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2014届高考数学一轮复习 第3章 第8节《解三角形应用举例》名师首选练习题 新人教A版


第三章
一、选择题

第八节

解三角形应用举例

1.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cos A>sin B,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等腰三角形

)

2.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观

察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯 塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km ) B. 3a km D.2a km

3.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望 见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏 东 75°方向上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km B.3 2 km D.2 3 km )

4.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C,两艘轮船航行方向的夹角为 120°,轮船

A 的航行速度是 25 海里/小时,轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时,下午 2 时两船之间的距
离是( ) B.35 2 海里 D.70 海里

A.35 海里 C.35 3 海里

5.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在 的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB= 45°,∠CAB= 105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

6.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75°方向, 则这只船的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 二、填空题 ) B.5 3 海里 D.10 3 海里

1

7.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且 其轴 截面顶角为 120°,若要光源恰好照整个广场,则光源的高度为________m. π 8.在△ABC 中,BC=1,∠B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3 9.据新华社报道,2011 年 8 月,飓风“艾琳”在美国东海岸登陆.飓风中心最大风力 达到 12 级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干 被台风吹断后,折成与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树干底部与树尖着 地处相距 2 0 米,则折断点与树干底部的距离是________米. 三、解答题 10.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15°的看台的某一列的正 前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最 后一排的距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?

11.为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D 是着火点,

A、B 分别是水枪位置,已知 AB=15 2米,在 A 处看到着火点的仰角
为 60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°,求两支水枪的喷射距离至少 是多少?

2

12.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时, 试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

详解答案: π π π π π 1.解析:cos A=sin( -A)> sin B, -A,B 都是锐角,则 -A>B,A+B< ,C> . 2 2 2 2 2 答案:C 2.解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ABC 中,由余弦定理得 AB 1 2 2 2 2 2 =AC +BC -2AC·BCcos 120°=2a -2a ×( - )=3a , 2 ∴AB= 3a. 答案:B 15 3.解析:如图,由条件知 AB=24× =6,在△ABS 中,∠BAS= 60 30 °,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°, 所以∠ASB=45°.由正弦定理知 = , sin 30° sin 45° 所以 BS= 答案:B 解析:设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E、F,则依题意有 CE=25×2 =50,CF=15×2=30,且∠ECF=12 0°, sin 30°=3 2. sin 45°
2

BS

AB

AB

EF= CE2+CF2-2CE·CFcos 120°
= 50 +30 -2×50×30cos 120°=70.
2 2

3

答案:D 5.解析:∠B=180°-∠ACB-∠CAB=30°

AC·sin∠ACB 由正弦定理得 = ,∴AB= = sin∠ACB sin B sin B
答案:A

AB

AC

50× 1 2

2 2

=50 2(m).

6.解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以 ∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中, 可得 AB=5,于是这只船的速度是 答案:C 15 7.解析:轴截面如图,则光源高度 h= =5 3(m). tan60° 5 =10(海里/小时). 0.5

答案:5 3 1 8.解析:S△ABC= acsin B= 3,∴c=4. 2 由余弦定理:b =a +c -2accos B=13,
2 2 2

a2+b2-c2 1 12 ∴cos C= =- ,sin C= , 2ab 13 13
∴tan C=- 12=-2 3. 答案: -2 3 9.解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则 ∠ABO=45°, ∠AOB=75°,∴∠OAB=60°. 由正弦定理知, 20 6 答案: 3 10.解:在△BCD 中,∠BDC=45°,∠CBD=30° ,CD=10 6, 由正弦定理,得 BC=

AO 20 20 6 = ,∴AO= (米). sin 45° sin 60° 3

CDsin 45°
sin 30°

=20 3; 3 =30(米). 2

在 Rt△ABC 中,AB=BCsin 60°=20 3×

4

AB 30 所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). t 50
11.解:在△ABC 中,可知∠ACB=45°, 由正弦定理得: = , sin∠ACB sin∠ABC

AB

AC

解得 AC=15 米. 又∵∠CAD=60°,∴AD=30,CD=15 3, sin 105°=sin(45°+60°)= 由正弦定理得: 15? 解得 BC= 6+ 2 . 4

= , sin∠ACB sin∠BAC 6+ 2? 2 米.
2 2

AB

BC

由勾股定理可得 BD= BC +CD =15 5+ 3米,

综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为 30 米,15 5+ 3米. 12.解:1)设小艇与轮船在 B 处相遇,相遇时小艇航行的距离为

S 海里,如图所示.
在△AOB 中,A=90°-30°=60° ∴S= 900t +400-2·30t·20·cos60° = 900t -600t+400=
2 2

900?

t- ?

1 3

2

+300.

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)由题意可知 OB=vt 在△AOB 中利用余弦定理得:

v2t2=400+900t2-2·20·30tcos 60°
600 400 2 故 v =900- + 2

t

t

600 400 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900.

t

t

2 3 2 2 即 2- ≤0, 解得 t≥ ,又 t= 时,v=30(海里/小时), t t 3 3

5

2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等 于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

6


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