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宁夏银川市普通高中2016届高三数学模拟试卷(文科)


2016 年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.设全集 U={x|x∈N*且 x<10},已知集合 A={2,3,6,8},B={x|x﹣5≥0},则集合(?UA) ∩B=( ) A.{1,5,7,9}B.{5,7,9}C.{7,9}D.{5,6,7,8,9} 2.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关,通过随机抽查 110 名学 生,得到如下 2×2 的列联表:由公式 K2= ,算得

K2= 附表(临界值表) : 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 男 40 20 60 女 20 30 50

≈7.8.

0.001 10.828 总计 60 50 110

爱好 不爱好 总计 参照附表,以下结论正确是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.只有不超过 1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 4.已知命题 p:?x∈R,sinx+cosx=2,q:?x∈R,x2+x+1>0,则下列命题中正确的是( A.p∧qB.¬p∧qC.p∨(¬q)D. (¬p)∧(¬q) 5.设函数 f(x)= A.﹣1B.1C.﹣2D.2 6.过双曲线 ,则 f[f(﹣1)]=( )



=1(a>0, b>0)的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于 A, )

B 两点,已知|AB|等于虚轴长的两倍,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.2 )

7.某算法的程序框图如图所示,则输出 S 的值是(

A.6B.24C.120D.840 8.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

9.设 x,y 满足

,则 z=x+y(



A.有最小值 2,最大值 3B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 10.关于函数 f(x)=2sin2x+2 cos2x,下面结论正确的是( A.在区间 C.在区间 单调递减 B.在区间 单调递减 D.在区间



单调递增 单调递增

11.已知抛物线 C:y2=16x,焦点为 F,直线 l:x=﹣1,点 A∈l,线段 AF 与抛物线 C 的交 点为 B,若 =5 ,则| |=( ) A.6 B.35C.4 D.40 12.设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0, )B. ( ) ,e)C. ( , )D. (0, )

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

13.已知向量

满足 + =(2,﹣8) , ﹣ =(﹣8,16) ,则 与 夹角的余弦值

为 . 14.三棱锥 P﹣ABC 中,AB=BC= ,AC=2,PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥的外接 球表面积为 . 15.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,在(0,+∞)是增函数,且 f(2)=0,则满足 f(x﹣1)<0 的 x 的范围是 . 16. B, C 的对边分别是 a, b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 若 a=2 且 b∈[1,3],则 c 的最小值为 . sinC,

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.若数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+n. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

18.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性,是精神文明建 设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进 行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者进行调查,将他们年龄分成 6 段:[20,30) , [30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80]后得到如图的频率分布直方图.问: (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,求这两名广场舞者中年龄在[30,40) 恰有 1 人的概率.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=2,点 E,F 分别为 AB 和 PD 的中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求点 F 到平面 PEC 的距离.

20.设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线

? 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 21.已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

四.请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请在答题卡涂上题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D. (1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且 ,求 AC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标 系相同的长度单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 C2 的极坐标方程为 θ= 且 C1 与 C2 交点的横坐标为 . ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程; (Ⅱ)设 A,B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A,B 的任意一点,若 直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,求证:|OP|?|OQ|为定值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

2016 年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.设全集 U={x|x∈N*且 x<10},已知集合 A={2,3,6,8},B={x|x﹣5≥0},则集合(?UA) ∩B=( ) A.{1,5,7,9}B.{5,7,9}C.{7,9}D.{5,6,7,8,9} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据集合的定义与基本运算法则,进行计算即可. 【解答】解:全集 U={x|x∈N*且 x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A={2,3,6,8},B={x|x﹣5≥0}, ∴?UA={1,4,5,7,9}, ∴集合(?UA)∩B={5,7,9}. 故选:B.

2.在复平面内,复数 z=

对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数,求出复数对应点,即可得到选项. 【解答】解:复数 z= 复数对应点( , 故选:D. 3.某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关,通过随机抽查 110 名学 生,得到如下 2×2 的列联表:由公式 K2= ,算得 = )在第四象限. = ,

K2= 附表(临界值表) : 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 男 40 女 20

≈7.8.

