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资阳市2011—2012学年度高中一年级第二学期期末质量检测数学答案


资阳市 2011—2012 学年度高中一年级第二学期期末质量检测

数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5. CBDAB;6-10. DBDCB;11-12. AC. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.4; 14. 96 ? 8? (cm ) ; 15.
2

1 ; 16.②③④. 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17. 解:(Ⅰ) 设线段 AB 的中点为 Q ,其坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率是 ? 直线 l 的斜率是

5 3分 6

6 ,所以线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 . ······· 分 ······ 6 ······ 5 ???? ??? ? (Ⅱ)设点 C ( x, y ) , ∵ AC ? 2CB , A(7, ?4), B(?5,6),
∴ ( x ? 7, y ? 4) ? 2(?5 ? x,6 ? y) ····························· 9 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········

? x ? ?1 ?3x ? ?3 ? ?? ?? ·································· 11 ·········· ··········· ··········· ·· 8 ··········· ··········· ·········· ··· 分 ?3 y ? 8 ?y ? 3 ?
所以点 C 的坐标为 (?1, ) ································· 分 ··········· ·········· ··········· · ································ 12 (用其它方法做的可参照给分) 18. 解: (Ⅰ)∵数列 {an } 是等比数列,设首项为 a1 ,∵ a3 ? a4 ? 6a2 , ∴ a2 q ? a2 q ? 6a2 ,∴ q ? q ? 6 ? 0 ··························· 3 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······
2

8 3

2

1 n ?1 1 n?2 ∵q>0,∴q=2,a2=a1q=1,∴a1= , an ? ? 2 ? 2 ··········· ···· 6 分 ··········· ···· ·········· ····· 2 2
(Ⅱ)∵ a2 ? 1, T ? a2 ? a4 ? ? ? a20 ···························· 分 ··········· ·········· ······ 8 ·········· ··········· ······

1? (1 ? 410 ) 410 ? 1 ? ? . ··········· ··········· ·········· ··· 分 ·································· 12 ·········· ··········· ··········· ·· 1? 4 3

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19. 解: (Ⅰ)∵ (a ? b) ? (a ? b) ? 又∵ | a | =1,∴ | b |? | a | ?
2

? ?
?

? ?
?

? ? 1 1 ,∴ | a |2 ? | b |2 ? , 2 2

?

1 2 ? . ··········· ··········· ···· 3 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 2 2

? ? ? ? a ?b 设 a 与 b 的夹角为θ,则 cosθ= ? ? = | a || b |

1 2 1? 2 2

?

2 ,∴θ=45° ··········· 5 分 ··········· ·········· · 2

故 a 与 b 的夹角为 45°. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 6 ·········· ··········· ··········· ·· (Ⅱ)设向量 a ? AB, b ? AD ,∵ S? ABCD ? 2S? ABD , ···················· 8 分 ··········· ········· ·········· ··········

?

?

?

??? ? ?

????

1 ? ? 1 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· | a || b | sin 45? ? 2 ? ,···························11 分 2 2 ? ? 1 故以向量 a, b 为邻边的平行四边形 ABCD 的面积为 . ·················· 分 ················· 12 ·········· ······· 2 2 20. 解: ∵ 2ax ? (2 ? a) x ? 1 ? (ax ? 1)(2 x ? 1) ? 0 2 分 1 1 ①当 a ? 0 时, x ? 或 x ? ? ; ··········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ····· 5 ·········· ··········· ····· 2 a 1 ②当 a ? 0 时, x ? ; ································· 分 ··········· ·········· ··········· 7 ·········· ··········· ··········· 2 1 1 1 1 ③当 ?2 ? a ? 0 时,∵ ? ? , ∴ ? x ? ? ; ··················· 10 分 ··········· ········ ·········· ········· a 2 2 a 1 1 综上,当 a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | x ? 或x ? ? }; 2 a 1 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | x ? } ; 2 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | ? x ? ? } ; ············· 分 ············ 12 ·········· ·· 2 a 21. 解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m?Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 4m ? 29 ? 5, 1 分 5 ,所以 5
∴ S? ABCD ? 即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . ······················ 分 ··········· ·········· 3 ·········· ··········· 故所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 25 . ·························· 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 4
2 2

(Ⅱ)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 ,即 y ? ax ? 5 代入圆的方程,消去 y 整理得
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··········· ·········· ········ 6 ·········· ··········· ········ (a 2 ? 1) x 2 ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 , ······························ 分 由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点, 故 ? ? 4(5a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 即 12a ? 5a ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ?
2 2

2

5 . 12

5 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ , ??) . ····························8 分 12 1 (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于直线 AB 的斜率为 a,则直线 l 的斜率为 ? , l 的方程 a 1 为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 , ······················ 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 9 a
所以实数 a 的取值范围为 ( 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上,所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 , 解得 a ?

3 ? 5 3 ? . 由于 ? ? , ?? ? , ····························· 分 ···························· 11 ·········· ··········· ······· 4 ? 12 4 ?

3 使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB . ·············· 分 ············· 12 ·········· ··· 4 22. 解:(Ⅰ)由题意得: f (1) ? 3, f (2) ? 6 .当 x ? 1 时, y ? 2n 可取格点 2n 个;当 x ? 2 时,
故存在实数 a ?

y ? n 可取格点 n 个,∴ f (n) ? 3n .

3分
1 2 3 n

(Ⅱ)由题意知 bn ? 3n ? 2 n ,∴ Sn ? 3 ? 2 ? 6 ? 2 ? 9 ? 2 ? ? ? 3n ? 2 ① ∴ 2Sn ? 3 ? 22 ? 6 ? 23 ? 9 ? 24 ? ? ? 3n ? 2n ?1 ② ∴①-②得, ? Sn

? 3 ? 21 ? 3 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? 3 ? 2n ? 3n ? 2n?1 ················5 分 ········ ········

? 3(21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 3n ? 2n ?1

? 3?

2 ? 2n?1 ? 3n ? 2n ?1 ? 3(2n ?1 ? 2) ? 3n ? 2n ?1 ······················· 分 ··········· ·········· · 6 ·········· ··········· · 1? 2
n ?1

∴ ? Sn ? (3 ? 3n)2

?6
n ?1

∴ S n = 6 ? (3n ? 3)2
(Ⅲ)∵ Tn ?

. ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 8

f (n) f (n ? 1) 3n(3n ? 3) , ? 2n 2n

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Tn ?1 Tn

(3n ? 3) ? (3n ? 6) n?2 2n ? 1 ··········· ··········· ······· 分 ···························· 10 ·········· ··········· ······· ? ? 3n(3n ? 3) 2n 2n
n?2 n?2 n?2 ····· ····· ? 1 ;当 n =2 时, ? 1 ;当 n ≥3 时, ? 1 , ····· 11 分 2n 2n 2n

当 n =1 时,

∴ T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? ? ? Tn , ····························· 分 ···························· 13 ·········· ··········· ······· 故 Tn 的最大值是 T2 ? T3 ?

27 27 ,∴ m ≥ . ··········· ··········· 分 ··········· ·········· · ····················· 14 2 2

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