当前位置:首页 >> 数学 >>

2013、7、14第三讲《柯西不等式与排序不等式》课件(新人教选修4-5).1


复习:
( 1 ) 二维形式的柯西不等式 (a
2

? b )( c

2

2

? d

2

) ? ( ac ? bd ) ( a , b , c , d ? R )

2

当且仅当 ad

? bc 时 , 等号成立 .

(2) a (3) a

2 2

? b ? b

2 2

? ?

c c

2 2

? d ? d

2 2

? ac ? bd ? ac ? bd

(4) 柯西不等式的向量形式 当且仅当 ? 是零向量

? ?? ? ? ? .
k,

, 或存在实数 .

使 ? ? k ? 时 , 等号成立

定理 3 那么

( 二维形式的三角不等式 x 1 ? y1 ?
2 2

)

设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ? R,
2

x2 ? y2 ?
2 2 2

2

2

( x1 ? x 2 )
2 2

? ( y1 ? y 2 )

2

证明 : (

x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2 ) x1 ? y1
2 2

? x 1 ? y1 ? 2
2 2 2 2

x2 ? y2 ? x2 ? y2
2 2 2

2

2

2

2

? x 1 ? y1 ? 2 x 1 x 2 ? y1 y 2 ? x 2 ? y 2
2

? x 1 ? y1 ? 2 ( x 1 x 2 ? y1 y 2 ) ? x 2 ? y 2 ? x 1 ? 2 x 1 x 2 ? x 2 ? y1 ? 2 y1 y 2 ? y 2 ? (x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
? x 1 ? y1 ?
2 2

2

2

2

2

2

2
2

x2 ? y2 ?

2

2

( x1 ? x 2 )

? ( y1 ? y 2 )

2

二维形式的三角不等式 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2 ?
2 2

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

三维形式的三角不等式 ?

x1 ? y1 ? z1 ?
2 2 2 2 2

x2 ? y2 ? z2
2 2 2

2

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )

一般形式的三角不等式 x1 ? x 2 ? ? ? x n ?
2 2 2

y1 ? y 2 ? ? ? y n
2 2 2

2

?

( x1 ? y1 ) ? ( x 2 ? y 2 ) ? ? ( x n ? y n )
2

2

补充例题:
例 1 已知 x , y , a , b ? R ? , 且
解 : ? x , y, a , b ? R? , a x
2

a x
?

?
b y

b y

? 1, 求 x ? y 的最小值 .

? 1, ?? ?? ?? ?? a ? ? x ? ?
2

? x ? y ? (

?

x)

2

? (

y)

?

? ? ? ? ?

b ? ? y ? ?

2

? ? ? ?

? ( 当且仅当

a ? x ? b y

b) ?

2

y ? b)
2

a x

,即

x y

?

a b

时取等号

.

? ( x ? y ) min ? (

a ?

变式引申:
若 2 x ? 3 y ? 1, 求 4 x
解 : 由柯西不等式 ? 4x
2

2

? 9 y 的最小值 , 并求最小值点
2

2

.

(4 x .

? 9 y )( 1 ? 1 ) ? ( 2 x ? 3 y )

2

2

2

2

? 1,

? 9y

2

?

1 2

当且仅当 2 x ? 1 ? 3 y ? 1 , 即 2 x ? 3 y 时取等号 . 1 ? ?x ? 4 ?2 x ? 3 y ? 由? 得? 1 ?2 x ? 3 y ? 1 ? y ? ? 6 ? ? 4x
2

? 9 y 的最小值为

2

1 2

, 最小值点为

1 1 ( , ) 4 6

补充练习
1 .若 a , b ? R , 且 a
2

? b

2

? 10 , 则 a ? b 的取值范围是 B . ? 2 10 , 2 10 5,
2

(

? C . ??
A.

A. - 2

5 ,2 10 ,

? 10 ?
5

? D . ??
C.

5

?
2

?

A)

2 .已知 x ? y ? 1 , 那么 2 x 5 6 B. 6 5

? 3 y 的最小值是 D. 36 25

(B )

25 36

3 .函数 y ? 2 1 ? x ?
4 . 设实数 x , y 满足 3 x 值是 ______ 11
5 .若 a ? b ? 1 , 则 ( a ? 1 a
2

2 x ? 1的最大值为
? 2y
2

3 ______

? 6 , 则 P ? 2 x ? y 的最大
25

) ? (b ?

