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16东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--角的概念及任意角三角函数B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 016A

角的概念及任意角三角函数 B
一、知识梳理: (阅读教材必修 4 第 2 页—第 17 页) (一)、角的概念的推广 1、角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形。 2、正角、负角和零角:按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角;按顺时针方向形成 的角叫负角;当射线没有做任何旋转时,形成的有叫做零角。 3、象限角:角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边 落在第几象限就把这个角称为第几象限角,角 的终边落在坐标轴上,就认为这个角 不属于任何一个象限,这是也把这样的角叫做轴线角。 4、终边相同的角:所在与α终边相同的角,连同α在内的角可以构成一个集合 5、终边落在 x 轴上的角的集合: ; 终边浇在 y 轴上的角的集合: 。 (二) 、弧度制 1、角的度量:角度制与弧度制是角的两种不同的度量角的制度。 角度制:把等于周角的
1 360

称为 1 度角;记作10 。

弧度制:把长度等于半经的弧所对的圆心角叫做不弧度角;记作 1rad 或 1。 2、正角的弧度数是一个正数,负角的弧度是一个负数,零角的弧度数是 0。 3、角度制与弧度制之间 的换算关系: 1800 =π rad; 10 =
π 180

rad ;1rad=(

180 π

) ≈ 570 18’

0

4、弧度制下的弧公式与扇形的面积公式: 弧长公式: l=|α|?r 扇形的面积公式: S=2lr=2 |α| ? r2 , 其中 l 为圆心角α所对的弧长,
1 1

α是圆心角的弧度数,r 为圆的半经。/ (三)任意角的三角函数: 1、设任意角α的终边上任意一点 p(除原点外)的坐标为(x,y) ,它到原点的距离 为 r= x 2 + y 2 。 (1) 、比值r 叫做α的正弦,记作 sinα,即 sinα= r (α ∈ R) ; (2) 、比值 叫做α的余弦,记作 cosα,即 sinα= (α ∈ R) ;
r r X X y y

(3) 、比值X 叫做α的正切,记作 tanα,即 sinα=X (α ≠ kπ + 2 2、单位圆中的三角函数线如图:

y

y

π

,,k ∈ Z) ;

1

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Sinα=MP ,cosα=OM

,tanα=AT

Y T P ? O M A X

二、题型探究: 探究一:终边相同的角的集合的表示 例 1: 如图: α、β 分别为终边落在 OM、 ON, 位置上的两个角, 且α=300 , β = 3000 。 (1) 、求终边落在圆阴影部分(含边界)时所有角的集合; (2) 、求终边落在圆阴影部分(含边界) ,且满足条件{x|00 ≤ x ≤ 3600 }的所有角的 集合;
Y M

? O ? N X

探究二:象限角的意义: 例 2:若α是第二象限角,试确定 2α,2 的终边所在的位置
α

探究三:扇形 的面积: 例 3:1 弧度的圆心角所对的弦长为 2,求此圆心角所夹扇形 的面积。

2

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探究四:任意角的三角函数的定义: 例 4:设 0 ? ? ? 2? ,如果 sin ? ? 0 且 cos 2? ? 0 ,则 ? 的取值范围是





( A) ? ? ? ?

3? 2

(B)

3? ? ? ? 2? 2

(C )

?

4

?? ?

3? 4

( D)

5? 7? ?? ? 4 4

例 5:若 sin ? ? tan ? ? cot ? ( ?

?
2

?? ?

?
2

) ,则 ? ?(



( A) ( ?

?

,? ) 2 4

?

( B ) (?

? , 0) 4

? (C ) (0, ) 4

( D) (

? ? , ) 4 2

三、方法提升: 1、 要确定α所在的象限,只要把α表示为α=2kπ+α 0 ,0≤ α ≤2π) ,就可以由α 0 所在的 象限判定α所在的象限,则已知角的范围求未知角的范围是,通常要用不等式的 性质来解决,切忌不要扩大角的范围。 2、 弧长公式,面积公式三角函数的定义及符号记忆要求准确无误。

四、反思感悟:

五、课时作业 一、选择题: 1、设 ? 角属于第二象限,且 cos A. 第一象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2

) D. 第四象限

B. 第二象限

C. 第三象限

2、在下列各组角中,终边不相同的一组是( ) A 60 ? 与 ? 300 ? B 230 ? 与 950 ? C 1050 ? 与 ? 300 ?
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D ? 1000 ? 与 80 ?
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3、下列各命题中,真命题是(



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A 第一象限角是锐角
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B 直角不是任何象限角
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C 第二象限角比第一象限角大
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D 三角形的内角一定是第一或第二象限角
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4、如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 5、在复平面内,复数 z=sin2+icos2 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、已知 cosα ?tanα < 0,那么α是 A. 第一或第二象限 C. 第三或第四象限 二、填空题 7、若角α的终边经边点 p(1,-2) ,则 tan2α的值是 8、已知 cos= 三、解答题 9、已知点 p(sin 4 ,cos 4 )落在角θ的终边上,且θ ∈ [0,2π),求θ的值。
3π 3π 2x ?3 4?x

)

B. 第二或第三象限 D. 第一或第四象限 ; ;

且α是第二、第三象限角,则 x 有取值范围是

10、已知角θ 终边落在 y=kx 上,若 sinθ=

2 5

,且 cosθ < 0,求 k 的值。

11、已知扇形 OAB 的圆心角为 120? ,半径长为 6cm,求: (1)弧 AB 的长; (2)该扇形所含弓形的面积.

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