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三角函数,图象及性质,(教师版)第二讲


三角函数的图象与性质
一、兴趣导入(Topic-in):
小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全 A。妈妈问:“是修女教得好? 是教材好?是祷告?...”“都不是,”小明说,“进学校的第一天,我看见一个人被钉死在加号上 面,我就知道...他们是玩真的。”

二、学前测试(Testing):
? π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+3?,x∈R( ). ? ? A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C ?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ). ? ?
? ? ? ? ? π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

答案 A π? ? 3.(2011· 全国新课标)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 π, ? ? 且 f(-x)=f(x),则( ). π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ?
——————————————————————————————————————————————————— 1

π? ? 解析 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin?ωx+φ+4?, 由最小正周期为 π 得 ω=2, 又由 f(- ? ? π π π π x) =f(x)可知 f(x)为偶函数, 因此 φ+4=kπ+2(k∈Z), 又|φ|<2可得 φ=4, 所以 f(x)= 2cos 2x, π? ? 在?0,2?单调递减. ? ? 答案 A ? π? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ). ? ? A.(-π,0) ? 3π ? B.?- 4 ,0? ? ? ?π ? D.?2,0? ? ?

?3π ? C.? 2 ,0? ? ?

π π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x-4=kπ(k∈Z),x=kπ+4(k∈Z),由 k= 3 ? π? ? 3π ? -1,x=-4π 得 y=sin?x-4?的一个对称中心是?- 4 ,0?. ? ? ? ? 答案 B π? ? 5.(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos?2x+6?的最小正周期为________. ? ? 2π 解析 T= 2 =π. 答案 π

三、知识讲解(Teaching):
1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ? (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ?

2.三角函数的图象和性质
——————————————————————————————————————————————————— 2

函数 性质 定义域

y=sin x
R

y=cos x
R

y=tan x
π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象

值域

[-1,1]

[-1,1] 无对称轴

R

对称性

π 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称轴:x=kπ+2(k∈Z π ? ? kπ+2,0??k∈Z? ? 对称中心 : 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) ? ? 2π 2π

?kπ ? 对称中心:? 2 ,0? ? ? (k∈Z) π

周期

单调性

π ? 单 调 增 区 间 ?2kπ-2 , ? 单调增区间 π? [2kπ-π,2kπ](k∈Z); 2kπ+ 2? (k∈Z); ? 单调减区间 π ? 单 调 减 区 间 ?2kπ+2 , ? [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 3π? 2kπ+ 2 ? (k∈Z) ? 奇 偶

单调增区间 π π? ? ?kπ-2 ,kπ+ 2? ? ? (k∈Z)

奇偶性



两条性质 (1)周期性 2π π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx, 而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式

四、强化练习(Training)
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考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】?(1)求函数 y=lgsin 2x+ 9-x2的定义域. π? ? (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ? [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利用单位圆或图象求 x 的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决. π ? ?kπ<x<kπ+ ,k∈Z, ?sin 2x>0, 2 解 (1)依题意? ?? 2 ?9-x ≥0 ? ?-3≤x≤3,
? ? ? ? π π? ??x?-3≤x<-2 ,或0<x<2?. ? ? ? ? ?

? 2 2? (2)设 sin x=t,则 t∈?- , ?. 2 2 ? ? ? 2 2? ? 1? 5 ∴y=1-sin2x+sin x=-?t-2?2+4,t∈?- , ?, ? ? 2? ? 2 1 π 5 故当 t=2,即 x=6时,ymax=4, 1- 2 2 π 当 t=- 2 ,即 x=-4时,ymin= 2 . (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角函 数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最 值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二 次函数求值域(最值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? ? π? ? π? ? π π? (2)已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· sin?x+4?,求函数 f(x)在区间?-12,2?上的最大值 ? ? ? ? ? ? ? ? 与最小值. 解 (1)要使函数有意义, 必须使 sin x-cos x≥0.利用图象, 在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin
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x 和 y=cos x 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以定义域 为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

1 3 1 3 (2)由题意得:f(x)=2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)· (sin x+cos x)=2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x π? 1 3 ? -cos2x=2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? π ? π 5π? ? π π? 又 x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? ? ? 3 ? ∴sin?2x-6?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? π 故当 x=3时,f(x)取最大值 1; π 3 当 x=-12时,f(x)取最小值- 2 . 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 ? π? 【例 2】?(2011· 大同模拟)函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ). ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为2的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性. π? 2π ? π? ? 解析 y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ? 答案 A 求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函数式化 为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周 期公式求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________.