2

1 b

) 的最小值是

2

2 ______

小结:
( 1 ) 二维形式的柯西不等式 (a
2

? b )( c

2

2

? d

2

) ? ( ac ? bd ) ( a , b , c , d ? R )

2

当且仅当 ad ? bc 时 , 等号成立 .

(2) a (3) a

2 2

? b ? b

2 2

? ?

c c

2 2

? d ? d

2 2

? ac ? bd ? ac ? bd

(4) 柯西不等式的向量形式 当且仅当 ? 是零向量

? ?? ? ? ? .
k,

, 或存在实数 .

使 ? ? k ? 时 , 等号成立

(5) 二维形式的三角不等式 x 1 ? y1 ?
2

2

2

x2 ? y2 ?
2

2

2

( x1 ? x 2 )
?

2

? ( y1 ? y 2 )
2

2

( 6 ) ( x 1 ? x 3 ) ? ( y1 ? y 3 ) (x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

( x2 ? x3 ) ? ( y2 ? y3 )

2

?

2

从平面向量的几何背景 将平面向量的坐标代入

能得到 ? ? ? ? ? ? ,

, 化简后得二维形式

的柯西不等式 ( a 2 ? a 2 ) ( b 2 ? b 2 ) ? (a b ? a b ) : 1 2 1 2 1 1 2 2 当且仅当 a 1 b 2 ? a 2 b 1时 , 等号成立 .

类似地 , 从空间向量的几何背景

也能得到

? ? ? ? ? ? , 将空间向量的坐标代入
化简后得
2 (a1



?

2 a2

?

2 a3 )

2 (b1

?

2 b2

?

2 b3 )

? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )
k,

当且仅当 ? , ? 共线时 , 即 ? ? 0 , 或存在一个数 使得 a i ? kb i ( i ? 1 , 2 , 3 )时 , 等号成立 .

探究
对比二维形式和三维形式 的柯西不等式,你能猜想 一般形式的柯西不等式吗?

猜想柯西不等式的一般形式
(a1 ? a2 ? ? ? an )( b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2 b2 ? ?an bb )
2 2 2 2 2 2 2

2 2 分析: A ? a 12 ? a 2 ? ? ? a n ,B ? a b ? a b ? ? a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n , 则不等式就是 AC ? B 2

构造二次函数 f ( x ) ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) x ? 2 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? a n b n ) x
2 2 2 2

? ( b1 ? b 2 ? ? b n )
2 2 2

又 f ( x ) ? ( a 1 x ? b1 ) ? ( a 2 x ? b 2 ) ? ? ? ( a n x ? b n ) ? 0
2 2 2

? 二次函数 f ( x )的判别式 ? ? 0 , 即 4 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? a n b n ) ? ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? 0
2 2 2 2 2 4( a1

?

2 a2

??

2 an

)

定理 ( 一般形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2

)
2

设 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b 1 , b 2 , b 3 , ? , b n 是实数 , 则
(a1 ? a2 ? ? ? an )( b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2 b2 ? ?an bb )

当且仅当 b i ? 0 ( i ? 1 , 2 , ? , n ) 或存在一个数 k , 使得 a i ? kb i ( i ? 1 , 2 , ? , n )时 , 等号成立 。

探究
一般形式的三角不等式因该是 怎样的?如何应用一般形式的 柯西不等式证明它?同学们自 己探究

例 1 已知 a 1 , a 2 , ? , a n 都是实数 , 求证 1 n (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2 2 2

证明 : ( 1 ? 1 ? ? ? 1 )( a 1 ? a 2 ? ? ? a n )
2 2 2 2 2 2

? (1 ? a 1 ? 1 ? a 2 ? ? ? 1 ? a n )
2 2 2

2

? n(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n )
? 1 n (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2 2 2

2

例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数 a
2

, 证明

? b

2

? c
2

2

? d
?c
2

2

? ab ? bc ? cd ? da
2 2

证明 : ( a

?