0.001 10.828 总计 60

爱好

20 30 50 不爱好 60 50 110 总计 参照附表,以下结论正确是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.只有不超过 1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【考点】独立性检验. 【分析】由 K2 的近似值和表格可得在犯错误的概率不超过 0.01=1%的前提下,认为“爱好该 项运动与性别有关”,结合选项可得. 【解答】解:∵K2= ≈7.8>6.635,

∴在犯错误的概率不超过 0.01=1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” 即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选:C 4.已知命题 p:?x∈R,sinx+cosx=2,q:?x∈R,x2+x+1>0,则下列命题中正确的是( A.p∧qB.¬p∧qC.p∨(¬q)D. (¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】对于命题 p:由于 sinx+cosx= q:由于△ =1﹣4<0,即可判断出真假. 【解答】解:对于命题 p:∵sinx+cosx= <2,因此是假命题; ,即可判断出真假;对于命题 )

对于命题 q:∵△=1﹣4<0,∴?x∈R,x2+x+1>0,是真命题. ∴只有¬p∧q 是真命题. 故选:B.

5.设函数 f(x)= A.﹣1B.1C.﹣2D.2

,则 f[f(﹣1)]=(



【考点】分段函数的应用. 【分析】直接利用分段函数,由里及外,逐步求解即可. 【解答】解:函数 f(x)= 则 f(﹣1)=21+1=4. f[f(﹣1)]=f(4)=1﹣log24=1﹣2=﹣1. 故选:A. ,

6.过双曲线

=1(a>0, b>0)的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于 A, )

B 两点,已知|AB|等于虚轴长的两倍,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.2

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】联立方程组求出 A,B 的坐标和|AB|的大小,建立方程组进行求解即可. 【解答】解:不妨设直线过双曲线的右焦点 F(c,0) , 双曲线的渐近线为 y=± x 则当 x=c 时,y=± ?c=± 设 A(c, 则|AB|= ) ,B(c,﹣ , ) ,

∵|AB|等于虚轴长的两倍, ∴ =2?(2b)=4b,

则 c=2a, 则 e= = 故选:D 7.某算法的程序框图如图所示,则输出 S 的值是( ) ,

A.6B.24C.120D.840 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 S=2×3×4×5 值,模拟程序的运行过程,用表格将程序运行过程中变量的 值的变化情况进行分析,不难给出答案. 【解答】解:执行循环体前,S=1,i=1 第一次执行循环体后,i=2,S=1×2,不满足退出循环的条件

第二次执行循环体后,i=3,S=1×2×3,不满足退出循环的条件 第三次执行循环体后,i=4,S=1×2×3×4,不满足退出循环的条件 第四次执行循环体后,i=5,S=1×2×3×4×5,满足退出循环的条件 此时 S=120 故输出结果为:120 故选 C 8.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三棱锥 C1﹣BDE,其中 E 是 CD 中点,由此能求出该四面体的体积. 【解答】解:由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三 棱锥 C1﹣BDE, 其中 E 是 CD 中点, △ BDE 面积 ∴该四面体的体积: V= = . ,三棱锥 C1﹣BDE 的高 h=CC1=2,

故选:A.

9.设 x,y 满足

,则 z=x+y(



A.有最小值 2,最大值 3B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 【考点】简单线性规划. 【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题,我们先在坐标系中画出满足约束条件

对应的平面区域,根据目标函数 z=x+y 及直线 2x+y=4 的斜率的关系,即可得

到结论.

【解答】解析:如图作出不等式组表示

的可行域,如下图所示:

由于 z=x+y 的斜率大于 2x+y=4 的斜率, 因此当 z=x+y 过点(2,0)时,z 有最小值, 但 z 没有最大值. 故选 B 10.关于函数 f(x)=2sin2x+2 A.在区间 C.在区间 cos2x,下面结论正确的是( )

单调递减 B.在区间 单调递减 D.在区间

单调递增 单调递增

【考点】正弦函数的单调性;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin2x+2 在区间 确,B 不正确. 在区间 不正确, 故选:A. 上,2x+ ∈[0,π],函数 y=4sin(2x+ )没有单调性,故 C、D 上,2x+ ∈[ , cos2x=4sin(2x+ ) , )单调递减,故 A 正

],函数 y=4sin(2x+

11.已知抛物线 C:y2=16x,焦点为 F,直线 l:x=﹣1,点 A∈l,线段 AF 与抛物线 C 的交 点为 B,若 =5 ,则| |=( ) A.6 B.35C.4 D.40 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设 A(﹣1,a) ,B(m,n) ,且 n2=16m,利用向量共线的坐标表示,由 确定 A,B 的坐标,即可求得| |. 【解答】解:由抛物线 C:y2=16x,可得 F(4,0) , 2 设 A(﹣1,a) ,B(m,n) ,且 n =16m, =5 ∵ , ∴﹣1﹣4=5(m﹣4) ,∴m=3, ∴n=±4 , ∵a=5n,∴a=±20 , ∴| |= =35. =5 ,

故选:B. 12.设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. (0, )B. ( ,e)C. ( , )D. (0, )

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点可化为|lnx|﹣ax=0 在区间(0,4)

上有三个不同的解,令 a=

=

;讨论函数的取值即可.