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5

解析 由 f(x)=(sin x-cos x)sin x=sin2x-sin xcos x= ∴最小正周期为 π. 答案 π

1-cos 2x 1 π? 1 2 ? -2sin 2x=- 2 sin?2x+4?+2. 2 ? ?

考向三 三角函数的单调性 ?π ? 【例 3】?已知 f(x)=sin x+sin?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. ? ? [审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ)的形式,再求单调区间. ?π ? 解 f(x)=sin x+sin?2-x? ? ? ? π? =sin x+cos x= 2sin?x+4?. ? ? π π π 由-2+2kπ≤x+4≤2+2kπ,k∈Z, 3π π 得:- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z, π? ? 又 x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ? 求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时, 只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,若 ω 为负则要先把 ω 化为正数. π? ? 【训练 3】 函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? π? π? π? ? ? ? 解析 f(x)=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?,它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间. ? ? ? ? ? ? π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2 ,k∈Z,得:kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.故所求函数的减区间为 π 5π? ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π 5π? ? 答案 ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ? 考向四 三角函数的对称性 π? ? 【例 4】?(1)函数 y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ). ? ? π π A.x=-6 B.x=-12 π π C.x=6 D.x=12

π π ? ? (2)若 0<α<2,g(x)=sin?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. ? ?
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[审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,把“ωx+φ”看作一个整体,即可求. π π (2)利用4+α=kπ+2(k∈Z),求解限制范围内的 α. π kπ π 解析 (1)令 2x+3=kπ(k∈Z),得 x= 2 -6(k∈Z), π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x=-6.本题也可用代入验证法来解. π π π π ? ? (2)要使 g(x)=cos?2x+4+α?为偶函数,则须4+α=kπ+2,k∈Z,α=kπ+4,k∈Z, ? ? π π ∵0<α<2,∴α=4. π 答案 (1)A (2)4 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中 心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. π? π ? 【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=________. ? ? (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________. π 解析 (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 即 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+2,k∈Z. π π 答案 (1)4 (2)kπ+2,k∈Z

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函 数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的 思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.
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一、根据三角函数的单调性求解参数 π? ? 【 示 例 】 ? (2011· 镇 江 三 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = sin ?ωx+3? (ω > 0) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? ? 5π π? π 7π? ? ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z),单调递减区间为?kπ+12,kπ+12?(k∈Z),则 ω 的值为________. ? ? ? ?

二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011· 泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的 一个值为( ). π π π π A.6 B.3 C.-6 D.-3

▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)
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π? π ? 【示例】 ? (2011· 合肥模拟 )若函数 y= sin ωx· sin ?ωx+2?(ω > 0)的最小正周期为7 ,则 ω = ? ? ________.

▲根据三角函数的最值求参数(教师备选) π 【示例】? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x=3处有最小值-2,则常数 a、b 的值是( ). A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1

五、反思总结(Thinking): 堂堂清落地训练
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(5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
1. 函数 y ? sin(2 x ? ?)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( C )

A.

0

B.

?
4

C.

?
2

D.

?

2. f ( x) ? sin

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 3 3
B.



C



A.3π

4 ? 3

C. ?

3..函数 y ? sin 2x ? 3 cos2x ( ? A. ?? 2,2? 4.若函数 y ? cos(? x ? A. B. ?? 2,0?

?
6

?x?

?

3 2

D. ?

7 6

6

) 的值域为 B
C. ?0,2? D. [? 3,0]

?
3

) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为
B. 12 C.2 A ) D. x ?

?
2

,则 ? 等于 C D.4



1 2

5. 函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
2
2 5

5 ? ) 的一条对称轴方程( 2
B. x ? ?

?

4

C. x ?

?
8

5 ? 4

6.

函数 y ? 3cos( x ? ) 的最小正周期是(

?

6

D )

A.

2? 5

B.

5? 2

C.

2?

D.

5?

7.方程 2 cos( x ?

?
?
4
6

) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是

7 ? 12



8.函数 y ? 2 sin(

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间

? 5? [ , ] 3 6

———————————————————————————————————————————————————

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