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直线、平面垂直的判定及其性质课时作业


课时作业 48

直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题 1.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则“l∥m”是“α⊥β” 的( ) A.充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 若 l∥m, 则 m⊥平面 α, 由面面垂直的判定定理可知 α⊥β, 反过来,若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β 或 l?β,又因为 m?β,所以 l 与 m 可能平行,异面或相交,所以“l∥m”是“α⊥β”的充分条件,故选 C. 答案:C 2.已知 m,n 为两条不同直线,α,β 为两个不同平面,直线 m ?平面 α,直线 n⊥平面 β,给出命题:①n⊥m?α∥β;②n∥m?α ⊥β;③α∥β?n⊥m;④α⊥β?n∥m.其中正确命题为( A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 解析:由直线 n⊥面 β,n∥m?m⊥面 β,又因为直线 m?平面 α, 所以 α⊥β,②对,由题意,再结合 α∥β?n⊥α?n⊥m,③对,故选 B. 答案:B 3.设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“a?α,b?β, 且 α⊥β”的平面 α,β( A.不存在 ) B.有且只有一对 )

C.有且只有两对

D.有无数对

解析:过直线 a 的平面 α 有无数个,当平面 α 与直线 b 平行时, 两直线的公垂线与 b 确定的平面 β⊥α,当平面 α 与 b 相交时,过交点 作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥α.故选 D. 答案:D

4.如图所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥b, a⊥c,b⊥c,若 C∈a,D∈b(C,D 均异于 A,B),则△ACD 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:因为 a⊥b,b⊥c,a∩c=B,所以 b⊥平面 ABC,AC?平 面 ABC,所以 AD⊥AC,故△ACD 为直角三角形. 答案:B )

5.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1, ∠ACB=90° ,D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为( 1 A.2 B.1 )

3 C.2

D.2

解析:设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF?平面 C1DF,所 以 AB1⊥DF.由已知可以得 A1B1= 2, 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 1 2 3 3 h,则 DE=2h.又 2× 2=h 22+? 2?2,所以 h= 3 ,DE= 3 .在 Rt △ DB1E 中 , B1E = × x2+?
? 2?2 ? 3?2 6 6 ? ? -? ? = . 由 面 积 相 等 得 6 6 ? 2? ? 3?

? 2?2 2 1 ? = x,得 x= . 2 2 ? 2?

答案:A 6.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2, ∠ASC=∠BSC=45° ,则棱锥 S—ABC 的体积为( 3 A. 3 4 3 C. 3 解析: 2 3 B. 3 5 3 D. 3 )

如图所示,由题意知,在棱锥 S—ABC 中,△SAC,△SBC 都是 等腰直角三角形,其中 AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2 2.取 SC 的中点 D,易证 SC 垂直于面 ABD,因此棱锥 S—ABC 的体积为两 1 个棱锥 S—ABD 和 C—ABD 的体积和, 所以棱锥 S—ABC 的体积 V=3

1 4 SC· S△ADB=3×4× 3=3 3. 答案:C 二、填空题 7.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值 为________. 解析:

设 BD 与 AC 交于点 O,连接 D1O,∵BB1∥DD1,∴DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 成的角.∵AC⊥BD,AC⊥DD1, DD1∩BD=D,∴AC⊥平面 DD1B,平面 DD1B∩平面 ACD1=OD1, ∴DD1 在平面 ACD1 内的射影落在 OD1 上, 故∠DD1O 为直线 DD1 2 与平面 ACD1 所成的角,设正方体的棱长为 1,则 DD1=1,DO= 2 , 6 D1O= 2 , DD1 6 ∴cos∠DD1O=D O= 3 , 1 6 ∴BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 3 . 6 答案: 3 8.假设平面 α∩平面 β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为 B,D, 如果增加一个条件,就能推出 BD⊥EF,现有下面四个条件: ①AC⊥α;②AC 与 α,β 所成的角相等;③AC 与 BD 在 β 内的射

影在同一条直线上;④AC∥EF. 其中能成为增加条件的是________. (把你认为正确的条件序号都 填上) 解析: 如果 AB 与 CD 在一个平面内, 可以推出 EF 垂直于该平面, 又 BD 在该平面内,所以 BD⊥EF.故要证 BD⊥EF,只需 AB,CD 在 一个平面内即可,只有①③能保证这一条件. 答案:①③

9.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上.点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为________. 解析: 点 P 到直线 CC1 的距离等于点 P 在面 ABCD 上的射影到点 C 的距离,点 P 在面 ABCD 内的射影落在线段 DE 上设为 P′,问题 等价求为 P′C 的最小值,当 P′C⊥DE 时,P′C 的长度最小,此时 P′C= 2×1 2 5 = 5 . 2 2 +1

2 5 答案: 5 三、解答题 10.(2014· 湖北卷)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F, P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求 证:

(1)直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)直线 AC1⊥平面 PQMN. 解:(1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,知 AD1∥BC1, 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)

如图,连接 AC,BD,则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C,所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1?平面 ACC1,所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点,所以 MN∥BD,从而 MN ⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1.又 PN∩MN=N, 所以直线 AC1⊥平面 PQMN.