【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点, ∴|lnx|﹣ax=0 在区间(0,4)上有三个不同的解,

令 a=

=



则当 0<x<1 时,﹣ 当 1≤x<4 时,a= 0≤ ≤ ,

的值域为(0,+∞) ; 在[1,e]上是增函数,

在[e,4)上是减函数, < 故当 a∈( 故选 C. ≤ ; , )时,有三个不同的解.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知向量 . 【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】利用两个向量的加减法法则求得 和 ,再利用两个向量的数量积的定义求得 与 夹角的余弦值. 【解答】解:向量 满足 + =(2,﹣8) , ﹣ =(﹣8,16) , 满足 + =(2,﹣8) , ﹣ =(﹣8,16) ,则 与 夹角的余弦值为 ﹣

设 与 夹角为 θ, 求得 =(﹣3,4) , =(5,﹣12) , ∴cosθ= = =﹣ ,

故答案为:



14.三棱锥 P﹣ABC 中,AB=BC= ,AC=2,PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥的外接 球表面积为 8π . 【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】根据已知条件得出线面的垂直,构造长方体,得出外接球的半径即可. 【解答】解:∵三棱锥 P﹣ABC 中,AB=BC= ,AC=2,PC⊥平面 ABC,PC=2, ∴运用勾股定理盘 AB⊥BC 构造长方体如图:长 ,宽 高 2, =2 , 体对角线为: ∴该三棱锥的外接球半径为 ,表面积为:4π×2=8π,

故答案为:8π.

15.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,在(0,+∞)是增函数,且 f(2)=0,则满足 f(x﹣1)<0 的 x 的范围是 (﹣∞,﹣1)∪(1,3) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】因为本题函数 f(x)是抽象型的函数,所以要求 f(x﹣1)<0 的解集,必须利用 函数的单调性,结合已知奇函数的性质得到答案. 【解答】解:∵f(x﹣1)<0,f(2)=0, ∴f(x﹣1)<f(2) , ∵f(x)在(0,+∞)是增函数, ∴0<x﹣1<2, ∴1<x<3; ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(2)=0, ∴f(x)在(﹣∞,0)也是增函数,f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴f(x﹣1)<0 等价于 f(x﹣1)<f(﹣2) , ∴x﹣1<﹣2, ∴x<﹣1; 综上不等式 f(x﹣1)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 1<x<3} 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,3) . 16. B, C 的对边分别是 a, b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 若 a=2

sinC,

且 b∈[1,3],则 c 的最小值为 3 . 【考点】正弦定理. 【分析】由已知及正弦定理,结合余弦定理,可得 3cosC= sinC,从而可求 tanC,利用同 2 +9, 角三角函数基本关系式可求 cosC, 从而可求 c2=b2﹣2 b﹣12= (b﹣ ) 结合范围 b∈[1, 3],利用二次函数的图象和性质即可解得 c 的最小值. 【解答】解:在△ ABC 中,∵ sinC, sinC,整理可得:a2+b2﹣c2=

∴由正弦定理可得:

=

absinC,

又∵由余弦定理可得:a2+b2﹣c2=2abcosC, ∴2abcosC= ∴解得:tanC= absinC,整理可得:3cosC= ,C= ,∴cosC= , sinC,

∴c2=b2﹣2 b﹣12=(b﹣ )2+9, ∵b∈[1,3], ∴当 b= 时,c 取最小值为 3. 故答案为:3. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.若数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+n. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列;

