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离散型随机变量及分布列


第七节

离散型随机变量及其分布列

[备考方向要明了]

考 什 么 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分

怎 么 考

高考对本节内容的考查多以实际问题为 布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象 的重要性,会求某些取有限个离散型随机变 量的分布列. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行 简单的应用. 背景,以解答题的形式考查离散型随机变量 的分布列的求法,且常与排列、组合、概率、 均值与方差等知识综合考查,难度适中,如 2012 年湖南 T17 等.

[归纳·知识整合] 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量:随着实验结果变化而变化的变量,常用字母 X,Y,ξ ,η ,?表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个 值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列, 简称为 X 的分布列, 有时也用等式 P(X=xi) =pi,i=1,2,?,n 表示 X 的分布列. (2)分布列的性质 ①pi≥0,i=1,2,3,?,n;② ?pi=1.
i=1 n

[探究] 1.离散型随机变量 X 的每一个可能取值为实数,其实质代表什么? 提示:代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.

3.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列:

X P

0 1-p

1

p

若随机变量 X 的分布列具有上表的形式,就称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1)为成 功概率. (2)超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的概 率为

P(X=k)=
N.
*

CMCN-M n ,k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈ CN

k n-k

X P

0 CC n CN
0 n-0 M N-M

1 CC n CN
1 n-1 M N-M

? ?

m
CC C
m n -m M N -M n N

如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布. [探究] 2.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确? 提示:可利用离散型随机变量分布列的两个性质加以检验. [自测·牛刀小试] 1.10 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件,可作为随机变量的是( A.取到产品的件数 C.取到次品的件数 B.取到正品的概率 D.取到次品的概率 )

解析:选 C 对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量,B、D 也是一个定值,而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2,是随机变量. 2.从标有 1~10 的 10 支竹签中任取 2 支,设所得 2 支竹签上的数字之和为 X,那么随 机变量 X 可能取得的值有( A.17 个 C.19 个 ) B.18 个 D.20 个

解析:选 A 1~10 任取两个的和可以是 3~19 中的任意一个,共有 17 个. 3.某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 描述 1 次试验的成功次数,则

P(ξ =1)等于(
A.0

) B. 1 2

C.

1 3

D.

2 3

解析:选 D 设失败率为 p,则成功率为 2p,分布列为: ξ 0 1 2p

P
1 2 由 p+2p=1,得 p= ,故 2p= . 3 3

p

4.若 P(ξ ≤x2)=1-β ,P(ξ ≥x1)=1-α ,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ ≤x2)等于( A.(1-α )(1-β ) C.1-α (1-β ) B.1-(α +β ) D.1-β (1-α )

)

解析:选 B 由分布列性质可有:P(x1≤ξ ≤x2)=P(ξ ≤x2)+P(ξ ≥x1)-1=(1-β ) +(1-α )-1=1-(α +β ). 5.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 C7C8 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于 10 的是( C15 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4)
4 6

)

解析:选 C 此题为超几何分布问题,15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,8 个村庄交 C7C8 4 6 通方便, C7C8表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通不方便, 6 个交通方便, 故 P(X=4)= 10 . C15
4 6

离散型随机变量分布列的性质

[例 1] (1)设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为: ξ -1 1 2 0 1-2q 1

P
则 q 的值为( A.1 C.1+ 2 2 )

q2

B.1± D.1-

2 2 2 2

(2)设离散型随机变量 ξ 的分布列为:

ξ

0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4

P

m

求:①2ξ +1 的分布列;②|ξ -1|的分布列. [自主解答] (1)由分布列的性质,有 1-2q≥0, ? ?q ≥0, ?1 ? ?2+1-2q+q =1,
2 2

解得 q=1-

2 . 2

1 或由 1-2q≥0? q≤ ,可排除 A、B、C. 2 (2)由分布列的性质知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得 m=0.3.首先列表为: ξ 2ξ +1 |ξ - 1| 从而由上表得两个分布列为: ①2ξ +1 的分布列: 2ξ +1 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3

P

②|ξ -1|的分布列: |ξ - 1| 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

P
[答案] (1)D

本例(2)题干不变,求 P(1<2ξ +1<9). 解:P(1<2ξ +1<9)=P(2ξ +1=3)+P(2ξ +1=5)+P(2ξ +1=7)=0.1+0.1+0.3 =0.5. ————— —————————————— 离散型随机变量分布列性质的应用 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值 均为非负; (2)若 ξ 为随机变量,则 2ξ +1,|ξ -1|等仍然为随机变量,求它们的分布列时可先

求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.

