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吉林省舒兰市第一中学高中数学 2.1.3直线与平面平面与平面的位置关系导学案 新人教A版必修2


第二章 2.1.3 直线与平面平面与平面的位置关系
【学习目标】 1.结合图形正确理解空间中直线与平面,,平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 【学习重点】 1.正确判定直线与平面的位置关系. 2.平面与平面的相交和平行. 【知识链接】 1.什么叫做直线在平面内?直线与平面相交?直 线与平

面平行? 2.直线在平面外包括哪几种情况? 3.什么叫做两个平面平行?两个平面相交? 4.两个平面平行的画法. 【基础知识】 直线与平面:1.如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. 2.如果直线与平面有且只有一个公共点 叫做直线与平面相交. 3.如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. 4.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 直线在平面内 a?α

直线与平面相交

a∩α =A

直线与平面平行

a∥α

平面与平面:1.两个平面平行——没有公共点. 2.两个平面相交——有一条公共直线.

【例题讲解】 例 1 下列命题中正确的个数是( B ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如 果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3

例 2 α ∩β =l,a ? α ,b ? β ,试判断直线 a、b 的位置关系,并画图表示. 解:如图所示,直线 a、b 的位置关系是平行、相交、异面.

例 3 已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面. 已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:l 与 a、b、c 共面. 证明:如图 1,∵a∥b,

图1 ∴a、b 确定一个平面,设为 α . ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α ,B∈α . 又∵A∈l,B∈l,∴AB ? α ,即 l ? α . 同理 b、c 确定一个平面 β ,l ? β , ∴平面 α 与 β 都过两相交直线 b 与 l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α 与 β 重合.故 l 与 a、b、c 共面. 例 4 三个平面 α ,β ,γ .如果 α ∥β ,γ ∩α =a,γ ∩β =b,且直线 c? β ,c∥b. (1)判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由; (2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. 解:(1)c∥α .因为 α ∥β ,所以 α 与 β 没有公共点,又 c? β ,所以 c 与 α 无公共点,则 c∥α . (2)c∥a.因为 α ∥β ,所以 α 与 β 没有公共点,又 γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a? α ,b? β ,且 a,

b? γ ,所以 a,b 没有公共点.由于 a,b 都在平面 γ 内,因此 a∥b,又 c∥b,所以 c∥a.

【达标检测】 1.a、b 两直线平行于平面 α ,那么 a、b 的位置关系是( D ) A.平行 B.相 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面 2.已知三条不同的直线 a,b,c 两个不同的点 A,B 及面 α ,如果 a? α ,b? α ,l∩a=A,l∩b=B,那 么下列关系成立的是(A) A.l? α C.l∩α =A B.l?α D.l∩α =B

3.直线 a∥b,b ? α ,则 a 与 α 的位置关系是( C ) A.a∥α C.a 与 α 不相交 4.a,b 为异面直线是指( D B.a 与 α 相交 D.a ? α )

①a∩b=?, 且 a 不平行于 b; ②a? 平面 α , b?平面 α , 且 a∩b=?; ③a? 平面 α , b? 平面 β , 且 α ∩β =?;④不存在平面 α 能使 a? α ,且 b? α 成立. A.①②③ C.②③ B.①③④ D.①④

5.直线 m 与平面 α 平行的充分条件是( B ) A. n ? α 、m∥ n B. m ? α 、n ? α 、m∥n

C. n ? α ,l∥α ,m∥n、m∥l D. n ? α ,M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n 且 MN=P Q 6.若直线 a 不平行于平面 α ,且 a ? α ,则下列结论成立的是( D ) A. α 内的所有直线与 a 异面 B. α 内的直线与 a 都相交 C. α 内存在唯一的直线与 a 平行 D. α 内不存在与 a 平行的直线 7.长方体的 12 条棱所能确定的平面个数为( C ) A.8 C.12 B.10 D.14

8.若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( B ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 9.不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,且 A ? α ,给出以下三个命题: ①△ABC 中至少有一条边平行于 α ;②△ABC 中至多有两边平行于 α ;③△ABC 中只可能有一条边与 α 相 交. 其中真命题是___①__. 10.两个平面把空间分为 3 或 4 部分,三个平面可以把空间分为 4、6、7、8 部分 11.△ABC 的三边或延长线与平面 α 分别相交于点 P,Q, R,则 P,Q,R 的位置关系是 P,Q,R 三点共线. 12.已知 a ? α ,b ? α ,a∩b=A,P∈b,PQ∥a, 求证:PQ ? α . 证明:∵PQ∥a,∴PQ、a 确定一个平面,设为 β . ∴P∈β ,a ? β ,P ? a.又 P∈α ,a ? α ,P ? a, 由推论 1:过 P、a 有且只有一个平面, ∴α 、β 重合.∴PQ ? α . ∴PB1=A1B1-A1P= a ?

1 3 a ? a. 4 4
2 AD,求异面直线 2

13.已知点 A 是△BCD 所在平面外一点,AD=BC,E,F 分别是 AB,CD 的中点,且 EF=

AD 和 BC 所成 的角. 解:如图,设 G 是 AC 的中点,连接 EG,FG.因 E,F 分别是 AB,CD 的中点,故 EG ∥BC,且 EG= BC,FG∥AD,且 FG= AD.由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐
角或直角为异面直线 AD,BC 所成的角,即∠EGF 为所求的角. 1 2 1 2

1 2 由 BC=AD 知 EG=GF= AD,又 EF= AD, 2 2 由勾股定理可得∠EGF=90°,即异面直线 AD 和 BC 所成的角为 90°.

【问题与收获】


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