(Ⅱ)记 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)在已知的数列递推式中取 n=1 求得数列首项,取 n=n﹣1 得另一递推式,两 式作差可得 an=2an﹣1﹣1 (n≥2) , 然后利用构造法可得数列{an﹣1}是以 2 为公比的等比数列; (Ⅱ)由数列{an﹣1}是以 2 为公比的等比数列求得 an,代入 bn=log2(an+1)后求出 bn=n, 再代入后利用裂项相消法求和. 【解答】解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2a1+1,解得 a1=﹣1, 当 n>1 时,由题意,Sn﹣1=2an﹣1+(n﹣1) 所以,Sn﹣Sn﹣1=(2an+n)﹣[2an﹣1﹣(n﹣1)]=2an﹣2an﹣1+1,即 an=2an﹣1﹣1, 所以 an﹣1=2(an﹣1﹣1) , 即 所以,数列{an﹣1}是首项为﹣2,公比为 2 等比数列; (2)由上, 所以 , ,



所以,



18.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性,是精神文明建 设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进 行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者进行调查,将他们年龄分成 6 段:[20,30) , [30,40) [40 50 [50 60 [60 70 [70 80 , , ) , , ) , , ) , , ]后得到如图的频率分布直方图.问: (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,求这两名广场舞者中年龄在[30,40) 恰有 1 人的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.

【分析】 (1)先求出 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的频率,由此能估计在 40 名广 场舞者中年龄分布在[40,70)的人数. (2)利用频率分布直方图,能估计 40 名广场舞者年龄的众数和中位数. (3)年龄在[20,40)中的广场舞者共 10 人,其中[30,40)区间内有 4 人,由此能求出从 年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,这两名广场舞者中年龄在[30,40)恰有 1 人的 概率. 【解答】解: (1)40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的频率为: (0.020+0.030+0.025)×10=0.75, ∴估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为: 0.75×40=30. (2)频率分布直方图中小矩形最高的是区间[50,60) , ∴40 名广场舞者年龄的众数的估计值为 55. ∵[20,50)区间人的频率为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35, ∴40 名广场舞者年龄的中位数的估计值为: 50+ =55.

(3)年龄在[20,40)中的广场舞者共(0.005+0.010)×10×40=6 人, 其中[30,40)区间内有 0.010×40×10=4 人, ∴从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,这两名广场舞者中年龄在[30,40)恰有 1 人的概率: P= = .

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=2,点 E,F 分别为 AB 和 PD 的中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求点 F 到平面 PEC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)设 PC 的中点为 Q,连接 EQ,FQ,证明四边形 AEQF 为平行四边形,得到 AF∥EQ,即可证明 AF∥平面 PEC. (2)点 F 到平面 PEC 的距离等于点 A 到平面 PEC 的距离,设为 d.通过 VA﹣PEC=VP﹣AEC, 求解即可.

FQ, FQ∥DC 且 【解答】 (1) 证明: 设 PC 的中点为 Q, 连接 EQ, 由题意, 且 ,故 AE∥FQ 且 AE=FQ,所以,四边形 AEQF 为平行四边形

AE∥CD ,

所以,AF∥EQ,且 EQ?平面 PEC,AF?平面 AEC 所以,AF∥平面 PEC (2)解:由(1) ,点 F 到平面 PEC 的距离等于点 A 到平面 PEC 的距离,设为 d. 由条件易求 , 所以由 VA﹣PEC=VP﹣AEC 得 解得 , ,故

20.设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线

? 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 【考点】 椭圆的简单性质; 等差数列的性质; 椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (I)根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,进而根据|AF2|,|AB|,|BF2|成等差 数表示出|AB|,进而可知直线 l 的方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入直线和椭圆方程, 联立消去 y,根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2 进而根据 ,求得 a 和 b 的关系,

进而求得 a 和 c 的关系,离心率可得. (II)设 AB 的中点为 N(x0,y0) ,根据(1)则可分别表示出 x0 和 y0,根据|PA|=|PB|,推 知直线 PN 的斜率,根据 求得 c,进而求得 a 和 b,椭圆的方程可得.

【解答】解: (I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,



,l 的方程为 y=x+c,其中



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A、B 两点坐标满足方程组 化简的(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2﹣b2)=0 则

因为直线 AB 斜率为 1,|AB|= ,故 a2=2b2

|x1﹣x2|=





所以 E 的离心率

y0) (II) 设 AB 的中点为 N (x0, , 由 (I) 知 由|PA|=|PB|,得 kPN=﹣1, 即 得 c=3,从而 故椭圆 E 的方程为 .