1. 随机变量 X 的概率分布列规律为 P(X=n)=

a (n=1,2,3,4), 其中 a 是常数, n?n+1?

?1 5? 则 P? <X< ?的值为( ?2 2?
A. C. 2 3 4 5

) B. D. 3 4 5 6

解析:选 D ∵P(X=n)=

a (n=1,2,3,4), n?n+1?

a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4
5 1 5 1 5 ?1 5? ∴P? <X< ?=P(X=1)+P(X=2)= × + × = . 2 2 4 2 4 6 6 ? ?

离散型随机变量分布列

[例 2] 袋中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机取球,设取到 1 个红球得 2 分,取到 1 个黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球. (1)求得分 X 的分布列; (2)求得分大于 6 分的概率. [自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑,2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红四 种情况,分别得分为 5 分,6 分,7 分,8 分,故 X 的可能取值为 5,6,7,8.

P(X=5)=

C4C3 4 C4C3 18 ,P(X=6)= 4 = , 4 = C7 35 C7 35
3 1 4 0

1 3

2 2

C4C3 12 C4C3 1 P(X=7)= 4 = ,P(X=8)= 4 = . C7 35 C7 35 故所求得分 X 的分布列为:

X P

5 4 35

6 18 35

7 12 35

8 1 35

(2)根据随机变量 X 的分布列, 可以得到得分大于 6 的概率为 P(X>6)=P(X=7)+P(X= 12 1 13 8)= + = . 35 35 35 ————— ——————————————

求离散型随机变量的分布列的三个步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; (2)利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率; (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.

2. (2013·泰安模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会, 共邀请 50 名一线教 师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(2)若随机选出 2 名使用人教版的老师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ ,求随机 变量 ξ 的分布列. 解:(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C50=1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C20+C15+C5+C10=350. 350 2 故 2 人使用版本相同的概率为 P= = . 1 225 7 C15 3 C20C15 60 (2)∵P(ξ =0)= 2 = ,P(ξ =1)= 2 = , C35 17 C35 119 C20 38 P(ξ =2)= 2 = , C35 119 ∴ξ 的分布列为: ξ 0 3 17 1 60 119 2 38 119
2 2 1 1 2 2 2 2 2

P

超几何分布问题

[例 3] 某高校的一科技小组有 5 名男生,5 名女生,从中选出 4 人参加全国大学生科 技大赛,用 X 表示其中参加大赛的男生人数,求 X 的分布列. [自主解答] 依题意随机变量 X 服从超几何分布, C5C5 所以 P(X=k)= 4 (k=0,1,2,3,4). C10 C5C5 1 C5C5 5 ∴P(X=0)= 4 = ,P(X=1)= 4 = , C10 42 C10 21
0 4 1 3

k 4-k

P(X=2)= P(X=4)=

C5C5 10 C5C5 5 ,P(X=3)= 4 = , 4 = C10 21 C10 21 C5C5 1 , 4 = C10 42
4 0

2 2

3 1

∴X 的分布列为:

X P

0 1 42

1 5 21

2 10 21

3 5 21

4 1 42

—————

—————————————— 超几何分布的特点

(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出; (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变 量取值的概率实质上是古典概型.

3.从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动. (1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 3 人中男生人数 ξ 的分布列. C5C4 10 解:(1)所选 3 人中恰有一名男生的概率 P= 3 = . C9 21 (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
2 1

P(ξ =0)= 3= ,P(ξ =1)=
1 2

C5 C9

3

5 42

C5C4 10 , 3 = C9 21
3

2 1

P(ξ =2)=

C5C4 5 C4 1 ,P(ξ =3)= 3= . 3 = C9 14 C9 21

故 ξ 的分布列为: ξ 0 5 42 1 10 21 2 5 14 3 1 21

P

? 2 个注意点——掌握离散型随机变量分布列的注意点 (1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量的所有可能取得的值;第二行为对应于随 机变量取值的事件发生的概率. 看每一列, 实际上是: 上为“事件”, 下为事件发生的概率; (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. ? 3 种方法——求分布列的三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列; (2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列; (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生 的概率求离散型随机变量的分布列.

