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江苏省盐城文峰中学美术生高中数学一轮复习《15基本不等式》教学案


盐城市文峰中学高中数学美术生一轮复习教学案
§15 基本不等式

【考点及要求】 : 1.掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数的定理,了解其证明过程; 2.会用基本不等式证明不等式及解决简单的最大(小)值问题. 【基础知识】 : 1.设 a , b ? R , 则 a , b 的算术平均数为 2.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件: (2)等号成立的条件:当且仅当 3.几个重要的不等式: (1) a ? b ?
2 2
2
?

, a , b 的几何平均数为

.

. 时取等号.
b a a b

(a, b ? R )



?

?

( ab ? 0 )

(3) ab

?a ?b? ? ? (a, b ? R ) ? 2 ?

4.运用基本不等式求最值问题:积定和有最 【基本训练】 : 1.设 a , b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? 的 条件.
a b

值, 和定积有最

值.

a ?b ?a?b? ,则 p 是 q 成立 ? ? 2 ? 2 ?
2 2

2

2.若 a , b 为实数,且 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值为 3.设 x , y ? R 且 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的最大值是 4.函数 y ?
x?5 x ?1 ( x ? 0 ) 图象上最低点的坐标为
?

. .

.

【典型例题讲练】 例 1.已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求
1 x ? 1 y

的最小值.

练习.在算式“ 4 ? ? ? 1 ? ? ? 30 ”中的 ? , ? 中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和 最小,则这两个数构成的数对 ? ? , ? ? 应为 .

1

例 2.设 a ? b ? c , 且

1 a ?b

?

1 b ? c

?

n a ? c

,求 n 的最大值.

练习.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? ( 0 , 2 ) 成立,则 a 的一个可能值是
2

.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.已知 a ? b ? 1, P ? 系是
?

lg a ? lg b , Q ?

1 2

(lg a ? lg b ), R ? lg(

a ?b 2

), 则 P , Q , R 的大小关

. . 的最小值为 .

2.设 x , y ? R 且 x ? 2 y ? 4 ,则 lg x ? lg y 的最大值是
a b 3.设 a ? 0 , b ? 0 . 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则

1 a

?

1 b

4.已知 a ? 0 , b ? 0 ,

1 a

?

3 b

? 1 ,求 a ? 2 b 的最小值.

【课后作业】

2


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