 a1 , a3 , a5 成等比数列,求 d 的值; (2) 在 a1 ? 1 , d ? 3 的无穷等差数列 {an } 中,是否存在无穷子数列 {bn } ,使得数列 {bn } 为 等比数列?若存在,请给出数列 {bn } 的通项公式并证明;若不存在,说 明理由; (3) 他在研究过程中猜想了一个命题: “对于首项为正整数 a ,公比为正整数 q ( q ? 1 )的无 穷等比数 列 {cn } ,总可以找到一个子数列 {dn } ,使得 {dn } 构成等差数列”. 于是,他在数

列 {cn } 中任取三项 ck , cm , cn (k ? m ? n) ,由 ck ? cn 与 2cm 的大小关系去判断该命题是否正 确. 他将得到什么结论?

上海市徐汇区 2013 届高三一模数学试题(文科) 参考答案
一、填空题: (每题 4 分)

?1 1 ? 2      ? 1. ? ? ?1  3 -2 ?
5. 2sin 8.

2. x

?

1 3

3.

7 25

4. 8

?
4

x

6. arctan2 9. 1

7. x ? 0 10.

31 35

3 2
13. 2 2 14. 5

11. ? , ? ?2 2?

?1 3?

12. 0<m<2 3 -2

二、选择题: (每题 5 分) 15. C 16. B 17.A

18. A

三、解答题 19. 解:A=(3,4)………………………………………………………………………………..2 分 a ? 5 时,B= (a, ??) ? (??,5) ,满足 A ? B;…………………………………..6 分 a<5 时,B= (5, ??) ? (??, a) ,由 A ? B,得 a ? 4,故 4 ? a<5,……………..10 分 综上,得实数 a 的取值范围为 a ? 4. ……………………………………………..12 分

20. 解:(1)f(x)的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) ……………………………………………..2 分 f(-x)=log2

?x ?1 x ?1 =log2 =-f(x), ?x ?1 x ?1
………………………………………..6 分

所以,f(x)为奇函数. (2)由 y= log 2

x ?1 2y ?1 ,得 x= y , x ?1 2 ?1

所以,f -1(x)=

2x ? 1 ,x ? 0. 2x ? 1
?1

……………………………………..9 分

因为函数 g ( x) ? f

( x) ? log2 k 有零点,
?1

所以, log 2 k 应在 f

( x) 的值域内.

所以,log2k=

2 2x ? 1 =1+ x ? (??, ?1) ? (1, ??) , x 2 ?1 2 ?1

………………….13 分

从而,k ? (2, ??) ? (0, ) .

1 2

……………………………………………..14 分

21. 解:(1) 当轮胎与 AB、BC 同时接触时,设轮胎与 AB 边的切点为 T,轮胎中心为 O, 则|OT|=40,由∠ABC=1200,知∠OBT=600, …………………………………..2 分 故|OB|= 分 所以,从 B 点到轮胎最上部的距离为

2 ? 40 . 3

.…………………………………………………………………..4

2 ? 40 +40, …………………………..6 分 3

此轮胎露在水面外的高度为 d= 分 (2)只要 d ? 40, 即 分

2 ? 40 80 0 ? 10 ? h ,得证. …..8 +40-( 60 ? cos 60 +h )= 3 3

…………………………………………………………..12 分 …..14

80 ? 10 ? h ? 40,解得 h ? 16cm.,所以 h 的最大值为 16cm. 3

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 22.解:(1)由 ? 1 ,得 ……………………………………………………………..2 分 1 ? 2 ?1 ? 2 ? a 2b
a2=2,b2=1, 所以,椭圆方程为 分

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………………..4 2

?x ? y ?1 ? (2)设 PQ:y=x-1, ? x 2 由 得 3y2+2y-1=0, 2 ? ? y ?1 ?2
解得: P(

…………………..6 分

4 1 , ),Q(0,-1),由条件可知点 T (2, 0) , 3 3 1 2 ….. ……………………………………10 分 S?PQT = |FT||y1-y2|= . 2 3 ???? ??? ? ? (3) 判断:P?Q 与 QT 共线. ….. …….. …….. ………………………………………11

分 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 则

P?

(x1,-y1)



???? ? P?Q

=(x2-x1,y2+y1)



??? ? TQ =(x2-2,y2),

……………………………..12 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ………………………..13 2 ? ? y ?1 ?2
分 (x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)=(x2-x1)k(x2-1)-(x2-2)(kx1-k+kx2-k) =3k(x1+x2)-2kx1x2-4k=3k

[

4k 2 2k 2 ? 2 -2k -4k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
…………………………..15

=k( 分

12k 2 4k 2 ? 4 ? ? 4 )=0. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以,P?Q 与 QT 共线. 分

???? ?

??? ?

………………………………………………………..16

23. 解:(1)由 a32=a1a5, ………………………………………………………………………..2 分 即(a1+2d)2=a1(a1+4d),得 d=0. ……………………………………………..4 分 (2) 解:an=1+3(n-1),如 bn=4n-1 便为符合条件的一个子数列. 分 因 ……………………..7 为

1 2 n?1 bn=4n-1=(1+3)n-1=1+ Cn?1 3+ Cn?1 32+…+ Cn?1 3n-1=1+3M, …………………..9 分

这里 M= Cn?1 + Cn?1 3+…+ Cn?1 3n-2 为正整数, 所 以 ,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1] 是 {an} 中 的 第 证. ……………….11 分 (注:bn 的通项公式不唯一) (3) 题. 由已知可得 ck ? aq
k ?1

1

2

n?1

M+1

项 , 得



命 题 为 假 …………………………………………………….12 分



, cm ? aqm?1, cn ? aqn?1 ,

因此, ck ? cn ? aqk ?1 ? aqn?1 ,又 2cm ? 2aqm?1 , 故 (ck ? cn ) ? 2cm ? aqk ?1 ? aqn?1 ? 2aqm?1 ? aqk ?1 (1 ? qn?k ? 2qm?k ) , 分 由于 k , m, n 是正整数,且 n ? m ,则 n ? m ? 1, n ? k ? m ? k ? 1 , 又 q 是满足 q ? 1 的正整数,则 q ? 2 , …………..15

1 ? qn?k ? 2qm?k ? 1 ? qm?k ?1 ? 2qm?k ? 1 ? qqm?k ? 2qm?k ? 1 ? 2qm?k ? 2qm?k ? 1 ? 0 ,
所以, ck ? cn > 2cm ,从而原命题为假命题. 分 …………………………………………..18


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