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安徽省巢湖市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学文试题 Word版含答案


安徽省巢湖市第一中学 2013-2014 学年高三第一学期第一次月考

数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,满分 50 分) 1.设集合 U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则?UM= ( A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4} ( ). ).

2.方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 A.0<a≤1 C.a≤1 3.下列命题中的真命题是 3 A.?x∈R,使得 sin x+cos x=2 C.?x∈(-∞,0),2x<3x B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0 ( ).

B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 D.?x∈(0,π),sin x>cos x

?log2?8-x?,x≤0, 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为 ?f?x-1?-f?x-2?,x>0, ( A.1 ). B.2 C.-2 D.-3

5.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, 则 f(7)等于( A.-2 ). B.2 C.-98 D.98 ).

6.已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞)

D.[3,+∞)

7. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围 ( ) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

A.(-1,2) C.(-3,6)

8.已知锐角 α 的终边上一点 P(sin 40° ,1+cos 40° ),则锐角 α= ( A.80° B.70° C.20° ). D.10°

9.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= 4 A.-3 5 B.4 3 C.-4 4 D.5

(

).

→ → → 10.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的 面积比为 ( 1 A. 5 ). 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5

二、填空题(每小题 5 分,满分 25 分)

→ → → 11.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点, 1 2 若 A,B,C 三点共线,则a+b的最小值为________. 12.函数 y=log 1 (x2-3x+2)的单调增区间为________.
2

13.若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为________. 14.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取值范围是________. 15.给出下列命题: 3 ①存在实数 x, 使得 sin x+cos x= ; ②若 α , 为第一象限角, α >β , β 且 2 ?π 2x? 则 tan α >tan β ;③函数 y=sin? - ?的最小正周期为 5π ;④函数 y 5? ?3 ?2x 7π =cos? + 2 ?3 ? ?是奇函数; ? π? π ? 个单位,得到 y=sin?2x+ ?的图象. 4? 4 ?

⑤函数 y=sin 2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上). 三.解答题 ?x π ? ?x π ? 16.(12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?·cos? + ?-sin(x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x) 6 在区间[0,π ]上的最大值和最小值.

17.(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数;

-2x+b 是奇函数. 2x+1+a

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

18.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A-sin B)+ysin B=csin C 上. (1)求角 C 的值; (2)若 a2+b2=6(a+b)-18,求△ABC 的面积.

19.(13 分)已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-4x+3 垂直,求切点坐标与切线 的方程.

20.(13 分)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值.

21.(13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m= 3A 3A? A A? ? ? ?cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2 ?,且满足|m+n|= 3. ? ? ? ? (1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状.

巢湖一中 2014 届高三文科数学第一次月考试卷答案
1.A 11. 8 16. 解 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8..B 9.D 1 0.C 14. (-1,0) 15. ③④ 13. [-1,1] π? ? (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x ? ? 12. (-∞,1)

? 3 ? 1 ? π? = 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?=2sin?x+3?, ? ? 2 2 ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象, ? π? ? π? π ? π? ∴g(x)=f?x-6?=2sin[?x-6?+3]=2sin?x+6?. ? ? ? ? ? ? ∵x∈[0,π], π ?π 7π? ∴x+6∈?6, 6 ?, ? ?

π π π ? π? ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ? 17. (1)解 因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b =0,解得 b=1, 2+a 从而有 f(x)= -2x+1 . 2x+1+a

故 f(0)=0,即

1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a

1?1-2 ? ?. ∴f(x)=2? x ?2 +1?
x

∴a=2,b=1.

(2)证明

设 x1<x2, 1-2x1 1-2x2 ?1-2x1??1+2x2?-?1-2x2??1+2x1? - = 2?2x1+1? 2?2x2+1? 2?2x1+1??2x2+1?

f(x1)-f(x2)= =

2x2-2x1 . ?2x1+1??2x2+1? 故 f(x)是 R 上的减函数.

∵x1<x2,则 2x2-2x1>0,∴f(x1)>f(x2). (3)解

由(2)知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-

2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的 减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 立, 1 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3. 18. 解 (1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0 恒成

由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2,即 a2+b2-c2=ab, 由余弦定理,得 cos C= π 结合 0<C<π,得 C=3. (2)由 a2+b2=6(a+b)-18,得(a-3)2+(b-3)2=0, 从而得 a=b=3, 1 π 9 3 所以△ABC 的面积 S=2×32×sin 3= 4 . 19.解 (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. a2+b2-c2 1 2ab =2,

∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y-(-6)=13(x-2), 即 13x-y-32=0. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2+1, 0
2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0+1)(x-x0)+x3+x0-16. 0

又∵直线 l 过点(0,0),∴0=(3x2+1)(-x0)+x3+x0-16, 0 0 整理得 x3=-8,∴x0=-2, 0 ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). x (3)∵切线与直线 y=-4+3 垂直, ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x2+1=4, 0 ?x0=1, ?x0=-1, ∴x0=± 1,∴? 或? ?y0=-14 ?y0=-18. 所以切线方程为 y-(-14)=4(x-1)或 y-(-18)=4(x+1). 即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0. 20.解 (1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b,

由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′?2?=0, ?12a+b=0, 故有? 即? ?f?2?=c-16, ?8a+2b+c=c-16. ?12a+b=0, ?a=1, 化简得? 解得? ?4a+b=-8, ?b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12. 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 2,当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(- ∞,-2)上为 增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x=2 处取得极小 值 f(2)=c-16. 由题设条件知,16+c=28,解得 c=12, 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,因此 f(x)在[- 3,3]上的最小值为 f(2)=-4.

21.解

(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 1 ∴cos A=2.∵0<A<π,∴A

3A A 3A A? ? 即 1+1+2?cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 ?=3, ? ? π =3.

→ → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|,∴sin B+sin C= 3sin A, 3 ?2π ? ∴sin B+sin? 3 -B?= 3× 2 , ? ? 3 2. 2π π π 5π ∵0<B< 3 ,∴6<B+6< 6 , π π 2π π π ∴B+6=3或 3 ,故 B=6或2. π? 3 1 3 ? 即 2 sin B+2cos B= 2 ,∴sin?B+6?= ? ?

π π π π 当 B=6时,C=2;当 B=2时,C=6. 故△ABC 是直角三角形.


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