2

? d )( b

? c
2

2

? d

2

? a )

2

? ( ab ? bc ? cd ? da ) ? a , b , c , d 是不全相等的正数 ? (a 即 a
2 2

,?

a b

?

b c

?

c d

?
2

d a

不成立

? b ? b

2 2

? c ? c

2 2

? d ) ? ( ab ? bc ? cd ? da ) ? d
2

2 2

? ab ? bc ? cd ? da

例 3 已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1 , 求 x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证明 : ( x ? y ? z )( 1 ? 2 ? 3 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) ? 1
2 2 2 2 2 2 2

? x ? y ? z ?
2 2 2

1 14

当且仅当
2 2

x 1
2

?

y 2

?

z 3

即x ? 1 14

1 14

,y ?

1 7

,z ?

3 14



x ? y ? z 取最小值

P 41

6.

设 x 1 , x 2 , ? x n ? R ? , 且 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1, x1
2

求证 :

1 ? x1

?
2

x2

2

1 ? x2
?

?? ?
2

xn

2

1 ? xn
xn
2

?

1 n?1
) x2
2

证明 : ( n ? 1 ) ? (

x1

x2

1 ? x1

1 ? x2

?? ?

1 ? xn x1
2

? (1 ? x 1 ? 1 ? x 2 ? ? ? 1 ? x n ) ? ( xn 1 ? xn
2

1 ? x1 ?

?

1 ? x2

? x2

? ?

) ? ( 1 ? x1 ? xn 1 ? xn
2

x1 1 ? x1

1 ? x2 ?

1 ? x2
2

?? ?

1 ? xn ?

)

? ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )

? 1

?

x1

2

1 ? x1

?

x2

2

1 ? x2

???

xn

2

1 ? xn

?

1 n?1

补充 1 例 例题 2
a

已知实数 a , b , c , d , e 满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8 ,
2

? b

? c
2

2

? d
2

2

? e
2

2

? 16 , 求 e 的取值范围
2

.

解 : ? 4(a

? b

? c

? d )
2

? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 )( a ? (a ? b ? c ? d)
2 2 2

? b

2

? c

2

? d )

2

即 4 ( 16 ? e ) ? ( 8 ? e ) , 即 64 ? 4 e ? 5e
2

2

? 64 ? 16 e ? e

2

? 16 e ? 0 , 故 0 ? e ?

16 5

例 2 已知 x , y , z ? R ? , 且 x ? y ? z ? 1 , 求证
证法一 : 用柯西不等式 1 x ? ( ? 4 y x ? ? 9 z 1 x 当且仅当 x 等号成立 .
2

1 x

?

4 y

?

9 z

? 36

? ( x ? y ? z )( ? y ? 1 4 2 y ? y
2

1 x

? z ?

4 y

? 3 z

9 z )
2

) ? 36 1 3 1 2

? 1 9

?

z ,即 x ?

2

1 6

,y ?

,z ?

时,

例 2 已知 x , y , z ? R ? , 且 x ? y ? z ? 1 , 求证
证法二 : 代入法 1 x ? 4 y ? 9 z y x ? ? 1 x 4x y )? ( z x ? 9x z ( x ? y ? z) ? 4 y )? ( 4z y ? 9y z ) (x ? y ? z) ?

1 x

?

4 y

?

9 z

? 36

9 z

( x ? y ? z)

? 14 ? (

? 14 ? 4 ? 6 ? 12 ? 36 当且仅当 y ? 2 x , z ? 3 x , 即 x ? 1 6 ,y ? 1 3 ,z ? 1 2 时 , 等号成立 .

补充练习
1 在 ? ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a
2

a , b , c , 外接圆半径为 ? 1 sin
2

R,
2

? b ? c )(
2 2

1 sin
2

? B

1 sin
2

) ? 36 R C

A

2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a ? b ? c ? 1 , 求证 : ( a ? 1 a ) ? (b ?
2

1 b

) ? (c ?
2

1 c

) ?
2

100 3

3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 ? 1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 2 2

4 . 设 a , b , c ? R ? , 且满足 abc ? 1 , 试证明 : 1 a (b ? c )
3

?

1 b (a ? c )
3

?

1 c (a ? b )
3

?