易误警示——随机变量取值不全导致错误

[典例] (2013·长沙模拟)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标 号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个.第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得球的标号之和为 ξ . (1)求随机变量 ξ 的分布列; (2)求随机变量 ξ 的期望. [解] (1)由题意可得,随机变量 ξ 的取值是 2,3,4,6,7,10. 且 P(ξ =2)=0.3×0.3=0.09,

P(ξ =3)=C1 2×0.3×0.4=0.24, P(ξ =4)=0.4×0.4=0.16, P(ξ =6)=C1 2×0.3×0.3=0.18, P(ξ =7)=C1 2×0.4×0.3=0.24, P(ξ =10)=0.3×0.3=0.09.故随机变量 ξ 的分布列如下:
ξ 2 0.09 3 0.24 4 0.16 6 0.18 7 0.24 10 0.09

P

(2)随机变量 ξ 的数学期望

E(ξ )=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.
[易误辨析] 1. 本题由于离散型随机变量 ξ 的取值情况较多, 极易发生对随机变量取值考虑不全而 导致解题错误. 2.此类问题还极易发生如下错误:虽然弄清随机变量的所有取值,但对某个取值考虑 不全而导致解题错误. 3.避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1. [变式训练] 某射手有 5 发子弹,射击一次命中的概率是 0.9.若命中就停止射击,否则就一直到子 弹用尽,求耗用子弹数 X 的分布列.

解:X 的取值为 1,2,3,4,5,它们的概率分别为:

P(X=1)=0.9, P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.12×0.9=0.009, P(X=4)=0.13×0.9=0.000 9,
当 X=5 时,说明前四发都没命中,不管第五次中与不中都要射第五发子弹, ∴P(X=5)=0.1 =0.000 1,故 X 的分布列为:
4

X P

1 0.9

2 0.09

3 0.009

4 0.000 9

5 0.000 1

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为( A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 解析:选 C A、B 中出现的点数虽然是随机的,但他们取值所反映的结果都不是本题涉 及试验的结果.D 中出现相同点数的种数就是 6 种,不是变量.C 整体反映两次投掷的结果, 可以预见两次出现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 共 11 种结果, 但每掷一次前, 无 法预见是 11 种中的哪一个,故是随机变量. 2.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红 球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( ) A.ξ =4 C.ξ =6 B.ξ =5 D.ξ ≤5 )

解析:选 C 由条件知“放回 5 个红球”事件对应的 ξ 为 6. 3.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,若 P(X<4)=0.3,则( A.n=3 C.n=9 B.n=4 D.n=10 )

1 1 1 3 解析:选 D P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3,故 n=10.

n n n n

1 4.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于( 2 A. C. 3 16 1 16 B. D. 1 4 5 16

)

1 1 3 解析:选 A P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= . 2 2 16 5.(2013·安庆模拟)从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地任取 3 件, 则取得次品数为 1 的概率是( A. C. 32 35 3 35 ) B. D. 12 35 2 35

解析:选 B 设随机变量 X 表示取出次品的个数,则 X 服从超几何分布,其中 N=15,M C2C13 12 =2,n=3,它的可能的取值为 0,1,2,相应的概率为 P(X=1)= 3 = . C15 35 6. (2013·长沙模拟)一只袋内装有 m 个白球, n-m 个黑球, 连续不放回地从袋中取球, ?n-m?Am 直到取出黑球为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 的是( 3 An A.P(ξ =3) C.P(ξ ≤3) B.P(ξ ≥2) D.P(ξ =2)
2 2 1 2

)

?n-m?Am 解析:选 D 由超几何分布知 P(ξ =2)= . 3 An 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013·临沂模拟)随机变量 X 的分布列如下:

X P

-1

0

1

a

b

c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 解析:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= .∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3 2 答案: 3 8.由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表 如下:

X

1

2

3

4

5

6

P

0.20

0.10

0.x5

0.10

0.1y

0.20

则丢失的两个数据依次为________. 解析:由于 0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得 10x+y =25,又因为 x、y 为正整数,故两个数据分别为 2,5. 答案:2,5 9.(2013·郑州五校联考)如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它 们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取 三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ξ ,则 P(ξ ≥8)= ________. 解析:法一:由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10, C2C2 1 C2C1+C2C2 3 ∵P(ξ =7)= 3 = ,P(ξ =8)= = , 3 C5 5 C5 10
2 1 2 1 2 1

