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高中数学选修1-1考试题及答案


选修 1-1 测试题及答案

高中数学选修 1-1 考试题 一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,请从 A,B,C,D 四个 选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均 得零分。 ) 1.抛物线 y ? 4x2 的焦点坐标是 A. (0,1) B. (1, 0) C. (0,
1 ) 16


D. (

1 , 0) 16

2.设 a ? R, 则 a ? 1 是

1 ? 1的 a A.充分但不必要条件 C.充要条件

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.命题“若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 都为零”的逆否命题是 A.若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 都不为零 B.若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 不都为零 C.若 a , b 都不为零,则 a 2 ? b2 ? 0 D.若 a , b 不都为零,则 a 2 ? b2 ? 0 4.曲线 y ? A.
3? 4 1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 3

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

5.一动圆 P 与圆 A : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 B : ( x ?1)2 ? y 2 ? 64 内切,那么 动圆的圆心 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 6.函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调递增区间是 A. (??,1) 育网 7.已知 F1 、 F2 分别是椭圆 轴,则
x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上且 MF2 ? x 4 3

C.抛物线

D.双曲线的一支

B. (0,1)

C. (0, ??)

D. (1, ??) 21 世纪教

| MF1 | 等于 21 世纪教育网
A.
1 2

B.

3 2

C.

5 2

D.3

8.函数 f ( x) ? x 2e? x 在 [1,3] 上的最大值为
1

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A.1 9. 设双曲线

B. e?1

C. 4e?2

D. 9e?3

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双 2 a b

曲线的离心率为( A.
5 4

). B. 5 C.
5 2

D. 5

10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8x C. y 2 ? 4x ).

D. y 2 ? 8x

11. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4x 上一动点 P 到直 线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. 4
2

D. 1

12. 已知函数 f ( x) 在 R 上可导,且 f ( x) ? x ? 2 xf ' (2) ,则 f (?1) 与 f (1) 的大小

A

f (?1) ? f (1) B

f (?1) ? f (1) C

f (?1) ? f (1) .D 不确定

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答题卷上) 13.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ? p 为________。 14.双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 到其渐近线的距离为___________。 4 5

15.若函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? a2 x 在 x ? 1 处有极小值,则实数 a 等于_________ 。 16.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 1 的点到顶点的距离与到准线的距离 相等,则该抛物线的方程为______________。 三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分,请叫解答过程写在答题卷上) 3x ? 1 17. (本题 12 分):已知 f ( x) ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程。21 x ?1 世纪教育网

2

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18. (本题 14):已知函数 f ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 1 (1)若 a ? 1, 求函数 f ( x) 的单调区间; (2)已知 a ? 0 ,若 ?x ?[1, 2] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 14 分)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1 , 0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

3 2

3

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20. (本题 14 分 )已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ,且点 P(1, 2) 在抛物线上。21 世纪教 育网 (1)求 p 的值 (2)直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 10 ,求直线 l 的 方程。

2 21.命题 p:关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;

命题 q:函数 f ( x) ? laga x 在 (0, ??) 上递增 若 p ? q 为真,而 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。

高中数学选修 1-1 考试题答案
4

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一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.C 2.B 3.D 4.A 7.C 8. C 9. D 10. B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13 . ?x ? R,sin x ? 1 16. y 2 ? 8x 三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)21 世纪教育网 解: f '( x) ?
1 2

5.A 11. A

6.B 12. B

14 . 5

15 . 1 (答 1 或 -4 扣 2 分)

?3x2 ? 2 x ? 3 ( x2 ? 1)2

f '(1) ? ? f (1) ? 2

1 故切线方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 18. (14 分)

解: (1)当 a ? 1 时, f '( x) ? 3x2 ? 3 由 f '( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ,由 f '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) (2)由题 ?x ?[1, 2] ,恒有 x3 ? 3a 2 x ? 1 ? 0
x3 ? 1 ? ?x ?[1, 2], 恒有 3a ? x
2

x3 ? 1 1 1 令 h( x) ? ? x2 ? , h '( x) ? 2 x ? 2 ? x x x
当 x ? [1, 2] 时, h '( x) ? 0 21 世纪教育网
? h( x) 在 [1, 2] 上单调递增, h( x)min ? h(1) ? 2

1 2( x3 ? ) 2 , x2

故 3a 2 ? 2

又 a ? 0 ?0 ? a ?

6 3

19. (Ⅰ) 由题意, c=1,可设椭圆方程为
5

x2 y 2 1 9 ? 2 ? 1, ? 2 ? 1, 解得 b2 ? 3 , 2 2 1? b 4b a b

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3 b 2 ? ? (舍去) 4

所以椭圆方程为 分

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

……………4

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

x2 y 2 3 ? 1得 ,代入 ? 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k ………8 分 2

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

……12 分

20. (12 分)解: (1)? 点 P(1, 2) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上
? 4 ? 2 p, 即 p ? 2

(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 21 世纪教育网 若 l ? x 轴,则 | AB |? 4, 不适合 故设 l : y ? k ( x ? 1) ,代入抛物线方程得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0
? ? 16k 2 ? 16 ? 0

由 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ?

2(k 2 ? 2) 2 ? 2 ? 10 ,得 k 2 ? 2 3 k
6

选修 1-1 测试题及答案

? 直线 l 的方程为 y ? ?

6 ( x ? 1) 3

2 21.解:命题 p:关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;

pT ?

? ? ? 2a ? ? 42 ? 0
2

,即 ?2 ? a ? 2

命题 q:函数 f ( x) ? laga x 在 (0, ??) 上递增;qT ? a ? 1 ∵ p ? q 为真,而 p ? q 为假,∴pq 一真一假 p 真 q 假时,pT ? ?2 ? a ? 2 ;qF ? a ? 1 ;∴ ?2 ? a ? 1 p 假 q 真时,pF ? a ? ?2或a ? 2 ;qF ? a ? 1 ;∴ a ? 2

7


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