3 2

课外作业p41习题3.2 1、2、4

( 1 ) 设 c 1 , c 2 , ? , c n 是数组 b1 , b 2 , ? , b n 的任何一个排列 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn叫做数组 和 ( b1 , b 2 , ? , b n )的 乱序和 ( a1 , a 2 ,? , a n )

,

( 2 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , ? , a n ) 和 ( b1 , b 2 , ? , b n ) 按相反顺序相乘 所得的和 称为

S1 ? a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? anb1

反序和

( 3 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , ? , a n ) 和 ( b1 , b 2 , ? , b n ) 按相同顺序相乘 所得的和 称为

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn

顺序和

反序和 ? 乱序和 ? 顺序和 即 S1 ? S ? S2

定理

( 排序不等式或称排序原

理) ,

设 a 1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b 2 ? ? ? b n 为两组实数 c 1 , c 2 , ? , c n 是 b1 , b 2 , ? , b n 的任一排列 ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n 当且仅当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n 或 b1 ? b 2 ? ? ? b n 时 , . , 那么

a 1 b n ? a 2 b n ? 1 ? ? ? a n b1 ? a 1 c 1 ? a 2 c 2 ? ? ? a n c n

反序和等于顺序和

例 1 有 10 人各拿一只水桶去接水 ( i ? 1 , 2 , ? ,10 ) 个人的水桶需要 相同 , 问只有一个水龙头时 使他们等候的总时间最
例2 1? 1 2

, 设水龙头注满第 t i 分 , 假定这些 t i 各不

i

, 应如何安排

10 人的顺序 , 多少 ?

少 ? 这个最少的总时间等于
, 求证

设 a 1 , a 2 , ? , a n 是 n 个互不相同的正整数 ? 1 3 ?? ? 1 n ? a1 ? a2 2
2

?

a3 3
2

?? ?

an n
2

补充例题
1 .设 a , b , c ? R ? , 试证 a
12 12 12

?

b

?

c

? a
?
3

10

?b

10

?c

10

bc

ca

ab
? aA ? bB ? cC a?b?c ?

2 .在 ? ABC 中 , 试证 :

?
2


相关文章:
教学设计:选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)
教学设计:选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)_数学_高中教育_教育...作业:教材 P37 1、6、7 题 第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式 教学要求:...
6.8 柯西不等式与排序不等式(理)
第三讲 柯西不等式与排序... 35页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 选修4-5柯西...新课标数学选修4-5柯西不等... 5页 免费 排序不等式 7页 免费 排序不等式...
人教版高中数学教材最新目录
1.7 定积分的简单应用 第二章 推理与证明 2.1 ...4 一些常见曲线的参数方程 选修 4-5 第一讲 不...柯西不等式与排序不等式 二维形式柯西不等式 二...
高中数学教材目录
.4 基本不等式 小结 复习参考题 选修 1-1 第一...1.7 定积分的简单应用 小结 复习参考题 第二章 ...柯西不等式与排序不等式 二维形式柯西不等式 二...
高三理科数学目录
高中必修和选修章节目录 人教版高中数学理科目录 必修...不等式 1.7 定积分的简单应用 推理与证明 第二章...的柯西不等式 排序不等式 数学归纳法证明不等式 第...
高中课本目录
第四章 框图 4.1 流程图 4.2 结构图 选修 4-1 ...第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影 二 平面...柯西不等式与排序不等式 二维形式柯西不等式 二...
2016年上学期高二文科数学工作计划
四、教学措施: 1、抓好课堂教学,提高教学效益。课堂...柯西不等式与排序不等式 选修 4-4 选修 4-5 ...第一章 6 第二章 第三章 7 第四第五章 8...
人教版高中数学目录
与平面区域 必修 4章 三角函数 1 人教版...1.7 定积分的简单应用 用 3.2 应用 独立性检验...柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不...
浙江省高中数学教材知识大纲
1.7 定积分的简单应用 第二章 推理与证明 2.1 ...渐 开线与摆线 选修 4-5 不等式选讲第一讲 不...反证法与放缩放 第三讲 柯西不等式与排序不等式 1...
高中数学各模块教材目录
1.7 定积分的简单应用 第二章 推理与证明 2.1 ...选修 4-5 第一讲 不等式和绝对值不等式 不...柯西不等式与排序不等式 二维形式的柯西不等式 ...
更多相关标签:
柯西不等式 | 柯西不等式的证明 | 柯西不等式高中 | 柯西不等式公式 | 柯西不等式公式高中 | 柯西不等式的应用 | 柯西不等式ppt | 柯西不等式证明 |