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云南省红河州泸源中学2016届高三上学期第三次月考数学(理)试卷


泸源中学 2016 届高三第三次月考试题 数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1、设集合 A ? {x | ? x ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1 ? 3}, 则A ? B ? (
2

) D.R

A. {x | x ? ?1或x ? 1} 2、复数

B. {x | x ? ?1或x ? 2}

C. {x | 2 ? x ? 3} )

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i
B.4
0.2 2

A. ?4 3、实数 a ? 0.2 2 , b ? log A. a ? c ? b 4、下列四个命题:

C.1 )

D.一 1

0.2, c ? 2 的大小关系正确的是(
C. b ? a ? c

B. a ? b ? c

D. b ? c ? a

①命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0 ”;
2 2

②“x>2”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④对于命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则?p为 : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

其中,错误的命题的个数是( A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D.4 个

5、平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? 2, | b |? 1 ,则 | a ? 2b | 等于 A. 3 ( ) B.2 3 C.4 D.12

?

6.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 31,则判断框中应 填入的条件为( A. i ? 4 C. i ? 6 ) B. i ? 5 D. i ? 7

7、 在正项等比数列 ?an ? 中,a3 ?

2, a5 ? 8a7 , 则 a10 ? ( )
C.
1 512

A. D.

1 128

B.

1 256

1 1024
) B. 2 5 C.

8、 一个空间几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为( A. 2 3

9、已知函数 f ( x) ? sin( x ? 列结论中正确的是( )

?
2

4 3 3

D.

5 3 3

) , g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则下

A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 1

? 单位后得 g ( x) 的图象 2 ? D.将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 单位后得 g ( x) 的图象 2
C.将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 10、已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点,三棱锥 O-ABC 的高为 2 2 ,且 ?ABC ? 60 0 ,

AB ? 2, BC ? 4 ,则球 O 的表面积为(
A. 24? B. 32?

) D. 96?

11、已知奇函数 f ? x ? 在 ?? ?,0 ? 上单调递减,且 f ?2 ? ? 0 ,则不等式 ? x ? 1? f ? x ? 1? >0 的 解集是( A. ?? 3,?1? ) B.

C. 48?

?? 3,1? ? ?2,?? ?

C. ?? 3,0 ? ? ?3,?? ?

D. ?? 1,1? ? ?1,3?

12、设 P 是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上除顶点外的任意一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点, 4 ????? ????? △ PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M ,则 F1 M ? MF2 ? ( )
B.4 C.2 D.1

A.5

二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分)

? y?2 ? 13、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ? x ? y ?1 ?
14、若 (

1 x2 1 n ,则展开式中常数项为 ? ) 展开式各项系数和为 ? 3 128 2 x

5 。 ? ,那么 cos(a3 ? a5 ) ? 4 16、若偶函数 f ( x) 对定义域内任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? ?0,1? 时, 15 . f ( x) ? log 2 x ,则 f ( ) ? 2 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
15、已知等差数列 {a n } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 17、 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 且 cos A ?

B?C ? cos 2 A 的值; 2 (2)若 b ? 2, ?ABC的面积S ? 3, 求a 的值。
(1)求 sin 2

4 . 5

(19)(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,

?PAD 为等边三角形,平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 ?DAB ? 60?, AB ? 2 , E 为 AD 的
中点. (1)求证: AD ? PB ; (2)在棱 AB 上是否存在点 F ,使 EF 与平面 PDC 成角正弦值 为

15 ,若存在,确定线段 AF 的长度,不存在,请说明理由. 5

20、(本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的 左,右焦点。 4 ???? ???? ? (1)若 P 是该椭圆上一个动点,求 PF1 ? PF2 的 最大值和最小值。
(2)设过定点 M(0,2)的 直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O

为坐标原点),求直线 l 斜率 k 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? (1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

1? x ( x ? 0) ,且 a ? 0 . 1? x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A、B 两点,AB 是⊙ O2 的直径,过 A 点作⊙ O1 的切线交⊙ O2 于点 E, 并与 BO1 的延长线交于点 P, PB 分别与⊙ O1 ,⊙ O2 交于 C,D 两点。

求证:(1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE。 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为: ?

?x ? t (t为参数) 在以 O 为极点, ? y ? 1 ? 2t

以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? m (1)当 m ? 5 时,求 f ( x) ? 0 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

泸源中学 2016 届高三第三次月考
理科数学答案 第Ⅰ卷
1
C

选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2
B

3
C

4
A

5
B

6
A

7
D

8
D

9
C

10
C

11
D

12
B

第二卷

非选择题

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 8 (14)
7 (15) ? 3 2 2

(16)-1

三、解答题(共 70 分)
17(本小题满分 12 分) 解: (1) sin 2

B?C 1 ? cos( B ? C ) ? cos 2 A ? ? cos 2 A ………………2 分 2 2
…………4 分

?