P(ξ =9)=

C2C2C1 2 C2C1 1 , 3 = ,P(ξ =10)= 3 = C5 5 C5 10

1 1 1

2 1

∴ξ 的概率分布列为 ξ 7 1 5 8 3 10 9 2 5 10 1 10

P

3 2 1 4 ∴P(ξ ≥8)=P(ξ =8)+P(ξ =9)+P(ξ =10)= + + = . 10 5 10 5 4 法二:P(ξ ≥8)=1-P(ξ =7)= . 5 4 答案: 5 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出 3 个球, 以 ξ 表示取出球的最大号码,求 ξ 的分布列. 解:随机变量 ξ 的取值为 3,4,5,6 从袋中随机地取 3 个球,包含的基本事件总数为 C6,事件“ξ =3”包含的基本事件总 数为 C3,事件“ξ =4”包含的基本事件总数为 C1C3,事件“ξ =5”包含的基本事件总数为 C1C4;事件“ξ =6”包含的基本事件总数为 C1C5;从而有
1 2 1 2 3 1 2 3

P(ξ =3)= 3= ,P(ξ =4)=
1 2

C3 C6

3

1 20

C1C3 3 , 3 = C6 20
1 2

1 2

P(ξ =5)=

C1C4 3 C1C5 1 ,P(ξ =6)= 3 = , 3 = C6 10 C6 2

故随机变量 ξ 的分布列为:

ξ

3 1 20

4 3 20

5 3 10

6 1 2

P
*

11.口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球,依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那 么继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若 P(X 7 =2)= ,求: 30 (1)n 的值; (2)X 的分布列. 7 C3 Cn 7 解:(1)由 P(X=2)= 知 1 × 1 = , 30 Cn+3 Cn+2 30 即 90n=7(n+2)(n+3),解得 n=7. (2)X=1,2,3,4 且 P(X=1)= 7 7 ,P(X=2)= , 10 30
1 1

P(X=3)=

7 1 ,P(X=4)= . 120 120

故 X 的分布列为:

X P

1 7 10

2 7 30

3 7 120

4 1 120

12.从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个. (1)记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; (2)记所取出的非空子集的元素个数为 X,求 X 的分布列. 解:(1)记“所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A. 基本事件总数 n=C5+C5+C5+C5+C5=31; 事件 A 包含的基本事件是{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4}; 事件 A 包含的基本事件数 m=3.
1 2 3 4 5

m 3 故 P(A)= = . n 31
(2)依题意,X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5. C5 5 C5 10 又 P(X=1)= = ,P(X=2)= = , 31 31 31 31 C5 10 C5 5 P(X=3)= = ,P(X=4)= = , 31 31 31 31
3 4 1 2

P(X=5)= = .
故 X 的分布列为:

C5 1 31 31

5

X P

1 5 31

2 10 31

3 10 31

4 5 31

5 1 31

?2?i 1.设随机变量 ξ 的概率分布列为 P(ξ =i)=a? ? ,i=1,2,3.则 a 的值是( ?3?
A. C. 17 38 17 19 B. D. 27 38 27 19

)

27 ?2 ?2?2 ?2?3? 解析:选 B 1=P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)=a? +? ? +? ? ?,解得 a= . 3 3 3 38 ? ? ? ? ?? 2.已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,则 P(ξ =2)=________. C1·C3 C2·C4 C3 C2 3 解析:P(ξ =2)= 2 · 2 + 2· 2= . C4 C6 C4 C6 10 答案: 3 10
1 1 1 1 2 2

3. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量 (单位:克),重量的分组区间为 (490,495], (495,500],?,(510,515],由此得到样本的频率分布 直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数 量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量, 求 Y 的分 布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率. 解 : (1) 根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 重 量 超 过 505 克 的 产 品 数 量 为 [(0.01 + 0.05)×5]×40=12 件. (2)Y 的可能取值为 0,1,2.

P(Y=0)= 2 =

C28 63 C28C12 56 ,P(Y=1)= 2 = , C40 130 C40 130

2

1

1

P(Y=2)= 2 =

C12 11 . C40 130

2

Y 的分布列为: Y P
0 63 130 1 56 130 2 11 130

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 X 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 X~B(5,0.3), 故所求概率为 P(X=2)=C5(0.3) (0.7) =0.3087.
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