11.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别为线段 AB, CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证:DP⊥平面 EPC. (1)问在 EP 上是否存在点 F 使平面 AFD⊥平面 BFC?若存在, 求 FP 出AP的值. 解:(1)因为 EP⊥平面 ABCD,所以 EP⊥DP, 又四边形 ABCD 为矩形,AB=2BC,P,Q 为 AB,CD 的中点, 1 所以 PQ⊥DC,且 PQ=2DC,所以 DP⊥PC. 因为 EP∩PC=P,所以 DP⊥平面 EPC.

(2)如图,假设存在 F 使平面 AFD⊥平面 BFC, 因为 AD∥BC,AD?平面 BFC,BC?平面 BFC, 所以 AD∥平面 BFC, 所以 AD 平行于平面 AFD 与平面 BFC 的交线 l. 因为 EP⊥平面 ABCD,

所以 EP⊥AD,而 AD⊥AB,AB∩EP=P, 所以 AD⊥平面 FAB,所以 l⊥平面 FAB, 所以∠AFB 为平面 AFD 与平面 BFC 所成二面角的平面角. 因为 P 是 AB 的中点,且 FP⊥AB, 所以当∠AFB=90° 时,FP=AP, 所以当 FP=AP, FP 即AP=1 时,平面 AFD⊥平面 BFC.

1.如右图,在三棱锥 P—ABC 中,点 E,F 分别是棱 PC,AC 的 中点. (1)求证:PA∥平面 BEF; (2)若平面 PAB⊥平面 ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥PA. 解:

(1)在△PAC 中,E、F 分别是 PC、AC 的中点,所以 PA∥EF,又 PA?平面 BEF,EF?平面 BEF,所以 PA∥平面 BEF. (2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD⊥AB, 垂足为 D.因为平面 PAB⊥平 面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,PD?平面 PAB,所以 PD⊥平面 ABC, 又 BC?平面 ABC,所以 PD⊥BC, 又 PB⊥BC,PD∩PB=P,PD?平面 PAB,PB?平面 PAB,所以 BC⊥平面 PAB, 又 PA?平面 PAB,所以 BC⊥PA.

2.(2014· 广东卷)如图所示,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30° ,AF⊥PC 于点 F,EF∥CD,交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D—AF—E 的余弦值. 解:(1)证明:PD⊥平面 ABCD,PD?面 PCD,

∴平面 PCD⊥平面 ABCD, 平面 PCD∩平面 ABCD=CD, AD?平面 ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥平面 PCD, CF?平面 PCD,∴CF⊥AD,又 AF⊥PC,∴CF⊥AF, AD,AF?平面 ADF,AD∩AF=A,∴CF⊥平面 ADF. (2)解法 1:过 E 作 EG∥CF 交 DF 于 G,∵CF⊥平面 ADF, ∴EG⊥平面 ADF,过 G 作 GH⊥AF 于 H,连 EH, 则∠EHG 为二面角 D—AF—E 的平面角,设 CD=2, 1 ∵∠DPC=30° ,∴∠CDF=30° ,从而 CF=2CD=1, 1 DE CF DE 2 CP=4,∵EF∥ DC,∴DP=CP,即 = , 2 3 2 3 3 ∴DE= 2 ,还易求得 EF=2,DF= 3, 33 · DE· EF 2 2 3 19 3 从而 EG= DF = =4,易得 AE= 2 ,AF= 7,EF=2, 3 19 3 2 · 2 3 19 AE· EF ∴EH= AF = = , 7 4 7 故 HG= ? 3 19 2 3 2 6 3 ? -?4? = , 4 7 4 7

GH 6 3 4 7 2 57 ∴cos∠EHG= EH = · = 19 . 4 7 3 19 解法 2:分别以 DP,DC,DA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 DC=2, → =λCP →, 则 A(0,0,2),C(0,2,0),P(2 3,0,0),设CF

→ ⊥CF → ,可得 λ=1, 则 F(2 3λ,2-2λ,0),DF 4 3 3 3 从而 F( 2 ,2,0),易得 E( 2 ,0,0),取面 ADF 的一个法向量为 1→ n1=2CP =( 3,-1,0), → =0, → 设面 AEF 的一个法向量为 n2=(x, y, z), 利用 n2· AE 且 n2· AF =0, n1· n2 得 n2 可以是 (4,0 , 3) ,从而所求二面角的余弦值为 |n |· |n | =
1 2

4 3 2 57 = 19 . 2× 19


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