1 ? cos(? ? A) 1 ? cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2

?

1?

4 5 ? 2 ? ( 4 ) 2 ? 1 ? 59 ……………………6 分 2 5 50
4 且0 ? A ? ? 5 ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 3 5
…………8 分

(2)? cos A ? 由 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A得3 ? ? 2c ? 2 2 5

?c ? 5
4 ? 13 5

………10 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?
18(本小题满分 12 分) 解:(1)设得分为 60 分为事件 A

? a ? 13 ………12 分

…… 1 分

得分为 60 分,12 道题必须全做对.在其余的 3 道题中,有 1 道题答对的概率为 道题答对的概率为

1 ,有 1 2
…… 4 分

1 1 ,还有 1 道答对的概率为 , 3 4

所以得分为 60 分的概率为 P ( A) ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 24

…… 5 分

(2)依题意,该考生得分 ? 的取值范围为{45,50,55,60}

…… 6 分

解(1)证明:连接 PE , EB ,因为平面 PAD ? 平面 ABCD , ?PAD 为等边三角形, E 为 AD 的中点,所以 PE ? 平面 ABCD , PE ? AD …… 2 分

因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60? , E 为 AD 的中点,所以 BE ? AD …… 4 分

PE ? BE ? E ,所以 AD ? 面 PBE ,所以 AD ? PB

…… 6 分

(2)以 E 为原点, EA, EB, EP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系…… 7 分

A(1,0,0), B(0, 3 ,0), C (?2, 3 ,0), D(?1,0,0), P(0,0, 3 )
因为点 F 在棱 AB 上,设 F ( x, 3 (1 ? x),0) ,面 PDC 法向量 u ? (a, b, c)

u ? DP ? a ? 3c ? 0 , u ? DC ? ?a ? 3b ? 0
所以 u ? ( 3 ,1,?1) , …… 9 分

| cos ? u , EF ?|?

3 5 x ? 3(1 ? x)
2 2

?

1 15 ,解得 x ? , 2 5

…… 11 分

所以存在点 F , AF ? 1

…… 12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1) 易知 a=2,b=1,c= 3 ,所以 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0), 设 P(x,y), 则 PF1 ?PF2 ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2 2

???? ???? ?

x2 1 ? 3 ? (3x 2 ? 8) 4 4

因为 x ? ? ?2, 2? ,故当 x=0,时有 最小值-2:当 x ? ?2 时,有最大值 1. (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,故设直线 l:y=kx+2

? y ? kx ? 2 ? 由方程组 ? x 2 消去 y 得: ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
3 3 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 或k ? 2 2 ?16k 12 则 x1 ? x2 ? , , x1 ? x2 ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1 ??? ? ??? ? 00 ? 角AOB ? 900 ? CosAOB ? 0 ? OA? OB ? 0 ? ? 4k 2 ? 3 ? 0, k ? ?
即:x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即k 2 ? 4 ? ?2 ? k ? 2 ,
所以 k 的 取值范围是: ? ?2, ?

? ? ?

3? ? 3 ? 。 ,2? ??? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

21、(本题满分 12 分)(1) f '( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ………2 分 ax ? 1 (1 ? x) 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2

∵ f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0, 即a ? 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. ……3 分 (2) f '( x) ?

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x) 2

∵ x ? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为
(0, ??). ………5 分

②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?).………8 分 a a

(3)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; ………10 分

当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x) 在 x ?

2?a 处取得最小值 a

f(

2?a ) ? f (0) ? 1, a
综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). ………12 分

22.(Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB ○ 1 又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA 2 ? PC ? PB 由○ 1,○ 2得 PA ? PD ? PE ? PC (Ⅱ)连结 AC 、 ED , 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径,∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. 由(Ⅰ)知 (6 分)
A

(2 分) 2 ○ (4 分) (5 分)
E O2

P

C

D

F
O1 B

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE (8 分) ? PE PD

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE 23.解:(1)将直线 l 的参数方程经消参可得直线的普通方程为 l : y ? 2 x ? 1 ? 0. 由 ? ? 2 2 sin(? ?
2 2

(10 分) 3分

?
4

) 得 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? ,

? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 即圆 C 直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ?? 6 分
(2) 由 (1) 知 , 圆 C 的 圆 心 C (1,1) , 半 径 r ?

2 , 则圆心 C 到直线 l 的距离

d?

1 ? 2 ?1 ? 1 5

?

2 5 ? 2, 5

故直线 l 与圆 C 相交 ?? ?? ?? 10 分

由题意,不等式 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 的解集是 R , 则 m ? x ? 1 + x ? 2 ? 2 在 R 上恒成立. 而 x ?1 + x ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 故 m ? 1. 10 分


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