21.已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导数,利用导数的正负,即可讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)求出 g(x)max=g(2)=1,当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立,然后利用导数求函数 u(x)=x﹣x2lnx 在区间[ ,2]上取得最大值,则实数 a 的取 值范围可求.

【解答】解: (1)h(x)=

=

+lnx,h′(x)=



①a≤0,h′(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增 ②a>0 时,h'(x)>0,则 x∈( ,+∞) ,函数 h(x)的单调递增区间为( h'(x)<0,则 x∈(0, ) ,函数 h(x)的单调递减区间为(0, ) , . (2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣ ) , x g′(x) g(x) 0 ﹣3 2

,+∞) ,

0 + ﹣ 1 递减 极小值 递增 由上表可知,g(x)在 x=2 处取得最大值,即 g(x)max=g(2)=1 所以当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立, 记 u(x)=x﹣x2lnx,所以 a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知 u′(1)=0, 当 x∈( ,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则 u′(x)>0,∴u(x)在 x∈( ,2)上单调递 增; 当 x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则 u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减; 故当 x=1 时,函数 u(x)在区间[ ,2],上取得最大值 u(1)=1, 所以 a≥1,故实数 a 的取值范围是[1,+∞) . 四.请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请在答题卡涂上题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D. (1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且 ,求 AC 的长.

【考点】相似三角形的判定. 【分析】 (1)证明△ CAP~△ BCP,然后推出 AC?CP=2AP?BD; (2)设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2,由切割定理可得 PA?PB=PC2,求出 x,利用 (1)即可求解 AC 的长. 【解答】 (1)证明:∵PC 为圆 O 的切线,∴∠PCA=∠CBP, 又∠CPA=∠CPB,故△ CAP~△ BCP, ∴ ,即 AP?BC=AC?CP.

又 BC=2BD,∴AC?CP=2AP?BD… (2)解:设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2,

由切割定理可得 PA?PB=PC2,∴x(2x+1)=21,∵x>0,∴x=3,∴BC=5, 由(1)知,AP?BC=AC?CP,∴ ,∴ …

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标 系相同的长度单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 C2 的极坐标方程为 θ= 且 C1 与 C2 交点的横坐标为 . ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程; (Ⅱ)设 A,B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A,B 的任意一点,若 直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,求证:|OP|?|OQ|为定值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)求出曲线 C1 的普通方程;曲线 C2 的直角坐标方程,求出交点坐标,代入曲 线 C1 的普通方程求出 a,即可得到结果. (Ⅱ)求出 A 的坐标为(0,1)设 M(2cosφ,sinφ) ,P(xP,0) ,Q(xQ,0) ,利用 kAM=kAP, kBM=kBQ,可得|OP|?|OQ|为定值 4. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 可知它们的交点为 所以曲线的普通方程为 ,曲线 C2 的直角坐标方程为 y=x(x≥0)

,代入曲线 C1 的普通方程可求得 a2=4 …

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知曲线 C1 为椭圆,不妨设 A 为椭圆 C1 的上顶点,则 A 的坐标为(0,1) 设 M(2cosφ,sinφ) ,P(xP,0) ,Q(xQ,0) 因为直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,所以 kAM=kAP,kBM=kBQ, 由斜率计算公式得到 所以|OP|?|OQ|=|xP|?|xQ|=4,可得|OP|?|OQ|为定值 4… [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

【考点】分段函数的应用;基本不等式. 【分析】 (1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式,解不等式即可. 2 ( )根据不等式的解集求出 a=1,利用 1 的代换结合基本不等式进行证明即可. 【解答】解: (1)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|, 即|x﹣2|+|x﹣1|≥7, 当 x≥2 时,不等式等价为 x﹣2+x﹣1≥7,即 2x≥10,即 x≥5,此时 x≥5;

当 1<x<2 时,不等式等价为 2﹣x+x﹣1≥7,即 1≥7,此时不等式不成立,此时无解, 当 x≤1 时,不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7,则 2x≤﹣4,得 x≤﹣2,此时 x≤﹣2, 综上不等式的解为 x≥5 或 x≤﹣2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) . (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], 由|x﹣a|≤1 得﹣1+a≤x≤1+a. 即 即 + 得 a=1, =a=1, (m>0,n>0) , )=1+2+ + ≥3+2 =2 +3.

则 m+4n=(m+4n) ( + 当且仅当 故 m+4n≥2 =

,即 m2=8n2 时取等号,

+3 成立.


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